Механика сплошной среды

вать как равенство нулю компоненты некоторого многомерного вектора — оператора А над двумя функциями x=<p(x, t), Т (х, t) по параметрам х, t в ограниченной области их изменения

X E [G(/), 2(0], * o < * < * '< * r (12.40)

Для обратимых операторов $Г компонентами А! = 0, А2 = 0 векто­

исключая G(i), являются одно граничное условие (векторное) и

ортогональный А вектор с компонентами, определенными в соот­

Наиболее просты линейные задачи, для которых оператор А — линейный относительно (ф, Г), так как для таких задач наиболее развиты точные методы решения. В общем случае распространен метод линеаризации на основе уравнения (12.41) в вариациях: если некоторое решение ф°(х, t), Г°(х, t) уравнения (12.41) изве­ стно, то разыскивается близкое решение ф1 7м удовлетворяющее уравнению

причем

Ь = бА=А(ф1, Г1)—А(ф°, 7°) = А (ф° + бф, Г° + бГ) —А(ф°, 7°).

Для уравнений МСС с обратимым SF оператор L будет линейным относительно бф, бТ Эту процедуру иногда удается применить многократно и построить последовательность (ф1 Г1) ,..., (фл, Тп)> сходящуюся к решению уравнения (12.41). Формальное доказа­ тельство теоремы существования для уравнения (12.41) во мно­ гих случаях является сложной задачей. Вопрос о единственности решения в определенной мере связан с решением уравнения в ва­ риациях (12.42). Если заданные функции, входящие в уравнение

г|А= 0 (ф0, фо х£ ...), не варьируются, то уравнение в вариациях лЦфо, Т°, бф, 67") = 0 по определению ф°, Т° имеет нулевое реще-

ние: 6ф= 0, 8Т = 0. Но если существует еще и решение, не равное тождественно нулю, то заключают о возможной неединственности и неустойчивости решения <р° Т° и неустойчивости самого движе­ ния среды. Это грубо обоснованное заключение в большинстве случаев оправдывается в опыте. Строгая постановка исследования устойчивости решения уравнений (12.41) принадлежит к числу современных вопросов, не получивших общего решения.

Каждая компонента вектора А вместе с соответствующей ком­ понентой т] имеет свою определенную область изменения парамет­

т|, но и TJ в виде некоторого оператора по х, t над произвольными вариациями искомых функций. Это приводит к вариационной по­ становке задач МСС.

По определению рассматриваемая частица будет частицей жид­ кости, если при <§=const и t->оо Т12=Т2з='Тз1= 0, т. ё.

*->■ оо, а1= а 2==а3= —

или частицей твердого тела, если при <§=const

t 00» I I max ^ тоо > О

т. е., вообще говоря, при t-+oo а^ог^огз^аь

Классические теории относятся к термомеханическим процес­ сам.

§ 13. ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ

Идеальная жидкость (газ) — это среда, в которой рассеяние отсутствует (йУ*=0) и сдвиговые сопротивления которой при лю­ бой деформации и скорости деформации в любой момент време­ ни равны нулю, т. е. для любого t

следовательно, и девиатор напряжений равен нулю. Поскольку главные оси напряжений всегда взаимно ортогональны, то на ко­ сой площадке с нормалью v(/b /2 /з) вектор напряжений ov= P v равен

т. е. он направлен по нормали к площадке и имеет величину —р. Следовательно, давление р по всем площадкам, в данный момент проходящим через данную точку среды, одинаково. Обычно пред­ полагается, что р > 0, т. е. это всегда действительно давление. Од­ нако реальные жидкости могут выдерживать и некоторые всесто­ ронние растягивающие напряжения (р< 0), и в понятие идеаль­

ной жидкости мы не будем включать обязательного требования р> 0.

или любой из двух векторных форм, включающих (8.16),

Р—---- pF= —grad р,

at

Система (13.5), (13.6) есть система совместных дифференциаль­ ных уравнений в частных производных первого порядка относи­ тельно вектора скорости v и скаляров р (давления) и р (плотно­ сти). Это незамкнутая система, так как для пяти функций коор­ динат и времени vu v2 v3t р, р она дает только четыре уравнения указанного типа.

Динамические уравнения Эйлера можно записать также в лагранжевых координатах. Пусть, как и ранее, х= х(х, t) — закон движения частицы, причем х=х*е/ — ее начальный декартов ра­ диус-вектор, а

X = ф (х, /) = x-fu(x, t)

— ее текущий радиус-вектор. Поскольку в момент t лагранжева система координат x;=const (i= l, 2, 3) является, вообще гово­ ря, криволинейной, ковариантные и контравариантные базисы и метрические тензоры определяются законом движения (4.15), <4.23), (4.48)

напряжений 5 в момент t в базисе э -. По определению идеальной жидкости вектор истинного напряжения на площадке, построен­ ной на векторах э2 и э3 направлен по нормали к ней (а направ­ ление нормали совпадает с э1) и равен давлению р, т. е.

Уравнения движения и сохранения массы (13.5), (13.6) (в эй­ леровых координатах) или (13.11), (13.12) (в лагранжевых) за­ мыкаются для баротропной жидкости пятым соотношением (13.15).

Введением функции давления при потенциальной силе F (§ 8)

из (13.4), (13.5) получаем замкнутую систему для V, р

Аналогичная система в лагранжевых координатах получается из уравнений (13.11), (13.12), (13.15).

Для слабо сжимаемых жидкостей при небольших давлениях скорость звука с в ряде случаев может считаться постоянной. При этом Р=с2In р; уравнения сохранения массы и динамические урав­ нения будут содержать только функции v и Р, причем первое из них имеет вид

Отбрасывая в уравнениях (13.19) квадратичные члены v2 vX

-~ - + gradP—F = 0 ,

01

div v + — -^ - = 0,

c2 dt

приводящуюся к волновому уравнению с источником

из которого и следует, что c=~]/dp/dp есть скорость распростране­ ния слабых возмущений (скорость звука).

Идеальный разреженный или совершенный газ — это идеаль­ ная жидкость, подчиняющаяся уравнению состояния Клапейрона