Механика сплошной среды
..pdfназывается условным напряжением на площадке |
dS с нормалью |
|||||||||
v; он коллинеарен P(v) и равен |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t(v)= S ‘ V g n „ |
|
|
(6.2Г) |
||||
т. е. существует в репере (е*) |
вектор |
t\ такой, |
что подобно (6.8) |
|||||||
|
|
|
t(v)= t'/z°;, |
t‘= V g S £. |
|
|
|
(6.22) |
||
Вектор tz |
можно представить |
в базисе е* через |
его компоненты |
|||||||
|
|
|
t£= t£iej. |
|
|
|
|
(6.23) |
||
Формула |
(6.22) для t1с учетом (6.9) |
принимает вид |
|
|
||||||
|
|
* = |
у |
g S ' * a k-=^rSVg“. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dxk |
|
|
|
|
Отсюда, |
заменяя |
x = xht kt э/=Луе^, |
находим |
связь |
между |
ком |
||||
понентами № и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Y g A!k Sik. |
|
|
|
(6.25) |
|||
Псевдотензор W вследствие определения его |
на |
основании |
(6.21) |
|||||||
называется тензором условных |
напряжений |
Пиолы — Кирхгофа. |
||||||||
Как видно из |
выражения |
компонент W (6.25), матрица |
W — |
|||||||
несимметричная. |
Связь |
компонент тензора условных |
напряжений |
|||||||
iij с истинными векторами напряжений Р(а) на деформированных |
|||
вектор-площадках dSa (при |
t = t0 |
о |
находится |
координатных dSa) |
|||
из (6.7), (6.22) |
|
|
|
ta= |
y ^ |
P (a> |
(6.26) |
Единичная нормаль v площадки |
выражается через начальную |
||
о |
|
|
|
нормаль п этой площадки с помощью (4.31) |
|
||
о |
|
о о |
(6.27) |
\ = щэЧ V |
nmnngmn. |
||
Физическими компонентами тензора напряжений ОфаР называ ются проекции векторов Р(а) по осям эг-. Они определяются из ра венств
з |
|
|
/---1 |
|
|
где kj — единичный базис |
направлений |
3jt ка= эа/|э а|. Как сле |
дует из (6.7), физические |
компоненты |
тензора напряжений связа- |
4*
ны с основными контравариантными компонентами напряжений S'i следующим образом:
|
офр= 5 ар Y |
р г ’ °Фа= 5“а Y |
Р |
' |
|
|
|
(б-29> |
||||
В механике сплошной среды существенное значение имеет тен |
||||||||||||
зор мгновенных истинных |
напряжений, определенный |
в точке |
х |
|||||||||
пространства |
наблюдателя |
компонентами |
Oij = oij |
в декартовых |
||||||||
координатах |
(хг). В объеме dV = dx\dx2dxz |
(или |
dx]dx2dx3) |
в |
мо |
|||||||
мент t находится физическая |
частица — параллелепипед |
с |
коор |
|||||||||
динатными гранями, определяемыми |
вектор-нормалями |
еа; при |
||||||||||
t = t0 эта частица была некоторым косоугольным |
параллелепипе |
|||||||||||
дом с направлениями и размерами основных |
ребер |
|
(%)j, |
удовле |
||||||||
творяющими |
соотношения |
(4.9) — (4.10), в |
которых |
надо |
заме |
|||||||
нить p ^ ( p ) a = dxaea\ следовательно, |
волокну |
(р)а соответствует |
||||||||||
|
(t)a = eadxa= B^id xa, |
|
|
|
|
|
|
(6.30) |
||||
координатной площадке |
= eadxpdxT— площадка |
|
|
|
|
|
||||||
|
d^a=(5)p X (l)y=dx^dxy€^ х бу |
|
|
|
|
(6.31) |
||||||
Вектор истинного напряжения |
на физической |
площадке, |
которая |
|||||||||
в момент t совпадает с d&~a, обозначим 9^а\ |
его компоненты в ре |
|||||||||||
пере ег обозначим оаи так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
§>w= oalel==oa |
|
|
|
|
|
|
(6.32) |
||||
Полная сила, действующая |
на d&~a, равна &>(a)d&~a, где d@~a = |
|||||||||||
= dxs>dx1. Площадка d@~a по отношению к реперу |
— наклонная |
|||||||||||
