Механика сплошной среды

Подобно тому как направление вектора а определяется еди­ ничным вектором а°=а/|а|, также говорят о направлении тензо­ ра Тц, характеризуя его так называемым направляющим тензо­

ства классической и рассматриваемой здесь вязкой жидкости сов­ падают, скалярные свойства их различны.

Работа внутренних напряжений в единицу времени в единице

мая внутренними силами в единице объема, в случае несжимае­ мых жидкостей, т. е. при условии

Эта мощность полностью рассеивается в тепло, т. е. w*=R. Един­ ственным независимым параметром состояния рассматриваемых стабильных жидкостей считается температура 7, и потому из за­ конов сохранения

pdu=8'Q + Rdt,

рTds=&'Q + Rdt, р= const,

по заданной теплоемкости с, которая зависит от Г, находим

ds=~Y~y и= J с (Т) dT + const,

Закон сохранения энергии приводит к уравнению теплопроводно­ сти

и уравнение (17.6) образуют замкнутую систему для v, а, Т, ес* ли известна зависимость от Т коэффициента теплопроводности. Граничные условия либо совпадают с условиями классической тео­

то тело остается жестким (скорости деформации равны нулю), на­ пряжения неопределенны;

2) если в какой-либо области тела 0>0, то выполняется усло­ вие пластичности, т. е.

где Os — константа материала, называемая пределом текучести (при данной температуре), т. е. 05=05(7);

3) при пластическом течении векторные свойства тела совпа­ дают с векторными свойствами вязкой жидкости, т. е. определяют­ ся соотношением (17.2).

Опыты над многочисленными квазиизотропными материалами, например металлами, показывают, что чисто упругое их состоя­ ние, определяемое рассмотренными ранее свойствами и соотно­

существует лишь при малых деформациях до тех пор, пока интен­ сивность напряжений ou<os] условие начала пластических дефор-

мацйй Ou=os называется условием пластичности Мизеса. Ранее Кулон и Сен-Венан принимали аналогичное условие в виде

где Ттах — наибольшее по модулю из главных касательных на­ пряжений (§ 6),

Соотношение (17.9) называется условием пластичности Кулона — Сен-Венана, xs — пределом текучести при сдвиге. Равенство т5=

=i(b/y3 получается из (17.8), если рассмотреть случай чистого' сдвига ((72=—'СГь аз=0) и вместо (oi—сг2)/2 подставить т5. В § & доказано, что отношение ттах/сь отличается от постоянного числа

Внося эти выражения в динамические уравнения сг//,/+р(Х*—Wi) = =0, получим замкнутую систему уравнений для вектора скорости v(x, t) и среднего напряжения о(ху t)y если добавим условие не­ сжимаемости (17.4).

Другое определение рассматриваемой среды при условии (17.8) получим из предположений:

1) свободная энергия ф (при условии несжимаемости) зависит

(причем равна нулю только при а ц = 0); 3) девиатор напряжений 07/ зависит только от тензора скоро­

инвариант тензора vijy т. е. ои{~Асц.

Если температура переменна, то из опытов известна зависи­ мость Gs=os(T). Учитывая закон теплопроводности Фурье и счи­ тая коэффициенты теплоемкости с и теплопроводности К постоян­

Динамические уравнения, условие несжимаемости и соотношения (17.8), (17.10), (17.13) составляют замкнутую систему для v, аиГ Значения os для сталей при нормальных температурах (даже

.до +300 °С) колеблются в зависимости от содержания углерода и лигирующих элементов от 2-102 до 2• 103 МП. В области темпе­

маемое твердое тело при малых и конечных пластических деформа­ циях или повышенных (высоких) температурах и давлениях, а также некоторые вязкие жидкости, смешанные с твердыми части­ цами (глинистые растворы и т. п.). Для этой среды:

1)векторные свойства совпадают со свойствами вязкой жид­ кости (17.1), (17.2);

2)скалярные свойства обобщены по отношению к нелинейно­ вязким и пластическим, а именно

где Ф — некоторая известная функция, универсальная при различ­ ных процессах. Всегда Ф>0, и почти всегда дФ/дси>0.

