Механика сплошной среды

нений. Такая система называется незамкнутой, т. е. не позволяет найти х и 5, каковы бы ни были граничные и начальные условия для х и 5.

4. Уравнения состояния (§ 10) дают выражение тензора нап­ ряжения 5 в точке х в момент t через значения тензора деформа­

Для многих сред верно и обратное: если задан процесс нагру­

Соотношения (11.4') и (11.4") суть различные формы выражения одного и того же закона связи между напряжениями и деформа­ циями сплошной среды.

В более подробной записи в лагранжевых координатах имеем

значения S iJ’ в (11.2), получим одно векторное уравнение для век­ тора x(x, t) или три скалярных уравнения для его трех компонент х1 или и1. В общем случае это функциональные уравнения, и их структура полностью определяется структурой физического закона (11.5). Для классических сред (идеальные жидкости и газы, уп­ ругие тела) это — дифференциальные уравнения, для релаксирующих сред — интегродифференциальные и т. д.

Одно важное общее свойство соотношений (11.5) очевидно: они должны изменяться при ортогональных преобразованиях на­

входить тензоры-константы среды, например тензоры 4-го порядка

В противном случае ее называют анизотропной. Для изотропных сред соотношения (11.5) могут быть существенно упрощены (§ 9).

Мы считаем, что параметры Г, р есть заданные функции вре­ мени и координат. В действительности нередко они сами являются

искомыми и даже зависят от &. При этом необходимо еще ис­ пользовать законы термодинамики и другие законы физики для немеханических параметров (§ 22).

5.Пример теории, в которой используются уравнения для

количества тепла внешнему оттоку тепла через эту границу. Ска­

лярный функционал энтропии г\*[&, Г, р], как и тензорный для рассматриваемой среды предполагается известным на основа­ нии макроскопических опытов (§ 10). Уравнение (11.7) на осно­ вании (10.4), (10.17') преобразуется к виду

Ч' Т■ {AA" " - £ r ) + М ,- (11.8)

Для изотропной среды, имеющей одинаковый для всех направле­ ний коэффициент теплопроводности X:

Здесь X может быть известной функцией температуры Т (х, t) и плотности р(х, /) = Ро/Л.

Другая форма записи уравнений, замыкающих систему (11.2),

(11.5), следует из (10.48) и предполагает известным функционал внутренней энергии

ных и интегралов от (и,;) и (о,-,); определяющие уравнения (11.4) будут представляться, например, в виде

(11.5) , мы как будто бы преобразуем их в эйлерово пространство. Но, как уже выяснено в § 9, эта «подстановка» в общем слу­

чае — сложная задача: оператор ^F, определенный по параметру

х, т. Но он уже не будет инвариантен относительно преобразова­

рости v и тензоров $ и S. Существенное значение и интерес представляют разрывные поля, характерные для звуковых и удар­

ных волн в жидкостях, сдвигов в земной коре и многих других явлений в природе и технике.

Переход от постановки задачи в эйлеровом пространстве к постановке в лагранжевом значительно проще; поскольку в пер­

для физических частиц (x = const).

Скорости деформации и напряжения преобразуются по формулам

в эйлеровом пространстве для фиксированного в нем произволь­ ного объема V с поверхностью S и произвольного фиксированного

в случаях, когда внутри или на границе области движения неко­ торые функции и функционалы разрывны. Уравнения получаются интегрированием по t соответствующих интегральных (по объему) выражений рассмотренных выше законов сохранения массы, им­ пульсов и энергии либо интегрированием по t и по V их диффе­ ренциальных выражений. Но в принципе более правильно считать такие разностно-интегральные уравнения МСС аксиомами, непо­ средственно согласованными с основным постулатом, определяю­ щим функционалы, так как, по существу, в них допускается воз­ можность не непрерывных {по ху t) решений, т. е. решений замк­ нутой системы в обобщенных функциях.

I* Д (ps) dV + j" dt j* psvnd2=

конами сохранения для конечных объемов пространства, и они

вместе с законом Фурье q = —Л grad Г также представляют замк­ нутую систему уравнений МСС, если известны^ функционалы вГ,

§12. УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦАХ ТЕЛ

ИПОВЕРХНОСТЯХ РАЗРЫВОВ

Поставить конкретную задачу МСС — значит выбрать соответ­ ствующую замкнутую систему уравнений, задать внешние силы и

смешанные термомеханические условия, связывающие между со­ бой u, SiJ\ Т, q, или еще более общего вида (включающие пара­ метры р).

Массовая сила, определяемая вектором F(x, t) и входящая в уравнение движения, в большинстве случаев известна. Это сила тяжести | F | =^Г, или всемирного тяготения, в некоторых случаях это известная сила инерции переносного движения, возникающая за счет ускоренного движения системы координат. Но иногда эта сила может быть определена с необходимой точностью только в результате решения некоторой задачи МСС, так как не явля­ ется известной функцией (х, t), а функцией (х, х, /), как, напри­ мер, сила тяготения между частицами тела.

На границе тела 2, которая может быть известной или неиз­ вестной (при любом t)y механические граничные условия могут быть кинематическими, динамическими и смешанными. В первом