Механика сплошной среды

Назовем энтропией s тела величину, пропорциональную сред­ нему значению по ансамблю логарифма вероятности /:

где k — константа (постоянная Больцмана). Один из параметров 0<? назовем температурой тела 0i и потребуем, чтобы количество тепла 6'<3 имело интегрирующий множитель 0i_1 и с этим множи­ телем представляло полный дифференциал (по параметрам ц, 0) энтропии s :

5 и 01 удовлетворяли второму закону феноменологической термо­ динамики обратимых процессов, так как (2.15) имеет форму вы­ ражения этого закона. Поэтому вывод может казаться случайным. Но ведь и количеством тепла выражение

J # 6/ dp dq

г

названо тоже из сопоставления формулы (2.12) с выражением первого закона термодинамики. Необходимо еще проверить, при каких условиях справедливо уравнение (2.15), так как количество тепла б'Q уже определено выражением (2.13), вариация 6s может быть найдена из (2.14), параметры 05 еще не определены. В стати­ стической трактовке, т. е. с учетом (2.13) и (2.14), уравнение (2.15) должно быть тождеством, как и уравнение (2.12), выража­ ющее первый закон. Из (2.14) находим вариацию 6s:

Чтобы для любой вариации б/ этот интеграл равнялся нулю, в со­ ответствии с (2.9) необходима и достаточна независимость от

Интеграл состояний представляется в виде произведения двух ин­ тегралов: одного — по области Гр от функции, зависящей только от 9, который обозначим

Обычно предполагается, что область ГР изменения импульсов бес­ конечна, т. е. каждый импульс pi изменяется от —оо до +оо. Поэтому интеграл I представляет произведение п=ЗЛГ интегралов вида

В качестве простейшего примера физической равновесной си­ стемы рассмотрим разреженный одноатомный газ, заключенный в объеме V. Атомы на больших расстояниях не взаимодействуют, имеют пути пробега в пределах всего объема V и кратковремен­ но взаимодействуют только при «столкновениях». Поэтому такой

Неточность уравнения состояния (2.37) увеличивается с уве­ личением давления р. В табл. 2 дано значение pV/RT для тех же газов при различных р. Поправка для больших давлений и тем-

ператур может быть найдена при учете потенциала взаимодейст­ вия молекул u(q); тогда получается уравнение состояния

причем коэффициенты В(Т), С(Т) определяются путем вычисле­ ния интеграла состояний Z.

Из (2.36) найдем характерную скорость атома

vc— V 't fk = КМ-с-1,

где М — отношение массы молекулы вещества к массе атома во­ дорода (точнее 1/16 атома кислорода).

Используем еще некоторые другие формулы для средних вели­ чин, вытекающие из кинетической теории газа. Длина I свобод­ ного пробега атома, имеющего эффективный диаметр dy выража­ ется через скорость vc, число молекул в единице объема N/V и число столкновений одной молекулы в единицу времени пст:

Сведения о некоторых газах даны в табл. 3 для 7’=300 К.

Геометрия монокристалла определяется относительным положе­ нием атомов, точнее, их ядер, в элементарной кристаллической решетке.

Потенциальную энергию V (q) электрически нейтральной си­ стемы частиц представляют, например, в виде суммы потенциалов парного взаимодействия частиц типа потенциала «6—12».

что г*=Г/г0+Я*, получим U(q) в виде функции всех qi и начальных координат точек. Для идеального кристаллического тела с перио­ дической решеткой при малых колебаниях атомов около положе­ ния равновесия (<7;= 0), в котором U минимально

( |L ) = 0 « , 1 = 1 , 2 . n=3N), (2.38)

ограничимся для малых деформаций квадратичными членами раз­ ложения U в ряд по q:

Постоянные взаимодействия сц и начальная энергия U0 в со­ стоянии qi= 0 зависят от параметров этого состояния ц, например, деформации решетки. Интеграл состояний Z в этом случае имеет вид (2.32'), причем D можно вычислить, допуская, что координа­ ты qi изменяются в бесконечной области (—оо<<7/<оо). При этом условие /=0 на границах Гр и Г? выполняется, так как квадратич­ ная форма (2.39) положительна.

Вычисление интеграла D (2.29) как функции констант U0 и сц может быть выполнено приведением входящей в (2.39) квад­ ратичной формы к сумме квадратов или на основе упрощений мат­ рицы Ik//1| в случае парных потенциалов. Более сложный вопрос уточнения физического смысла параметров ц(|Дг) как характери­ стик деформации кристаллической решетки монокристалла в рав­ новесном состоянии (qi=0) в простейшем случае решается на основе понятия аффинной деформации окрестности точки сплош­ ной среды (гл. II).

