Механика сплошной среды

следует, что ненапряженное анизотропное тело (а*/=0) может за

Граничные условия совпадают с условиями изотропного случая. Применение этих уравнений возможно как к собственно анизо­ тропным телам (кристаллам), так и к конструктивно анизотроп­ ным. В последнем случае сетка арматуры должна быть достаточ­ но густой, и все рассматриваемые величины (температура Ту по­ ток тепла q, деформации, напряжения) являются средними в не­ котором смысле. Понятия средних могут быть уточнены на осно­ ве опытов с образцами, в которых создаются «однородные» усло­ вия, или из теоретических соображений, которые специфичны для конкретных моделей тела. Конструктивно анизотропные тела на­

зываются композитами.

§16. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Внелинейной теории упругости сохраняются все основные пред­ положения линейной теории упругости, за исключением предполо­ жения о малости деформаций; последние могут быть произволь­ ными.

Компоненты тензора деформации 6 (А) в лагранжевых коор­ динатах (хг=х*) выражаются через компоненты метрического тен­

зора § (Д ) соотношениями

Следовательно, как уже отмечалось, сам метрический тензор так­ же является тензором деформации, т. е. деформация тела вполне определяется его компонентами. Метрический тензор, как и тен­

зор <§ определяется законом движения частицы х= х(х, t).

Инварианты тензора ^ относительно ортогональных преобра­ зований начальной системы координат х‘=х/ определяются как коэффициенты кубического уравнения |gij—Лб//|=0, их обозна­ чим здесь через а, Ь, с:

—h3 + ah2— bh + с= 0 ,

Уравнение \gu—h8ij\=0 получается при определении .главных де­ формаций и в обозначениях § 4 получаем h=gx,

Тело называется упругим, если все входящие в табл, б и в ос­ новное термодинамическое тождество (10.30) функции являются параметрами состояния, причем рассеяние w* равно нулю, так что функционал энтропии совпадает с энтропией s (10.20), r\=\s. Лю­ бая пара параметров таблицы (я, г, V) из реакции r(t) в момент t представляет вместе с Vf=V функции параметров процесса я (0 в этот же момент. Принимая, например, в качестве процесса (10.24), так что свободная энергия ф — функция деформации и температуры, получим уравнения состояния упругого тела в лагранжевых координатах (Л)

Соотношения (16.4) можно записать и короче:

если такие производные действительно суметь эффективно вычис­ лить. Это можно сделать просто для тела изотропного и по меха­ ническим свойствам, и по температурным, т. е. когда все термо­ механические свойства тела определяются скалярными константа­ ми и одним только единичным тензором /= (б/у).

Следовательно, для анизотропного тела соотношения (16.4) имеют вид

Ф = Ф ( | , ё , а , Г ),

где £, а — четырех- и двухиндексные тензоры константы упруго­ сти и теплового линейного расширения. Аргументами функции (16.6) будут различные свертки указанных в скобках тензоров; фактическое построение таких сверток для кристаллов основыва­ ется на свойствах симметрии кристаллической решетки. В конст­ руктивно анизотропных телах они зависят от свойств симметрии неоднородной структуры таких материалов, называемых компози­ тами. Наименьшее число алгебраически независимых между со­ бой сверток тензорных аргументов функции (16.6) свободной энер­

гии или других скалярных функций состояния V1, каждая из ко­ торых представляет собой инвариант преобразования системы ко» ординат, допустимого термоупругой симметрией тела, образуют базис скалярных инвариантов 3 \, Sf^ •••, &п, так что (16.6) пре» образуется к виду

Среди этих инвариантов, конечно, инварианты любых ортогональ­ ных преобразований (16.3) и другие типа атпгтп, Emnpq(CLtnp&nq"Ь + anpQmq), но их не больше шести (/2<6); остальные зависимы*

так как <§ — симметричный 6-компонентный тензор. Из (16.7) находим

для напряжений рассматриваемого анизотропного тела.

Для изотропного упругого тела, которое будем теперь рассмат»

или через ковариантные компоненты 5

где фа, фь, фс — некоторые скалярные функции, зависящие от ин­ вариантов а, Ь, с и температуры Г, определяемые физическими •свойствами твердого тела. Эти три функции считаем заданными на основании опытов:

Следовательно, (16.13) полностью определяет связь между тен­ зорами напряжений и деформаций. В действительности для обла­ сти больших деформаций упругих тел, таких как высокоэластич­ ные полимеры, эти функции изучены еще слабо, и их определение

лредставляет всегда сложную задачу для экспериментатора.

В случае, когда существуют потенциал и свободная энергия ф (16.9), экспериментально определяемые функции Ф* (16.14) долж­ ны удовлетворять условиям

т. е. между ними должны существовать три соотношения, доказы­ вающие существование потенциала:

Они могут быть проверены в опытах.

Действительное приращение работы внутренних сил в изменяю­ щемся объеме V тела постоянной массы (dM=pdV) за время dt равно

Оно и при условии (16.15) не будет полным дифференциалом, как и приращение работы в объеме единичной массы

— SdS= ^ d£ij = ,tykcl<ifh>

Рдгц

поскольку полное приращение урза dt будет

dV= % dffh + - Q d.T=— SdH—sdT. dl p

Но в случае изотермического процесса (r=const) это будут пол­ ные дифференциалы

Аналогично можно получить ср=ди(Т, а)/дТ. Отсюда следует, что

причем в изотропном случае A‘i=Xg‘i.

Граничные условия для основных задач в перемещениях или

Эти три инварианты взаимно однозначно связаны с инварианта­ ми (а, Ь, с) и потому сами для изотропных тел принимаются в ка­ честве аргументов потенциала я|г.