с нормалью v = ea, и потому вектор напряжения |
|
совпадает |
с |
|||||||||
5Z(V> (6.8) при v = ea. Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = ea= 3'vb vi= 9 ie,i |
дх( |
= А? |
|
|
|
|
|
|
|||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
дх1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оа= ^ (a)= S JA f 3j = |
S V A tA fa . |
|
|
|
|
(6.33) |
|||||
Сравнивая (6.32) и (6.33), |
находим выражения о,-? через |
компо |
||||||||||
ненты S’i, т. е. формулы преобразования компонент 5 при пере ходе в точке х от репера 3j к декартову е -,
oai= oai = S"inA«Al |
(6.34) |
Поскольку S^ = SJ*, то и аг-,= а^, т. е. компоненты |
a7j тензора |
мгновенных напряжений симметричны. Формулы (6.34) позволяют фактически вычислить истинные мгновенные напряжения a,j(x, /),
если известен |
закон движения среды х= х(ху 1)у по которому со |
|||
гласно (4.7) находятся А5\ так как (6.34) |
при этом |
определяют |
||
Oij(xy t)f а значит, и вц(хуt). |
(6.34), если |
их умно |
||
Обратные |
соотношения получаются из |
|||
жить на ВаВ\ |
и просуммировать по а и i. Учитывая |
(4.8) |
(В\А)= |
|
= 8 j=l 8 hj)y получим |
|
|
|
|
|
Sk‘ = ouB*B‘. |
|
|
(6.35) |
При заданных ац(х, t) и законе движения в обратной форме х= = х (х, t) из (4.10) находим
дхт |
BZ(x, t), |
|
дхп |
||
|
а следовательно, и В™(х, t), после чего (6.35) дают Shl(x, t). Обозначим через n = v единичную нормаль к некоторой пло
щадке в точке х в момент t
n = n iei= v i9‘, Vi= n9i= nkA£
и найдем выражение истинного вектора напряжений 9*-п) на ней,
положив в (6.8) v = n, P<v)= $ >(',); найдем |
|
P(V)= S h j =o>nl. |
(6.36) |
Откуда получаются простые формулы для компонент напряжений Р(71) на косых площадках:
|
|
|
P'i = |
Р(п)ег=а./П/. |
(6.37) |
||
Они очевидны и из простых |
соображений: |
при t = tQкоординаты |
|||||
xh и хк совпадают, |
так |
как |
при |
t = t0y эг= е 2- gij = 8ijy А%=8'£, и |
|||
потому |
из (6.34) |
Oai = Sai\ из |
(6.8) сразу |
находим (6.37). Отме |
|||
тим, что |
при / = const |
вообще |
все свойства |
преобразований aj, |
|||
связанные с преобразованием |
репера е -, совпадают тождественно |
||||||
с соответствующими свойствами |
при малых деформациях. |
||||||
Теория напряжений в декартовьЧх координатах одинакова для малых деформаций в лагранжевом и для любых в эйлеровом про
странствах. Если |
перемещения малы, то |
и |
|
поэтому gij = 8ij |
с ошибкой 6<1. Тензоры S^ = Oij совпадают, и |
||
для напряжений |
на косых |
площадках имеют место |
формулы |
(6.36), (6.37). |
|
на косой площадке равно ^ и)-пу |
|
Нормальное напряжение |
|||
т. е. |
|
|
|
|
Ni")= a ilnini, |
(6.38) |
|
|
з |
|
|
|
A^=^CTft« 2 = -j-(a1 + a2 + CT3) = a |
(6.41) |
|||
|
k —\ |
|
|
|
(так как в главных |
осях |
касательные |
напряжения |
отсутствуют, |
т. е. Gij = 0 при |
Это |
нормальное |
напряжение N = o одинако |
|
во на всех восьми гранях октаэдра, т. е., как и в идеальных жид костях, давление (—а) одинаково по всем граням; но в произ вольной среде на этих гранях кроме равномерного давления дей ствует еще одинаковое по величине, но с различной ориентацией
касательное напряжение |
называемое октаэдрическим |
напря |
жением. Поскольку из (6.36) |
имеем на каждой грани |
октаэдра |
вектор напряжений ^ (п), то |
|
|
rn = V &(n)2— N2= |
|
|
=\ЛтзТ+ (w)’ + (~йT- T(',■+a■+0• '
Напряжение тп, конечно, является инвариантом, так как главные
