Механика сплошной среды

причем AQ, S0 — несущественные постоянные.

При сделанных предположениях свободная энергия является потенциалом для тензора напряжений, и потому напряжения оц

Мы получили закон Гука с учетом температуры, причем В0=0, так как предполагается, что при е»у='0,=0 также а,у=0. Свертывая

Отсюда видно, что оператор 3=£Г(<§, Т) обратим, если К огра­ ничено; К называется модулем объемного сжатия, а а является

коэффициентом линейного расширения

Е называется модулем Юнга, v — коэффициентом Пуассона. По­ стоянные X, р называются константами Ляме, причем p=G на­ зывается также модулем сдвига. Между упругими постоянными * (только две из них независимы) имеются соотношения

(15.7)

я = - _____ vE_____

(1 + V ) (1 — 2v)

* Правильнее было бы сказать «константами упругого тела», однако термин «упругие постоянные» широко распространен.

Все модули упругости (Я ц, £, К) имеют размерность напряже­ ния, v — величина безразмерная.

Закон Гука (15.5) записывается (при Ф=0, т. е. при постоян­ ной температуре Го) обычно в виде 2pef/=cr^—^crfth6j//(3^ + 2p),

Все соотношения (15.1) — (15.8) при малых деформациях справед­ ливы в любых ортогональных криволинейных координатах, так как относятся к малому прямоугольному параллелепипеду.

Внося значения оц (15.2) в уравнения движения в декартовых координатах (§ 8)

- ^ - + р ( Х , - ^ ) = 0 dxj

и учитывая выражения деформаций через перемещение и

получим

(^ + P) - |^ - + |xAMi + PoXi= P o - ^ - + 6 - g - (* = 1. 2, 3), (15.100

или в векторной форме, пригодной для любой системы координат: Л2ц

В изотропном твердом теле теплопроводность подчиняется закону Фурье (А — коэффициент теплопроводности)

и поэтому из второго закона термодинамики (при т]=£)

dp0s

dt q,

Система уравнений (15.10), (15.11) для вектора и и температу­ ры Т совместна и замкнута. Теплообразованием за счет объемной

деформации ЬТ0—— в (15.11) часто пренебрегают ввиду мало- ot

сти; тогда уравнение (15.11) самостоятельно определяет темпера­ туру Г(х, t), и в уравнении (15.10) член bgrad Т представляет как

бы дополнительную известную массовую силу.

При r=const система (15.10) называется уравнениями движе­ ния в форме Ляме.

Значения тецмоупругих констант некоторых твердых тел даны в табл. 7 (при нормальных условиях).

Т а б л и ц а 7

Коэффициент Пуассона v для металлов близок к 0,3, а вообще

имеем К < 0 и, значит, такое же положение возникает с объемны­ ми деформациями. При v-H),5 величина /С->оо, а так как в теле действует конечное напряжение а, то это возможно лишь при 0->- -^Зад, т. е. когда материал является механически несжимаемым, а только способен получать тепловое расширение. В этом случае

Существование положительно определенной формы — потен­ циальной энергии

(15.14)

обеспечивает существование и единственность решения при пол­ ных граничных условиях (12.33) или (12.36), или смешанных.

На основании тождеств divft=0, rot (grad ф)=0 и обозначений

где обозначены постоянные

(15.17)

Дивергенция и ротор вектора перемещения и удовлетворяют

pi=pn. Индексы «2» в кинематических и динамических условиях на Н = 0 (§ 12) можно отбросить и потому:

Первые два условия (12.23) дают выражение приращения плот­ ности на фронте Ар/ро=пу/£) и связь между возникающими на нем массовой скоростью v=du/dt и напряжениями, поскольку

Сравнивая ди/dt из (15.18') и (15.18"), найдем

ди 1

D 2

дх/ Ро

откуда

Ро

Поскольку с учетом (15.17) закон Гука (15.8) записывается в ви­ де

3ci — 4с|

то (15.18'") представляет однородную систему шести уравнений с шестью неизвестными оц

Определитель этой системы равен нулю, и для любой нормали п получаются два решения относительно неизвестного D:

Однородное тело называется анизотропным, если упругие свой­ ства его различны по различным направлениям, т. е. соотношения между Oij и гц (мы по-прежнему рассматриваем малые деформа­ ции) определяются тензором упругих «постоянных», компоненты которого изменяются при преобразованиях системы координат. Такими свойствами обладают кристаллы и конструктивно анизо­ тропные тела. Среди последних, например, стеклопластики (тела, образованные густой сеткой стеклянных нитей, скрепленных раз­ личными полимерами (смолами)), многослойные фанеры и др. В случае конструктивной анизотропии предполагается, что малый объем dV содержит достаточное число армирующих элементов, т. е. является представительным.

