Механика сплошной среды

(18.20"). где уц, гц, £,-/ есть производные тензора е„- различных

порядков, включающие

_ т. т. т.

1^3т— в1кек1гЦу Ш^О, 1, 2, 3, 4,

и не выражающиеся операторами по t от s, хь • • •. *5-

Весь набор инвариантов, содержащий третьи инварианты тен­

лат МСС для изотропных тел действительно полностью отобра­ жает свойство изотропной среды в физическом пространстве, по­

нии векторов у, z в £5: у' = ау, z' —oz, причем матрица а — 1(Ьпараметгрическая: «аг= /. Очевидно, что любое линейное соотноше-

ние в £5 между векторами у, у<1} z, z(,) с коэффициентами, зависящими только от их инвариантов, инвариантно относительно ортогональных преобразований, т. е. пятимерное девиаторное про­ странство для них изотропно.

Опыты показывают, что определяющие соотношения для сплошных начально изотропных сред в области сравнительно ма­ лых деформаций согласуются с постулатом изотропии: они инва­ риантны относительно ортогональных преобразований в £ 5; образ физического процесса сохраняется при всех вращениях и отра­ жениях в £ 5 если в соответствующих точках траектории сохра­ няются значения параметров ед*(0» T(t), 0(0* Это свойство на­ столько сильно упрощает экспериментальные исследования физи­

что становится возможным даже прямой метод решения краевых задач МСС без знания аналитических представлений скалярных

тановок*. При исследовании свойств новых сред естественно ис­ ходить из постулата изотропии и после выяснения степени точ­ ности (18.24) ставить задачу уточнения. Такое влияние ffz в об­ ласти больших деформаций имеется, например, в нелинейной тео­

* В 1962 г. в теории пластичности возник метод СН—ЭВМ: СН — машша для испытания в различных сочетаниях на растяжение, сжатие, кручение и гид­ ростатическое давление круглых трубчатых пли сплошных образцов металлов, ЭВМ — электронная вычислительная машина.

показывают, что это склерономные (не зависящие от масштаба времени) характеристики величин сдвигов и характера распреде­ ления их по различным физическим направлениям (волокнам). В представлении (18.16), требующем существования меньшего числа производных от э и а сравнительно с (18.13), более удоб­ ны, вместо xi, Х2 х3 х4 инвариантные в £> смешанные характе­ ристики процесса нагружения

s, <7J = | O |, q2= d\s\/ds, q3= o d s/^d s),

(18.26)

q ^ d q ^ ld a l,

причем коэффициенты Cm, Dm — функционалы no t параметров (18.26), а также е9 (или o9) и 7’(т), р(т). В изотропном Е$ соот­ ношения (18.16) можно привести к виду

N, М — функции л (t), приближенно представляют (18.16). Преобразование (18.27') к индексной форме получается умно­

жением на матрицу р = (р,-,-*); например,

—Sijdzij = od3. Можно было бы взять любую другую сопряженную пару

6'A = S d & = J/]' dZij=J dz,

где 7(Л )=#~2(^, 5), z(JI) = ^ “2(S) — некоторые функции ука­ занных тензоров. Среди них есть такие, что для них радиус сфе­ ры в подпространстве Еъ девиаторов 5, внутри которой образ изо­

тропен, не меньше, чем для z = &.

Условие ковариантности общего функционала состояний 5 = =£Г[<!э\ для начально изотропных тел относительно преобразова­

Функционалы (18.13) с коэффициентами вида (18.23) удовлетво­ ряют этому уравнению.

§19. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ НАЧАЛЬНО ИЗОТРОПНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Если напряжения в начально изотропном твердом теле огра­ ничены условием пластичности (§ 17), то под действием нагрузок при aw<ors оно обычно ведет себя как идеально упругое (§ 17, 16). Ниже имеются в виду металлы и сплавы при нормальных тем­ пературах, но многие другие тела обладают такими же свойст­ вами.