напряжения ai, |
02, сгз — инварианты. |
Следовательно, |
его можно |
|
выразить через |
два |
первых инварианта группы (6.39) |
и записать |
|
в виде |
|
|
|
|
|
= Y |
V3CT;/CT;/—(За)2 = |
-у=- Y ОI/Oif= |
|
=т /(£Lr !lf+(^f^)'+(s^ Y r |
<6-42) |
||||
где через Oij обозначены так |
называемые компоненты девиатора |
||||
напряжений Ds: |
|
|
|
|
|
|
ои = аи —o8if. |
(6.43 |
|||
Нго первый инвариант |
равен |
нулю, сг;Д-/ = а1 + а2 + (Тз=0, |
вто |
||
рой,^называемый квадратом модуля |
девиатора напряжений, |
ра |
|||
вен а2 где |
|
|
|
|
|
а = Y |
оI/Oи = |
Yи У |
т'2 + Т23 + ^31, |
(6.44) |
|
величины Таз называются главными касательными напряжениями.
Их физический смысл как экстремальных |
значений касательных |
|
напряжений Oij (*V=/) будет |
выяснен. Эти |
напряжения равны по- |
луразностям главных напряжений: |
|
|
a 1 — Оо |
|
а3 |
2 |
2 |
о |
Третий инвариант девиатора Ds равен
I °и I = а 1а2СГ3»
где Ok— главные компоненты |
Ds, выражающиеся формулами |
(6.43): |
|
ofi= Oh—o, |
k= 1,2,3. |
Девиатор Ds и два основных инварианта тензора 5 а и а иг рают фундаментальную роль в МСС, так как отражают наиболее существенное отличие внутренних сил любой среды от подчиняю щегося закону Паскаля давления в идеальной жидкости, которая
может быть определена как среда, в которой о = —р, а/* = 0. Рассмотрим в главных осях тензора напряжений 5 произволь
ную площадку с нормалью n = niei0, причем через ei0 обозначим единичный репер главных осей. Вектор силы на ней имеет компо ненты (6.37), причем оц = 0 (1Ф'\), Оп = оь сг22 = ст2 азз = аз и равен
Дхеао= аа^аеа0» квадрат касательного напряжения, очевидно, равен
k-~\ |
k--=\ |
причем |
|
5 > 2 = '• k— \
Напряжения Ok в рассматриваемой точке фиксированы, и мы мо
жем найти экстремум т2 по переменным пи при указанном |
усло |
||||
вии, т. е. найти соответствующие направления п. Обозначим |
я2= |
||||
= х, |
п \= у у п\= 1 —х—у |
и перепишем |
(6.46) в виде |
|
|
т2= |
(о\— а§) х + (Q2 —а§) у + о§—[(о1—а3) х + (а2—а3) у + а3]2. (6.46') |
||||
Условия экстремума |
|
|
|
|
|
|
— —— —0 п — — п — |
|
|||
|
дпх |
dtio |
1 дх |
2 ду |
|
дают два уравнения |
|
|
|
|
|
|
пг [ o \- a l- 2 N in) (а1_ а 3) ] = 0, |
(6.47) |
|||
|
л2 [ai— ol— 2Nin) (cr2—сг3)] = 0, |
||||
где |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
N(n)= |
(огА—(т3) х + (ог2—о3) у + а3. |
(6.48) |
||
При ai = cr2 = a3 величина |
N {n)= o 3l т. |
е. х, у остаются неопреде |
ленными, т= тар = 0; такое |
состояние |
возможно в различных сре |
дах, но только при особенно простых внешних воздействиях. При условии
a i> a 2> a 3, |
(6.49) |
не ограничивающем общности рассмотрения, в (6.47) должны по ложить либо /2i= 0, либо /22 = 0, так как в противном случае полу чим противоречивые уравнения для ЛДп), если только о\фо2. При п22 = у = 0 находим из (6.47)
<*1 + 03—2 [ К —03)х + сг3]= О
откуда х = /х!2 = 0,5, /г32= 1 —/ii2 = 0,5, т. е. |
искомая площадка про |
ходит через ось е20 и расположена под |
углами 45° к e{Qи е30. На |
этой площадке согласно (6.46х) |
|
т. е. T= TI3 (6.45)— наибольшее касательное |
напряжение |
в рас |
|
сматриваемой |
точке тела. Полагая теперь п\2 = х = 0 и затем /г32 = |
||
= 0, найдем, |
что два других экстремальных |
напряжения |
равны |
т23, Т12 (6.45) |
и действуют на площадках, делящих пополам углы |
||
между главными плоскостями (2, 3) и (1, 2).
