Механика сплошной среды

I3=\Vi/\-

Объему Vo в (5.28) теперь соот­ ветствует объем частицы в момент t (р0 — плотность в этот момент), объему V — объем в момент t+ dt (р—плотность). Следовательно, dQ= = —dp/p, и потому из (5.28) имеем

J6_= ___1_ _Ф_=

= div v = - ^ - + —L+ —

дхх дхг дх3

причем dp/dt — субстанциональная производная:

Следовательно, мы получили условие сохранения массы части­ цы в эйлеровом пространстве, выражающееся одним из уравнений

следует существование потенциала скоростей ф(лт, t)

Vi = -^~, v=grad<p. dxt

Если к тому же среда несжимаема, то из (5.38) следует

divgrad ф=Дср = 0,

моническая функция. Этим свойством обладает движение идеаль­ ной несжимаемой жидкости в потенциальном поле сил, если в ка­ кой-нибудь момент rotv = 0.

Движение любой сплошной среды, рассматриваемое в эйлеро­ вом пространстве, обладает некоторыми свойствами, вытекающи­ ми из определений линий токов, вихрей и закона сохранения мас­ сы. Как уже отмечалось в § 3, линией тока в момент t называется траектория вектора скорости v(x, t), проходящая через какую-ни­ будь точку хо, т. е. линия, определяемая дифференциальным урав­

является параметрическим уравнением линии тока. Если в момент /=const рассмотреть какую-нибудь линию ж0=ф(р), то из (5.40) получим х=\ (|х, Х)у т. е. уравнение поверхности. Если линия х0= =ф(р) замкнута, то поверхность *=f(p, X) называется трубкой тока.

Потоком массы среды через любую неподвижную поверхность называется секундный расход

^ pvvd2=^ piyfS,

&&

где v — нормаль, w = vv— нормальная составляющая скорости. V,

— элемент площади поверхности.

Вектор скорости v лежит на поверхности трубки тока, и пото­ му поток массы среды внутрь трубки равен нулю. Рассмотрим в фиксированный момент t внутри области движения среды произ­ вольный объем Vy ограниченный замкнутой поверхностью 2. Про­ интегрируем по V умноженное на dV= dxxdx2dxz уравнение (5.37); получим

d V = - [ ^ - d V .

J dt

Но по формуле Грина — Остроградского

Следовательно,

(5.42)

т. е. поток массы через замкнутую неподвижную поверхность Е равен секундному ее изменению в объеме V с обратным знаком.

Из определения вектора вихря Я (5.34) следует

где dS обозначает вектор-элемент длины дуги контура L; выра­ жение, стоящее в правой части (5.45), называется циркуляцией вектора В по L. Полагая B = V получим

поверхность ZT равен циркуляции Г вектора скорости по ограни­ чивающему ЯГ контуру L.

Отметим еще важное для дальнейшего свойство интегралов от различных функций ф(ж, t) по объему Vg фиксированной массы среды, т. е. ограниченному замкнутой поверхностью 2*, состояще­ му из неизменных физических частиц. Найдем полную производ­ ную по времени от интеграла

где

и называется оператором Лапласа. Потенциал скоростей ср — гар­ моническая функция. Этим свойством обладает движение идеаль­ ной несжимаемой жидкости в потенциальном поле сил, если в ка­ кой-нибудь момент rotv = 0.

Движение любой сплошной среды, рассматриваемое в эйлеро­ вом пространстве, обладает некоторыми свойствами, вытекающи­ ми из определений линий токов, вихрей и закона сохранения мас­ сы. Как уже отмечалось в § 3, линией тока в момент t называется траектория вектора скорости v(x, t), проходящая через какую-ни­ будь точку *о, т. е. линия, определяемая дифференциальным урав­

является параметрическим уравнением линии тока. Если в момент /=const рассмотреть какую-нибудь линию ж0=ф(р), то из (5.40) получим *=f(|x, К) у т. е. уравнение поверхности. Если линия х0= =<р (р) замкнута, то поверхность x=f(p, X) называется трубкой тока.

Потоком массы среды через любую неподвижную поверхность ST называется секундный расход

^ pvvd2=^ рuvd2,

&&

где v — нормаль, vv = t\, — нормальная состазляющая скорости. V, d2 — элемент площади поверхности.

Вектор скорости v лежит на поверхности трубки тока, и пото­ му поток массы среды внутрь трубки равен нулю. Рассмотрим в фиксированный момент t внутри области движения среды произ­ вольный объем V ограниченный замкнутой поверхностью 2. Про­ интегрируем по V умноженное на dV=dx\dx2dx^ уравнение (5.37); получим

Jp -dV.

