Механика сплошной среды

Решение этого уравнения при начальном условии

/= 0, х = \

дает закон движения точки среды

По свойству функции v(x, t) решение (3.3) однозначно и непре­ рывно по х, t, откуда следует непрерывность преобразования на­ чальной области, занятой средой, в область, занятую ею в мо­ мент t.

Разность

называется вектором перемещения бесконечно малой частицы и на основании (3.3) может рассматриваться, как и все другие припи­ сываемые ей величины, как функция либо х, /, либо ж t.

Понятие плотности р сплошной среды в МСС доопределяется требованием, чтобы масса, заключенная внутри границы Eg, не из­ менялась во времени, т. е.

Именно это требование ставит величину р в соответствие посто­ янству числа частиц системы SN , a v — средней по ансамблю ско­ рости системы (§ 1) и называется законом сохранения массы. Со­ отношение (3.4) приводится к виду (1.44)

На основе понятия частицы естественно вводится понятие мас­ совой силы, действующей на частицу, как интеграла по Vg от F(x, i)pdV, и потому полевой вектор F(x, t) рассматривается как сила, действующая на единицу массы, a FpdV — на объем (dV)g

бесконечно малой частицы.

Также вводится ускорение w(x, t) бесконечно малой физиче­ ской частицы:

W (AT, t) =

dv (х, t)

dt

где x удовлетворяет уравнению (3.2). Так как из (3.3) *=х(х, /), то

dv

где конвективное ускорение, т. е. вектор v — имеет компоненты

дх

Скорость изменения во времени какой-нибудь функции ф(дс, t)y ха­ рактеризующей физические свойства частицы в (х , t)y

называется полной, или субстанциональной, производной ф. Со­ гласно (3.6) ускорение есть полная производная скорости по вре­ мени.

Кинетическая энергия Kg частицы в объеме Vgy внутренняя энергия Ugl энтропия Sg и другие экстенсивные (пропорциональ­ ные массе частицы) величины вводятся по их определению для по­ стоянной массы mgy т. е. соответственно

где и, s — плотности внутренней энергии и энтропии в точке сре­ ды. Свободная энергия ф(дс, t) определяется соотношением

ф=ц—7\s,

совпадающим с определением (2.21). Температура Т(ху t) и дру­ гие интенсивные величины вводятся как некоторые полевые функ­ ции х, t\ все эти функции доопределяются уравнениями.

Изучаемые в МСС величины — аналоги величин классической, статистической механики и термодинамики замкнутой системы, хо­ тя исторически они введены в МСС до создания статистической ме­ ханики и совершенно независимо. (Некоторые из них введены в

статистическую механику позднее как аналоги понятий МСС, на-' пример понятия напряжений, деформаций, потока тепла).

Вводимые в МСС для mg аналоги уравнений количества дви­ жения и момента количества движения абсолютно твердого тела приводят к понятию внутреннего напряжения 9\ на площадке с единичной нормалью v.

Поскольку векторы внешней массовой силы F(x, t) и ускоре­ ния w(x, t) уже введены, найдем сумму массовых сил и сил инер­

ции, действующих на массу mg в объеме Vg. На основании ранее введенных определений эта сумма равна

Эта сумма не равна нулю, так как на те еще действует окружаю­ щая среда. Следовательно,

ся как сумма всех сил, действующих на поверхность Eg тела. Сле­ довательно, необходимо ввести плотность вектора силы t) в каждой точке поверхности Eg и понимать ее как действие в этой точке на Eg части тела, находящейся вне Eg. При таком понима­

ный вектор, структуру которого надо выяснить. Входящий в урав­

Пусть поверхность Eg в момент t совпадает с поверхностью ма­ лой области, имеющей вид прямоугольного координатного парал­

между собой на величины порядка аь а2 или а3 и, значит, с точно­ стью до бесконечно малых постоянны в пределах каждой гра­ ни. Главный вектор сил, действующих со стороны поверхности на объем d l/= a1a2a3 получим сложением всех векторов (i= = 1, 2, 3) (vt= ± et- — единичный вектор нормали, направленной по оси Xi). Обозначая штрихом и двумя штрихами значения этих век­ торов на противоположных гранях, получаем главный вектор по­ верхностных сил, действующих на параллелепипед с ребрами аь

а2у а3

cPg= a 2a3(сК—cPl) + а3ах (сК—сК) + а1а2 (^ з — сРз).

Применив теперь соотношение (3.9), получим с точностью до ма­ лых высшего порядка

(pw—F) a1a2a3— Sig= a2a3AcF‘l + а3а3А ^ 2+ axa2А&>3, (3.1 O')

где

Поскольку эти разности имеют порядок а,

т. е. они стремятся к нулю при а*-»-0, то, следовательно, выполня­

ется закон равенства действия и противодействия: cPi~cPi. Внося значения (3.11) в (3.10') и сокращая на aia2a3, получим

Если применить соотношение (3.9) к бесконечно малому ко­ ординатному тетраэдру (рис. 3.2) с наклонной плоскостью, имею­ щей внешнюю нормаль v с направляющими косинусами v/ (i—

= 1, 2, 3), то аналогичными выкладками получим выражение плот­ ности силы на наклонной площадке через координатные векто­ ры Рс

По определению входящие в (3.13) векторы cPlt <Р2, <Р3 образуют объект, не зависящий от выбора системы координат (х,), называе­ мый в МСС тривектором или тензором внутренних напряжений.

