Механика сплошной среды

Менее общим* является предположение, что u(t), ф(£), s(t) —

интуитивных и качественных, соображений функции. Импонирует гипотеза, что скорость роста объемной плотности величины p,(f, х)

Соотношения (10.25") нередко дополняются гипотезой о функ­ ции рассеяния и работе

а»*(0=а>к(М-(0, И (0 )М 9 .

метрами термомеханической природы, и соответствующие им оп­ ределяющие уравнения приводимы к виду (10.5).

Но без экспериментального изучения конкретной сплошной среды, ее структуры и свойств, которые и могут быть отражены параметрами типа (10.25'), (10.25"), нельзя указать прямых опы­ тов, которые позволили бы установить число и выражение пара­

меняющимися во времени параметрами состояния T(t)t р«(0> б'С?г выражение (10.2) на основании (10.22) преобразуется к виду (при ш* = 0)

т. е. б' Q T имеет интегрирующий множитель Г-1:

^2

(10.28)

Этот интеграл зависит не от того, по какому закону во времени: подается тепло 6<3г и изменяются параметры рл, а только от ко­ нечных и начальных значений параметров. Равенство (10.28) и служит для нахождения энтропии s(T, р). Аналогичное равенство* вытекающее для рассматриваемого объема из (10.12), служит для определения внутренней энергии а(Т, р). Но для нахождения числа и физического смысла параметров р в макроопытах могут быть полезны лишь функционалы (10.6), так как параметры в силу основного постулата должны преобразовывать функциона­ лы процесса (10.25) в функции этих параметров.

Для необратимых процессов основное термодинамическое тож­

среды» нередко практически недоступны для .^-опытов, но неко­ торые закономерные проявления ее свойств в некоторых натурных условиях имеются. Тогда можно принять некоторую гипотезу о виде одного скалярного функционала У*(я), например энергии и*(я), и если из тождества (10.30) найти уравнения состояния, т. е. реакцию /*'(я), то решить соответствующую натурному явле­ нию задачу МСС; сравнение результатов с известными законо­ мерными проявлениями позволит оценить правильность гипотезы.

функционала с учетом свойств довольно большого числа уже из­ вестных в МСС.

Вид тождества (10.36) может быть придан тождеству (10.30) применительно к любой строке таблицы (я, г, V); он отличается выделенным слагаемым ад*^50, имеющим много названий: рассе­ яние, диссипация, некомпенсированное тепло и т. д. Как уже ска­

сказать о w* = T(s—г\)^0 и об энтропии s: измерим функционал

энтропии Т1'(я), но не st(n) и ад* по отдельности. Эта неопреде­ ленность породила ряд гипотез о существовании вместе с (10.30) еще одного термодинамического уравнения (kd).

Целесообразно следующее доопределение функционалов рассе­ яния ад* и энтропии s, соответствующее сложившимся в МСС представлениям: если в конечном объеме среды возможен ста­

Здесь Qi — количество тепла, выделяемое за один цикл массой объема V через 2 во внешнюю среду.

При заданном функционале ф*(я) не найдено общего решения уравнения (10.36), т. е. реакции iV(n). Но если ф'(я) имеет

дифференциал Фреше, например

предположениях и обозначении со = гя.

1.Функции физически допустимых процессов я(т), реакций

нейному функциональному пространству Ф, состоящему из кусоч­

где индексы i, j, k, I принимают значения 0, 1, 2, 3, вектор v(t, х) (известен при данных V\ л) и тензор-функция R(t, х) с ограни­ ченной вариацией по х определены с точностью до аддитивной постоянной (зависящей только от t).

Рассмотрев множество процессов 6я(т), проходящих через точ­ ку t0>получим из (10.43) функциональное уравнение для реакции

г '(я (т )):

где c(t) — постоянный (по т) вектор

С(t)=v(t, t)— n(t)R(t, t)— rh[t, t)=v(t, t0)~n(t)R(t, t0)— rh(t, i0)

и rh(t, T ) — вектор скачков функционала г*(я(т)), который в простейшем случае равен

Г*(*, x)=T(t)h(t, т),

имеет единственным решением г'(я) = V /(я).