Они удобны также в экспериментальных исследованиях. Истин­ ное главное напряжение о/ист, соответствующее деформации Хч

согласно термодинамическому тождеству p(d^ + sdT)= SdS, в ко­ тором

непосредственно находящееся через ф

и измерения Огист и кратностей Ki позволяют строить ф по опытным данным, а также проверять потенциальность напряжений:

как нужно построить функцию SF(ka, Т) только одного аргумента, после чего для тензора напряжений получится выражение

Однако экспериментальные исследования по конечным дефор­ мациям твердых тел очень сложны: за длительное время установ­ лено немного потенциалов, главным образом для эластомеров, к которым в первую очередь относятся синтетические и натуральные каучуки (резины). Укажем несколько потенциалов, приведенных в [53]:

А—1=А,|Я2Аз—1=0. При вычислении напряжений на основе потен­ циалов Ф (16.31) рассматривают функцию Ф'=Ф —рАДгА з, при­ чем в главных осях

(16.32)

множитель Лагранжа р остается неопределенной функцией (х, /). Изотермическую сжимаемость учитывают, например, соотноше­ нием

1), - з p= a1 + o.2 + a3= S ‘igil. (16.33')

П

В общем случае соотношение Ми — Грюнайзена отражает свойст­ ва многих тел, включая металлы:

Р0/Р= А , Г(А)=Г0— а1(1— А).

Здесь и — внутренняя энергия, РН(А), ип(А )— функции, опреде­ ляемые на фронтах ударных волн; при больших давлениях р фор­ мула (16.33) сохраняет достаточную точность.

Отметим, что при больших давлениях р (16.33') отношение максимального касательного напряжения тт а х = |о а—сгТ|/2 к дав­ лению становится малым:

\Р /р-+°°

При больших давлениях термомеханические свойства твердых тел приближаются к свойствам идеальных жидкостей, как, впрочем, и свойства жидкостей вязких.

Заметим, что главные значения симметричного тензора £, за­ данного в декартовых координатах компонентами z*/, в главных осях имеют компоненты zk (6=1, 2, 3), выражающиеся через ин­

Поэтому интерполяционный полином Лагранжа представляет со­ бой эффективное квадратичное представление произвольной функ­ ции тензора 8Г{2), удобное для экспериментального определения вида функций ЗГ ..) по простейшим опытам.

Глава V

СРЕДЫ СО СЛОЖНЫМИ СВОЙСТВАМИ

Механические свойства жидкостей и твердых тел, не обладаю­ щих совершенной упругостью и вязкостью, настолько переплета­ ются, что для тех и других нередко используются одни и те же со­ отношения между напряжениями и деформациями, и в этих слу­ чаях основные дифференциальные уравнения МСС для них совпа­ дают. Важный пример таких сред представляют полимерные ма­ териалы (смолы, каучук, ...). Технология их производства охва­ тывает область жидкого и твердого состояния, причем упругие и вязкие свойства являются существенными. Поведение металлов в технологических процессах и конструкциях в зависимости от диа­ пазона температур определяется вязкими, вязкопластическими, уп­ ругопластическими или упругими свойствами.

Установление связей между напряжениями и деформациями и замыкание системы уравнений производятся методами, изложен­ ными в гл. И. В ряде случаев поле температуры Т предполагает­ ся известным, и потому уравнения МСС становятся замкнутыми только на основании определяющих соотношений.

§ 17. ПРОСТЕЙШИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СРЕД СО СЛОЖНЫМИ СВОЙСТВАМИ

В этом параграфе рассмотрим формально близкие между собой модели сред со сложными свойствами; конечные деформации бу­ дем рассматривать только в ортогональных эйлеровых координа­ тах хц малые же деформации — в начально ортогональных лагранжевых координатах (х/). Компоненты тензора напряжений попрежнему в Э и Л будем обозначать о//, S*7, 5 Г/, скорости дефор­

мации — Vij, Vij=Eijy деформации — Eih e2-j, девиаторы отмечать волной сверху

dxj

Существенную роль будут играть также вторые инварианты девиа-

торов о,/, vij, причем квадратные корни из этих инвариантов бу­ дем называть модулями девиаторов и обозначать

a = V дери =

= у | - Y (ou —СГ22)2 + (a22—<T33)2 + (о3л— >ou)2 + 6 (o\2 + e223+ a2,),

В излагаемых ниже теориях разработаны эффективные методы решения задач и вариационные принципы (§ 12).

1. Нелинейно-вязкие стабильные жидкости в простейшем слу­ чае отличаются от рассмотренной ранее (§ 14) классической жид­ кости тем, что коэффициенты вязкости зависят от тензора ско­ рости деформации и температуры. Для изотропной нелинейной вязкой несжимаемой жидкости, как и для классической, девиаторы напряжений и скорости деформаций пропорциональны:

оц=2\ша=2роц. (17.1)

Возводя левые и правые части первого равенства в квадрат, получим

и, следовательно,

зVu

В классическом случае ньютоновской несжимаемой жидкости ко­ эффициент (I при r=const постоянен. В рассматриваемом здесь случае коэффициент вязкости р есть некоторая функция инвари­

антов v и сг однако такая, что а-^0 при 5->0:

Эта функция находится из опытов на сдвиг и обычно не зависит от а, а только от 0 и Т Среднее напряжение о, как и в других несжимаемых средах, находится в процессе решения краевой за­ дачи.

Соотношение (17.1), справедливое как для классической, так и нелинейно-вязкой жидкости, можно трактовать как условие сов­

падения направлений тензоров Oij и иг;- и потому оно называет­ ся векторным свойством среды.