Наибольшее касательное напряжение, равное Ti3=Tmax при ус
ловии (6.49), в других случаях будет наибольшим |
по модулю из |
всех тар (6.45) |
|
Tmax=rnaxTaP. |
(6.50) |
Оно определяет наибольшую силу сдвига в среде и потому может приводить к разрушениям твердых тел, изменениям режимов те чения жидкостей и газов и т. п. В МСС обычно находят не только закон движения u(x, t) или v(x, t)y но и компоненты тензора на пряжений S^'(x, t) или Oij(xy t) и др. Но для вычисления т Шах на до вычислить главные напряжения он а2 а3 и выбрать наиболь шее из (6.45), что связано с решением и анализом корней кубиче ского уравнения. Важным преимуществом обладает октаэдриче
ское напряжение тп (6.42) или модуль девиатора а, имеющие
простые выражения через оц или d j и практически равноправные с Ттах. Причина такого равноправия в первую очередь состоит в том, что с точностью до почти постоянного множителя числа тп и
Ттах или а и тт ах равны между собой независимо от характера среды и процесса ее движения. Действительно, отношение, напри мер, Тп/ттах определяется дробью
Тп |
_ |
2 Т212 +У Т2з + |
(6.51) |
|
Ттах |
3 |
max |Тар| |
||
|
причем на основании выражений |
(6.45) |
|
|
Следовательно, |
^12 + ^23 + ^31—0. |
|
|
|
|
|
|
— z = Y 1 + a 2 + fc2 |
— V (gi ~ Q2)2 + (g2 — <J3)2 + (g3 — Qi)* |
(6.5 Г) |
|
2 |
|
шах |aa — ap| |
|
причем 16 1< |a| < 1 l + a+ b = 0; |
при этих условиях, как |
легко |
|
видеть, что z заключено в границах |
|
||
1> |
+ — > |
+ 5 - а* 0,866, |
(6.52) |
|
2 /2 |
2 |
|
и, следовательно, положив z~0,878, мьг можем допустить ошибку <7% . Такая же оценка справедлива для деформаций и скоростей деформаций (5.32).
Проведенный выше анализ напряжений в точке тела, не зави сящих от систем координат, тождественно переносится на теорию деформаций и частично уже был сделан в § 5. Например, глав ные сдвиги через главные удлинения выражаются формулами (6.45), если заменить буквы а на е и т на у/2.
Главные компоненты тензора напряжений оа и девиатора cra= aa—а выражаются через а и инварианты девиатора a (6.44)
и ^зо= det (oij) формулами Кардано для корней кубического урав нения:
0 , - 0 = J / A J C C -S-.
0= Y T °COS{4 ^)- |
(6.53) |
|
Г т 5с05(_ЬГ2")'
косинус угла вида напряженного состояния я^ср<2п определяет ся формулой
0 ^ — cos(p=3]/6 detaly/a3^ 1. |
(6.54) |
Эти выражения справедливы для любого симметричного тензора второго ранга.
§ 7. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Постановки и решения задач МСС часто упрощаются при за мене декартовых координат х (х \ х2ухъ) криволинейными.
Введем криволинейную систему координат q\ i= 1 2, 3, вза имно однозначно связанную с ортогональной декартовой системой координат (х* или Xi) эйлерова пространства
q‘ = q‘ {x), х = х (q':y, |
(7.1) |
базис и метрический тензор ее выражаются формулами
q« (<7)= dx/dq1= C ?tm, qu (q)= о д = С?С]1
<7'/<7/т=б,1п, q'=q/<7"'.