Поэтому рассмотрим одномерную модель монокристалла в ви­ де линейной цепочки п атомов одинаковой массы т , расположен­ ных вдоль оси х на одинаковом расстоянии а в нулевом равновес­ ном состоянии Sn° и на расстоянии \ха в деформированном равно­

весном состоянии SnK Для определенности введем границы систе­ мы: неподвижный нулевой атом с координатой л:0=0 и подвижный (/г+1)-й атом с координатой хп+и равной x°n+i= (л + 1)а в состоя­ нии Sn°, ххп+\=(п+ 1)ра — в состоянии S nu>взаимодействие перво­ го и л-го атома системы с граничными пусть будет для простоты таким же, как с соседними атомам# системы; именно из этих гра­ ничных условий следует равномерное в Sn1 распределение удлине­

но, и положение m-го атома Хтп=тп\1 а в Snl.

Статистическое состояние Sr в момент t определяется коорди­

и" (|ха)

йги (г) I dr2 |г=ца

Для вычисления интеграла D введем вместо цт новые перемен­ ные, поскольку и"(ра)> 0,

где А — число. Свободную энергию, приходящуюся на один атом, согласно (2.32), и ее производную по р, т. е. растягивающую си­ лу, находим из формул

Ч»1(Ц Т)= ty/ti= и (pa) + -L kT In иГ(pa) — kT 1n 7,

(2.42)

Первое слагаемое в выражении силы определяет ее при Т=0, об-

ращаясь в ноль при р = 1. Второе дает поправку на тепловые коле­ бания атомов при Т > 0.

В области устойчивых состояний цепочки «"(ра)>0. При и"'(ра)< 0 нагревание системы уменьшает силу, необходимую для удерживания деформаций е=р—1> 0.

На примере потенциала «6—12», для которого в (2.42)

аи' (ра) — 12kQy(р~7—р."13)=726в1е + О(е2),

аи!" (ра)/а* (ра)= 14 4fl~9 ^ V~‘5.v ,

видим, что для выявления тонких термомеханических эффектов представление U квадратичной формой (2.39) недостаточно: мо­ дуль упругости цепочки зависит от Т через и'"(г), которая отбро­ шена в (2.40).

КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ

§ 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и УРАВНЕНИЯ МСС. ЛАГРАНЖЕВО И ЭЙЛЕРОВО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Будем рассматривать настолько большие тела, что весьма ма­ лые их части объема dV содержат достаточно много частиц, и по­ тому для этих малых областей тела можно ввести понятия макро­ скопических величин плотности тела, перемещения, скорости, уско­ рения, внешних сил, внутренней энергии и других в смысле сред­ них по ансамблю (§ 1). Идеализация истинного физического те­ ла в МСС состоит в том, что все рассматриваемые величины при­ нимают в качестве истинных. Количество и математическая при­ рода вводимых средних величин таковы, что с достаточной точно­ стью можно описать внутреннее состояние тела и взаимодействие между телами. В основах МСС главным образом рассматривают­ ся механические и тепловые взаимодействия и деформации малых объемов, иногда учитывается действие на них электромагнитных полей, химических реакций и др.

Для изображения состояний и процессов в МСС используется трехмерное евклидово пространство с различными системами ко­ ординат и классическое время. Выбор системы координат произ­ волен и не должен сказываться на физических следствиях получае­ мых уравнений. Значит, математические объекты, характеризую­ щие физические явления, не должны зависеть от частного выбора системы координат, а физические законы должны выражаться че­ рез эти объекты математическими соотношениями, инвариантны­ ми относительно преобразований системы координат.

Основные математические объекты МСС суть тензоры различ­ ных порядков: нулевого — скаляры (плотность, энергия), перво­ го — векторы (радиус-вектор, поток тепла, скорость), второго — тензоры деформаций, внутренних напряжений, третьего и четвер­ того — тензоры пьезоэлектрических констант, коэффициентов вяз­ кости и упругости и др. Все эти тензоры считаются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по координатам и по времени, ограничены вместе с их производными в области тела. Все они введены в XIX веке в процессе создания теории упруго­ сти, гидромеханики и других разделов теоретической физики, и затем в алгебре и геометрии была создана их общая теория.

Определения основных величин в МСС можно рассматривать и как априорные, и тогда получающиеся уравнения, подобно за­ кону Ньютона для точки mx=Fx, станут содержательными зако­ нами только на основании экспериментально обоснованных гипо-