Изложенное выше относится к термомеханическим процессам, определяемым деформациями, напряжениями, энтропией и темпе­ ратурой. Если существуют другие физические поля, определяемые

кают дополнительные силы, действующие на весь объем мыслен­ но выделенной частицы массы рДг/, совершающие за время Ы ра­ боту

и что возникает дополнительный к б'QT приток тепла pq$tAV за счет проникающего облучения или источника диссипативного ха­ рактера. Например, в случае электромагнитного поля с электри­ ческим вектором Е и магнитным Н (§ 22)

где D В — векторы электрической и магнитной индукции, т. е. набор параметров рг состоит из компонент двух векторов: р= = (D, В); объемная плотность источника тепла рq$ представляет джоулево тепло.

Первый и второй законы термодинамики получаются в обоб­ щенном виде:

лучается из (10.48) интегрированием по объему и из определения внутренней энергии Ug и энтропии Sg рассматриваемой массы:

dUg= J (Sild£tf—div qdt + Wg/dt + pq^dt) dV = ve

— b' A— dKg— J qnd2dM-6'lp,

или согласно (10.2')

d (Ke+ Ug) = 8 ’A + 8'Qr + б'Лр,

(10.50)

U A ^ ^ W ^ + pq^dVdt.

Здесь Kg — кинетическая энергия, б'A — работа массовых и по­

Vg

получим интегральную форму закона баланса энтропии

d S g = - ^ - L q n d m + ^ - L (w*— -yqgradT + Pq^dVdt. (10.52)

компенсированного тепла в термомеханических процессах. След­ ствие (10.52) в виде

называют иногда неравенством Клаузиуса—Дюгема. Оно неопре­ деленно, если не определена энтропия S (10.49) или w*.

Отметим еще одно постулируемое фундаментальное неравенство для замкнутых по деформациям изотермических процессов [13]: работа внутренних напряжений в таких циклах неотрицательна

установлены дифференциальные и интегральные уравнения сохра­ нения массы, импульса (уравнения движения), сохранения энер­ гии, баланса энтропии (уравнение притока тепла), а также урав­ нения, связывающие тензор напряжения и вектор теплового по­ тока с деформациями, температурой и немеханическими задан­ ными параметрами. Эти соотношения в принципе определяются,, и притом однозначно, непосредственно в «^-опытах для всех воз­ можных в частице процессов; поскольку все входящие в эту сис­ тему равенств параметры измеряются приборами и системе удов­ летворяют, группа параметров, названная реакцией (г), одно­ значно определяется группой процесса (я). Следовательно, для малой частицы решение существует: r(t) = г /(я(т)). Поэтому пе­ речисленная система уравнений в МСС называется замкнутой для всех внутренних точек области движения среды.

движения среды, кроме задания замкнутой системы для внутрен­ них точек, необходимы граничные и начальные условия.

В силу основного постулата МСС решение замкнутой системы уравнений МСС для внутренних точек существует при некоторых

маций по-прежнему обозначим S, <£. Общие уравнения МСС для внутренних точек области движения следующие. ^

1.Уравнения, выражающие тензор деформаций <§ и плотность

•среды р через вектор перемещения u(x, t) или х=<р=х+и (§ 4):

причем F= F(x, t) — заданная массовая сила. Уравнения записы­ ваются также в виде

Существенно, что если, как и сделаем, за независимую искомую функцию принять вектор х или перемещение и, то на основании (11.1) уравнения (11.3) обратятся в тождества и потому могут не рассматриваться.

Следовательно, для вектора и и тензора напряжений S полу­ чается только одно уравнение (11.2'), т. е. для девяти функций

х1, ха, х3 S11 S22 S33 S12= S 21 S23= S 32 S31 = S13

мы из (11.2) имеем только систему трех дифференциальных урав-