Эта среда обладает ползучестью, так как при cru=const, Т= =const из (17.14) получается постоянная скорость ползучести

4. Идеальная несжимаемая сыпучая среда — условно-твердое тело (типа сухого песка, зерна, гранулированных пород):

1) являющееся сплошным только при условии, что вектор нор­ мального напряжения на любой площадке отрицателен;

2)максимальное касательное напряжение зависит только от нормального давления на соответствующей площадке;

3)векторные свойства совпадают с (17.1), (17.2).

Условие 1) в ортогональных координатах (х,) имеет вид

где т — направляющие косинусы нормали п любой площадки. Условия отрицательности квадратичной формы (17.16х) суть усло­ вия Сильвестра: определитель |о//| и все миноры главной диаго­ нали должны быть отрицательны (иначе говоря, отрицательны все главные напряжения)

det ( а ц ) < 0, о а а < 0, оаастр|3— а2р< 0, (а, Р = 1 ,2 , 3). (17.16>

Условие 2) записывается сложно, так как требует использова­ ния явных выражений максимальных касательных напряжений че­ рез а//, приведенных в конце § 6.

В случае плоской деформации в плоскости (хи х9)

где — универсальная функция среды, зависящая от влажности. Например, вследствие сухого трения частиц может быть принят закон Кулона: &~(p)=fp, где f — коэффициент внутреннего тре­ ния (тангенс угла естественного откоса песчаной насыпи). В этом случае «условие текучести» среды будет

причем Sy называется интенсивностью скоростей тензора у-ц или модулем скорости. Вектор dy/dt—у0а0 определяет скорость изме­ нения девиатора уц. Таким образом, формулы (18.4) позволяют рассматривать компоненты тензора как функции времени, или функции длины дуги траектории.

Задание физического процесса в точке М тела (§ 9) требует

задания не только тензора деформации ё , или тензора напряже­ ний 5, или другого физического тензора ?, но еще и температуры Т (t) и других нетермомеханических параметров р.

Траектория деформации э(1) в Е6 при данном ak с построен­ ным в каждой ее точке вектором напряжения а и приписанными

deij равна sadep и включает работу сдвигов Si/de,/; полная работа напряжений равна

Преобразования вращения и отражения в Е6 (18.3) содержат пятнадцать произвольных параметров.

Такие ортогональные преобразования называются преобразо­ ваниями вращения при \ щпп | = + 1 и отражения — при \ атп | =

Физические процессы e(t) и s'(t)= аэ в точке М тела различ ны, что следует из (18.1). На основании (18.1) и свойств матриц Pi/*, Pfc'7 (18.1) можно доказать, что преобразование поворота сис­ темы координат (х,) в теле, определяемое тремя параметрами (углами Эйлера), есть частный случай преобразований вращения, как и изменение угла р, входящего в (18.1), представляет одно­

Таким образом, длина дуги sy и все производные вектора у и интегралы по времени t по модулю сохраняются при преобразо­ вании вращения и отражения, г. е. внутренняя геометрия траек­ тории вектора у (t) в Е6 сохраняется.

Так как при преобразованиях (18.3) сохраняется скалярное произведение двух векторов, то применительно к векторам (18.2),

1 2, ..., 5). Шесть формул Френе с двучленными правыми частя­ ми имеют вид (хо = Хб = 0)

и позволяют выразить любую производную вектора э по s, начи­

причем kmk зависят от 5, х/ и их производных по t\ существенно, что векторы эк (&=1, 2, 6) алгебраически линейно незави­ симы.

причем это — тождество, если Ак выражены через о и pk форму­

лой Ak = apk•

Базис (18.9) для представления 6-мерного вектора может быть

если функции времени Nk(t) заданы и линейно независимы. Тогда

как семь векторов в £ б линейно зависимы.

Тело называется начально изотропным, если существует мо­ мент t0i в который его начальное состояние и структура в любой декартовой системе (х) характеризуется только единичным тензо­

Все соотношения между физическими функционалами для на­ чально изотропного тела должны быть ковариантны относительно ортогональных преобразований а начальной (лагранжевой) сис­ темы координат (х) в теле (&та = 1)\