Рассмотрим сначала малые деформации, при которых 5-мерное пространство девиаторов £5 (§ 18) изотропно, что с достаточной точностью установлено экспериментально. На траектории дефор­

в любой фиксированной точке процесса s(s), тождественны, образ всего процесса и реакции сохраняются. Достаточно изучить one-

ратор (19.1) на каком-нибудь процессе 3 = f(s) в £ 5 , как он будет

известен для всего бесконечного множества процессов af(s), кото­ рые в физическом теле совершенно различны. Поэтому такой под­ ход к нахождению определяющих соотношений в МСС называется

в разных направлениях проводить лучи, на которых от О до Ks

э8(р). Если в £ 5 строить соответствующие лучевым деформациям напряжения о(/), то согласно постулату они будут тоже лучевы­

называется условием пластичности Мизеса. Учитывая установлен­ ное свойство почти постоянства отношения тт ах/|о| (§ 6), при сохранении режима p(s) или 0(s) в опытах, условие пластичности Мизеса можно заменить условием пластичности Сен-Венана

Ясно, что если по прямым лучам вести процессы с неодинаковы­ ми p(s) или 0(5), поверхности |о |= а 5(о, р), |э |= э 5(э, 0) могут не быть сферами. Но часто os, э8 не зависят от р.

Лучевые нагружения или деформирования называются просты­ ми. При простых нагружениях-разгрузках (обратных движениях

Определяющие соотношения (18.16) во многих случаях малых деформаций металлов, как уже отмечалось (§ 18), аппроксимиру­

Угол Ф называется (по его геометрическому смыслу в £ 5 ) углом сближения вектора напряжения о» с вектором р\ = йэ/ds касатель­ ной к траектории процесса e(s).

Теория малых упругопластических деформаций основана на свойствах медленных (квазистатических) процессов простого на­ гружения-разгрузки, которые с большой точностью реализуются в теле, если его нагружения-разгрузки просты, т. е. все внешние силы, произвольные по координатам (х), во времени возрастают и убывают пропорционально одному общему параметру л. В Еъ для каждой точки М тела такой процесс изображается движением

Пусть Р0 — определенный постоянный единичный вектор на тра­ ектории э(э). Тогда, очевидно, при простых нагружениях-разгруз­ ках

Алгебраическим модулем напряжений оа назовем величину, опре­ деляемую равенством

Из (19.7) находим выражение

Поскольку эа — известный функционал q(s) (19.8), задача опре­ деления функционала В сводится к определению функционала

Оа [q].

Свойства функционала пластичности В и его представление длякаждого материала при заданной постоянной температуре Т могут быть установлены в опытах на кручение тонкостенного трубчатого образца моментом 7Икр. Единственные отличные от нуля компоненты тензора напряжений и деформаций в трубке при выборе цилиндрических координат «1» — по образующей, «2» — по окружной координате

где R — средний радиус, h — толщина стенки, I — длина трубки, Ф — угол закручивания трубки на длине /.

Выражения основных величин через 012, 812:

В общем случае функционал В[э] строится на основании диа­ граммы (рис. 19.1) так: параметру s задаем непрерывно возрас­ тающие значения от 0 до любого значения (пластические дефор­ мации возникнут при s> 9 s) и задаем программу нагружений-раз­ грузок, т. е. функцию <7(s) = ± l, например

находим 3a(s), т. e. «путь» на диаграмме рис. 19.1:

(Jo (s) и B(s) (19.7).

Соотношения (19.7), (19.12) можно записать в общей форме, если ввести вместо функции о=Ф(э) обратную ей э=Ф-1(а) и обозначить отношение

Ф 1 (д) __1 -f- ф (о)

(19.15)

о2G

Тогда деформацию гц можно представить в виде суммы упругой е(е) и пластической в<р):

где v — коэффициент Пуассона. Обозначая as= Y 2/3 os, из вида

жения а, пластической деформации з(р)= / е (.^е(.Р>

или работы на пластических деформациях

Wp= [ o d a ^ \

но не от <7i, <7з, qA (19.6).

Без этих ограничений функции N, Р исследованы: для процес­ сов деформации малой кривизны где к порядка (3 —10) е^; средней кривизны >с~/г-1; процессов в виде «веера» двухзвенных ломаных.

точки А\ и Asf — новые пределы упругости в состоянии 0\. Та­

Продолжая процесс из А и обнаружим, что э(р) для одних направ­

лений АХА\ продолжают изменяться, но для других АгА\ они ос­ таются постоянными. Граница, разделяющая область продолжаю­