т. е. Eij,mn — действительно тензор 4-го порядка.

Симметрия свойств тела означает, что для определенных (т. е.

Eij,mn:==likhllmptnq {^hfipq~\~ 2^8hlpq)==^ifimn "t"2\l8ijmn= Ец гГПП,

т. e. упругие постоянные не изменяются. Обратно, если в (15.22) положить Eijtmn= E iitmny то мы найдем (из свойств преобразова­ ния limljm= 6ij) , ЧТО Ец, тп ДОЛЖНЫ ИМеТЬ ВИД

+bz^iimn*

т.е. содержат две независимые константы Ь{ и Ь2 (или X и ц). Если свойства сохраняются только при некоторых (не произ­

вольных) преобразованиях координат, то из (15.22) (или анало­ гичных неортогональных преобразований) находятся соотношения между 21 упругой постоянной.

Анизотропное упругое тело называется ортотропным, если су­ ществует такая ортогональная система координат х/, в которой координатные плоскости (точнее, проведенные параллельно коор­ динатным в любой точке тела) — плоскости упругой симметрии. Если в этой системе координат изменить направление какой-ни­ будь оси, например хь на обратное, то упругие постоянные не должны изменяться. При таком преобразовании нормальные дефор­ мации е11 622 езз и напряжения Оц, о22 о3з сохраняют знаки (так как каждый индекс у е*/, оц входит дважды), сдвиги ei2 ei3 и ка­ сательные напряжения oi2 013 изменяют знаки на обратные, е2з и 023 сохраняют знаки. Аналогичные следствия будут при измене­ нии направлений осей х2 и х3 на обратные. Следовательно, в рас­ сматриваемых осях нормальные напряжения могут зависеть толь­ ко от нормальных деформаций, касательные же — только от со­

только при m=i, n=j. Учитывая условие симметрии (15.19'), полу­

чим закон Гука для ортотропного тела в осях х« (выбранных ука­ занным образом) в виде

Ортотропное тело называется кубически-симметричным, если свойства его (в указанных осях х/) одинаковы по всем трем на­ правлениям. Поворот этой системы координат вокруг любой из ее осей х/ не должен изменять констант, входящих в (15.24). Как нетрудно видеть, отсюда следует

£ц,п = £ 2 2 ,2 2 =£зз,зз— С 1У

£ц,22 = £ц,33 = £22,33= £2э

£l2,12 = £l3,13 = £23,23 = C 3,

и вместо 9 независимых упругих постоянных общего ортотропного тела остаются только три:

а и — £ i 8n + £ 2 (е22 + езз)>

(15.25)

а12 — 2С3812

Если потребовать сохранения свойств (констант) кубическисимметричного тела при повороте системы (х*), отличном от рас­ сматриваемых выше, то получится еще одно соотношение между

£ь £2»£з

Сг— С2=2С39

т. е. тензор упругих постоянных в любых ортогональных коорди­ натах будет иметь вид (15.25), причем

на (15.20)2 и получающееся уравнение типа (15.18) имеет три кор­ ня: D1 D3.

Теплопроводность анизотропных тел, как и линейное расши­

дТ

координатах — 0. Отсюда в общем случае линейной за­

висимости потока тепла q от grad Т имеем

— положительная однородная квадратичная форма относительно дТ/dxi. Без уменьшения общности выражения (15.26) тензор ко­ эффициентов теплопроводности %ц можно считать симметричным (так как 0** — скаляр, дT/dxi — вектор, то по обратному при­ знаку следует, что faj — тензор)

%ц=Хц. (15.28)

Свободную энергию единицы объема анизотропного упругого тела при малых деформациях и малых отклонениях (равных Ф) от постоянной температуры Т0 можно записать в виде, аналогич­ ном (15.1):

P< $=Ao-S0T + - j (Elhmnt uzmn- 2 b b ifit, - 3 £ . v y (15.29)

откуда аналогично (15.1)

Р о * = — 7 P - = S 0 + М , / + - * г О .

Следовательно, связь между а,/, е</, Т будет такая:

Поскольку оц—EiitmnEmn — симметричный тензор, то Ьц также симметричен

и является тензором коэффициентов температурных напряжений. Разрешая (15.31) относительно деформаций, получим

Е{,\тп. Как видно из этих формул, &ij,mnbmn — тензор коэффици­ ентов температурной деформации анизотропного тела. Из (15.33)