или их компонентами, обозначаемыми а// в пространстве наблюда­ теля (xi) :

з

S3г= а (1® + ст12е2 + а(зез = ]^ о«/е/. (3.14) /=--1

Определение и уравнение момента количества движения вво­ дится аналогично, для параллелепипеда (рис. 3.1) доказывается равенство fit, т. е. согласно (3.14) — симметрия тензора Oij=oji. Умножая выражение (3.12) на v и интегрируя результат по объему Vg массы mgy после преобразований получаем закон со­ хранения механической энергии

at

где А называется мощностью массовых сил F в объеме Vg и по­ верхностных сил 5*v на W — мощностью внутренних напряже­ ний (тензора &):

А = .J pFvdV + J c^vvd2 ,

причем Wi — плотность мощности. При этом в Wx входят вели­ чины сц} образующие тензор скорости деформации с компонента­ ми

вполне определяемый вектором v(x, /).

В МСС вводится также понятие тензора деформаций £ = (eij), компоненты которого выражаются через первые производные век­ тора перемещения u(x, t)=x—х на основании (4.18), (4.15) фор­ мулами

Кинематический смысл Vij и e«y состоит в том, что они одно­ значно определяют соответственно скорость изменения и измене­ ние формы границы рассматриваемой физической частицы, кото­ рая при t= t0 заключена в бесконечно малом кубике с ребром а0. Оказывается, что этот кубик в любой другой момент t^>t0 стано­ вится косоугольным параллелепипедом с размерами ребер поряд­

ка а0 изменение объема определяется плотностью р(х, t)> которая однозначно выражается через тензор гц.

Термодинамические соотношения в МСС вводятся в предполо­ жении, что малую частицу с массой mg можно рассматривать как термодинамическую систему с макроскопически однородным по объему распределением средних по ансамблю, причем время xs си­ стемы мало настолько, что бесконечно малый с точки зрения МСС

интервал времени dt очень велик сравнительно с т.ч и малая с по­ зиций МСС частица mg=pdVg является системой SN с очень боль­ шим числом N частиц. К этому есть основания, так как масштабы рассматриваемых в МСС времен t и размеров тел I предполагают­ ся несоизмеримыми с их масштабами для представительных си­ стем статистической механики.

Применительно к mgy имеющей форму кубика единичного объ­

тепло» обозначим Qdt и положим в соответствии с законом сохра­ нения энергии

причем и, W1 <3 — функции (х, t) при условиях (3.2), (3.3). Си­ стема S Ny составляющая mgy за время t—tQпрошла через последо­ вательность очень большого числа различных состояний, медлен­ но и мало меняющихся. Кроме внутреннего параметра — темпера­ туры Т(х, t) — внешними параметрами SN являются изменяющий­ ся обратно пропорционально р(х, t) объем и «перекосы кубика», характеризуемые тензором е,/(х, /). Так как длительный процесс за время t—10 в целом необратимый, то компоненты тензора де­ формаций е//, вообще говоря, не являются параметрами состояния, определяющими плотность внутренней энергии и(х, t).

от которых зависит и иу но с учетом необратимости состояний mg рассеяние до*, вообще говоря, отлично от нуля. Свободная энергия вводится по определению формулой ф=ц—Ts.

Поток тепла определяется как вектор q (х,/), создающий приток тепла Qg к частице через ее поверхность, точнее, q вместе с Q до­ определяются соотношениями

Система (I) — (VI) незамкнутая, так как содержит три скаляр­

Для некоторых сред и процессов число введенных скалярных величин уменьшается; в жидкостях часто тензор а,-/ сводится к од­ ному давлению р(х, t), для обратимых процессов принимается ад*=0, иногда поле температуры Т(х, t) считается известным и т. д.

Решением основной термомеханической задачи МСС для обла­ сти G с границей 2 называются вектор перемещения и (или ско­

точек внутри G.

Замыкание приведенной выше системы уравнений в МСС ба­ зируется на понятии макроскопически равновесного, вообще гово­ ря, необратимого процесса с диссипацией и на основном постулате МСС — постулате макроскопической определимости (гл. III). За­ дать такой термомеханический процесс П* в фиксированной точке x=const среды — значит задать в фиксированной малой физиче­ ской частице в окрестности этой точки на интервале времени

температуру Т (х, т) и тензор деформации е,/(х, т) в виде функций времени т; задать некоторые начальные условия для них при r=io■ При движении любой сплошной среды в различных ее точках происходят различные процессы, и потому можно опреде­ лить некоторое множество процессов МП, ПхеЛШ , например, в виде множества дважды непрерывно дифференцируемых по (х, т)

ду, — тензор напряжений и все функции, характеризующие со­ стояние в момент t для среды заданной физической природы, яв­