J dt

2V

т.e. поток массы через замкнутую неподвижную поверхность 2 равен секундному ее изменению в объеме V с обратным знаком.

Из определения вектора вихря Я (5.34) следует

где dS обозначает вектор-элемент длины дуги контура L; выра­ жение,стоящее в правой части (5.45), называется циркуляцией вектора В по L. Полагая B = V получим

*L

т.е. еще одну теорему Стокса: поток вихря через незамкнутую» поверхность вГ равен циркуляции Г вектора скорости по ограни­ чивающему ф0контуру L.

Отметим еще важное для дальнейшего свойство интегралов от

различных функций ф(ж, t) по объему Vg фиксированной массы среды, т. е. ограниченному замкнутой поверхностью 2 g, состояще­ му из неизменных физических частиц. Найдем полную производ­ ную по времени от интеграла

(5.47) к лагранжевым координатам. Из условия сохранения мас­

■Область VQ (для фиксированной массы) не изменяется со време­ нем. Тогда получим

I J P<pdV= J х (х, t) Ро (х) dV0

Vg Vo

и, следовательно,

dx(s. t) Ро (*) dV0. dt

Переходя обратно от х к х(х, t) и учитывая, что для неизменной частицы

§ 6. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИИ

Основная идея теории внутренних сил в МСС уже изложена в

§3: любой объем, мысленно выделенный внутри среды, находится

вравновесии под действием массовых сил и «внутренних», непре­ рывно распределенных по каждой части ограничивающей поверх­ ности, на которой единичная нормаль изменяется непрерывно.

Выделим в некоторой точке М (х) среды в деформированном состоянии бесконечно малый тетраэдр МАВС (рис. 6.1), основные

ребра которого МА, МВ и МС направлены по векторам репера

Эг, Эз.

Обозначим удвоенные площади треугольника МВС через d2*,

Напомним, что по греческим индексам суммирование не проис­ ходит. Вектор-площадь треуголь­ ника АВС подсчитывается по фор­ муле (4.31):

где v — единичный вектор внешней нормали к площадке АВС:

Как установлено в § 3, взаимодействие рассматриваемой нами частицы-тетраэдра с окружающей средой реализуется за счет векторов внутренних сил, действующих по граням, с точностью до малых порядка |dx|, равномерно по ним распределенных. На каждую из площадок d2a действует поверхностная сила плотно­ сти Р<а> а на площадку d2v— поверхностная сила плотности P<v). Эти векторы называются векторами истинных внутренних напря­ жений. С точностью до малых высшего порядка силы, действую­ щие по граням тетраэдра, равны

Мы здесь учли, что векторы внешней нормали к площадкам d2“ направлены в обратную сторону по отношению к векторам эа. Очевидно, элементарный объем тетраэдра dV'=d2v-A/3, где h — величина перпендикуляра, опущенного из точки М на d2v. Учиты-

вая еще равенства (6.4), (6.5), получим на основании принципа Даламбера

и массовую силу F, действующие на частицу. Сокращая на d2v и

a=l

Эта очень важная формула называется выражением вектора ис­ тинного напряжения на косой площадке с нормалью v через ос­ новные координатные векторы напряжений. Она доказывает, что

вектор внутреннего напряжения P(v) на площадке с нормалью v —

линейная функция v. Формула (6.6) справедлива как для внут­ ренних площадок d2v так и для площадок, расположенных на границе 2 области движения среды; из закона равенства дейст­

Как видим, векторы Sa не зависят от v и отличаются от векторов

антные компоненты тензора напряжений S в лагранжевом репе­ ре 9i\ в таком представлении S называется тензором напряжений Коши — Лагранжа. Касательная составляющая Pv равна

ния моментов для параллелепипеда, если учесть, что момент век­ торов сил Р(а>d2a, действующих по всем шести граням, должен равняться нулю с точностью, включающей малые порядка dV. При этом напряжения Р(а) равномерно распределены по соответ­

шего порядка момент сил, действующих по нижней и верхней гра­ ням dS3 равен

новные векторы истинных напряжений и единичный базис кр:

S“p= l / g “agPPP(a)kp, кр= —

С помощью метрического тензора ^ и аффинора А тензор на­ пряжений S можно представить в репере э1 другими компонента­ ми, например ковариантными и смешанными

причем вектор напряжений P<v) согласно (6.8) при замене э,= =9mgmj и Vi = vngin получит выражения

<i2 Вектор t(v), определенный равенством