Если производные векторов базиса dqjdqj представим (5.1) в виде
dqi/dqi= уТрт= уц,тдт, У'1)=УцМЯкт,
то получим подобно (5.4) |
|
|
|
|
|
|
_ _ L |
/ |
d4ik |
, |
dqik |
dqu |
\ |
УЧ’к 2 |
\ |
dqi |
~Г |
dqi |
dq* |
/ ’ |
(7.2)
подобно
(7.3)
(7.4)
т. е. найдем Vt/.ft и У*/ как функции координат q\
Различные системы криволинейных координат бывают удобны для решения частных задач в зависимости от формы области, за нятой телом. Например, для области, имеющей при любом t фор
му цилиндра, |
ограниченного |
перпендикулярными оси плоскостя |
|
ми, удобны цилиндрические координаты: |
|
||
q1= r 1 <72= ф, q3= z, dx2= dr2 + r2dy2jrdz2t |
|||
для которых отличные от нуля метрические параметры равны |
|||
|
?11= |
9зз= 1> ?22=г2> |
|
|
q 11 = q ^ = \ , q * * = l / r 2, |
|
|
У22,1== |
Vl2f2= V2l,2= r » Tl2 = V9l= |
Y22 |
|
В § 6 введен тензор напряжений 5 с компонентами S'i в кри волинейных лагранжевых координатах хг‘ и компонентами Oij, яв ляющимися истинными напряжениями в декартовых координатах х1 эйлерова пространства; при этом х и х связаны законом движе ния (3.22) или (3.23)
Х = Х (х, t) ЕЕЕЕф (х, t), |
Х = |
Х (х, f) = D(х, t). |
Сохраним прежние обозначения |
для |
соответствующих реперов, |
метрических тензоров (§ 4) |
|
|
Эг = Л -еЛ, |
g i j = |
A ik A hk |
Э ‘ = В ' к% , g ' 1= В к В и
и символов Гij./t, Гг/ , выражающихся формулами (5.2), (5.4) че рез метрический тензор gij. При этих условиях все результаты и формулы, полученные ранее, сохраняются.
Для одной и той же физической точки тензор напряжений 5 с компонентами o i j в эйлеровых декартовых координатах х * и ком понентами S ij в лагранжевых координатах хг' (при t> t0 являю щихся криволинейными) — один и тот же физический объект. Это
значит, что |
на одной и той же площадке |
с единичной нормалью |
|
v = п, представленной в реперах э* и ег, |
|
|
|
|
v = n, v( = v3>i, nt= пег, |
(7.5) |
|
физические |
векторы истинных напряжений |
P<v) (6.8) и ^ (п) |
(6.36) |
тождественны: |
|
|
|
|
с7>(га) ==в‘П[=о‘1п&= P<v>= S‘vt= S‘h c9/. |
(7.6) |
|
Отсюда и были получены формулы |
|
|
|
|
a‘i= S mnAlnAil, S‘j= отПВ'тВ'п. |
(7.7) |
|
Все выписанные величины могут быть выражены как функциями х, так и х.
В рассматриваемой физической точке |
(х), x=<p(x, |
t) в момент |
||
t новая криволинейная |
система координат (</*), определяемая |
|||
уравнением |
(7.1), имеет |
характеристики, |
даваемые |
формулами |
(7.2) — (7.4); |
причем сами координаты ql |
имеют выражения |
||
|
Ф = |
Ф (x)-=q‘ (ф (х, /)). |
(7.8) |
|
Направление нормали к координатной площадке, построенной на векторах (dx)a=qadqa и (dx)p= q^dq*, определяется единичной нормалью (Я.)7:
qV
Y g y y '
Все рассуждения начала § 6 относительно представления тен зора напряжений S на косой площадке с единичной нормалью v, которую теперь обозначим
A= v = n, |
(7.9) |
можно повторить, но компоненты 5 в репере qt будут отличны от oij = Oij и других введенных в § 6; обозначим контравариантные компоненты тензора 5 в репере q* через QЧ Тогда формулы (6.8), (6.9) для вектора истинного напряжения на площадке с
нормалью \ = Х перепишутся в виде