Механика сплошной среды

Обобщенные непотенциальные силы Q;, соответствующие ко­ ординатам <7- находятся из тождественности выражения виртуаль­ ной работы в декартовой и криволинейной системе координат:

3N

k=l i= 1 i= 1 1

3N

E ^ 6<"=S ( 2 -g-)**-E«*..

fc=l i—1 i —1 /г=1 i= l

откуда находим

3N

Можно доказать, что уравнения Лагранжа (1.2) при замене ко­ ординат сохраняют прежний вид:

При построении функции Гамильтона Н переменные qi, pi при­ нимаются за новые независимые между собой искомые функции времени (2п функций от t). По определению Н (pt q, t) и свойст­ ву однородных квадратичных форм с учетом (1.9) получим функ­ цию Гамильтона системы, выраженную через обобщенные коор­ динаты, импульсы и время

где К выражается явно с помощью матрицы кц, обратной кц\

(б*/ называется символом Кронекера).

Теперь п уравнений Лагранжа (1.9), которые определяют ко­ ординаты и каждое из которых — дифференциальное уравнение второго порядка по времени, можно привести к системе 2п урав­ нений первого порядка для qi и р - (при Q; = 0):

Эта система 2п обыкновенных дифференциальных уравнений пер­ вого порядка по t, разрешенная относительно первых производных от координат и импульсов, называется уравнениями Гамильтона.

Найдем полную производную по времени от функции Гамиль­ тона

На основании (1.11)

<1Н _ дН

dt ~ dt '

Рассматриваемая нами система называется консервативной, если силы взаимодействия между частицами и силы внешнего поля имеют потенциал, не зависящий явно от времени: U=U(q). В этом случае U представляет потенциальную энергию системы и согласно (1.10) Н(р, q) — полную энергию, причем dH/dt=0. Следовательно,

В декартовых ортогональных координатах для консервативных систем этот закон имеет выражение

П

Если главный вектор SFe и главный момент Le всех внешних сил, действующих на систему, равны нулю, то из (1.3) получаем интегралы количества движения и момента количества движения системы (два векторных интеграла):

Q = const, G = const.

Вместе с интегралом энергии (1.12) для консервативных систем при этом имеем семь скалярных интегралов движения.

В общем случае система 2п дифференциальных уравнений

(1.11) имеет 2п независимых интегралов, которые можно запи­ сать в виде

Определение их представляет сложную проблему, например, уже при п = 9 — известную задачу трех тел. Постоянные интегрирова­ ния Ст в классической механике находятся по заданным началь­ ным условиям

По построению она постоянна для истинного движения системы при любых начальных условиях, т. е.

п

На основании уравнений движения (1.11) получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных произ­ водных для функции f

п

(1.15)

называемое уравнением Лиувилля. Это основное уравнение ста­ тистической механики. Ниже физическая трактовка f(p, р, i) рассмотрена более подробно, и многие выводы получены непо­ средственно из уравнения (1.15).

Теперь ставится задача: пояснить некоторые основные идеи ме­ тода статистической механики при постановке и решении задач динамики сложных систем, подчиняющихся законам классичес­ кой механики, и вывести некоторые законы, принимаемые в МСС аксиоматически. Рассматривается свободная замкнутая механи­

2. Свойстза функции Гамильтона HN(p, q, р), внешних пара­ метров \x(t) и множества всех возможных для SN начальных ус­ ловий (1.13) (иначе — множества всех значений интегралов дви­ жения (1.13')) таковы, что существуют определенные постоянные или меняющиеся во времени область Tq изменения координат сис­ темы и область Гр изменения импульсов системы,

значения. Иначе говоря, существует связная область Г 2/г-мерного пространства Е2п импульсов р и координат р, внутри которой зак­ лючены и могут принимать все значения импульсы и координаты

некоторая однозначная непрерывно дифференцируемая по аргу­ ментам функция />(р, q, t)y определяющая плотность вероятности нахождения системы SN внутри фазового объема dr, для простых

/.v (Р. <7 0 d T = fN (р, р, t) dpdq,

а вероятность нахождения системы во всем объеме Г равна еди­ нице (при любом t) :

г

При этом предполагается, что граница области Г, обозначаемая (Г)гр, для системы SN недостижима, иначе — вероятность выхода системы (хотя бы одной из координат pt, qi) на (Г)гр равна нулю:

4. Функция /лг(р, Я> t) удовлетворяет внутри Г дифференциаль­ ному уравнению Лиувилля (1.15), иначе

коэффициентами, выраженными через функцию Гамильтона, т. е.

ческий смысл такого определения установлен дальнейшими опре­ делениями, теоремами и гипотезами. Дадим формальное сопостав­ ление аналитической и статистической механики в виде табл. 1 (в обоих случаях предполагается, что задана одна и та же функ­

гается, если из первого столбца таблицы найденные по началь­

ным условиям функции р(/), q{t) внести в выражение функции

ST(p, q):

^ ( 0 =<F(P (t),q(t))-

Цель решения задачи статистической механики применительно к МСС — в определении средних статистических значений тех же или других заданных функций ^ (р , q) в различных фиксирован­ ных объемах или точках фазового пространства, например в точ­

трактуются как макроскопические параметры> которые можно из­ мерить в опытах.

Средним статистическим значением заданной функции $F(р, q) в момент t по всей области Г называется

изменения всех импульсов и всех координат, кроме qka, совпада­ ет с областью их изменения в Г (например, Гоо при всех m ^k).

Такое выражение средней значительно упрощается, если ввес­ ти б-функцию Дирака. Напомним, что если на отрезке а<£<Ь задано множество непрерывных функций (с довольно слабыми

Следовательно, интеграл функции двух переменных ф(х, у) по у при аргументах, заключенных в интервалах а<х<Ь, а<у<Ь, может быть представлен в виде двойного интеграла

ьь ь

& (х) == ^ ф (х, у) dy= J J ф (I. У) б (х—0 d\dy.

аа а

Если обозначить произведение трех б-функций кратко

то введенное выше среднее значение #"(/>, q) при условии, что qk=r, а все другие qm (m^k) принимают все значения из облас­ ти Г, можно записать в виде интеграла по всей области Г:

<FAr,t) = (<F (Р, Ф )г = \<р{р, q)fN {p. <7. t)8 (qh~ Г) dT, (1.31)

f

так как 6-функция (1.30) автоматически преобразует бЯ-кратный интеграл в 6Я—3-кратный по всем р и всем q} кроме qka, которые принимают значения ха.

Равновесный ансамбль. Прежде чем перейти к вычислению средних статистических значений некоторых существенных для МСС функций и выводу некоторых законов, необходимо пояснить возможность физической трактовки статистического подхода. Для этого рассмотрим частный случай. Пусть консервативная система SN (внешние параметры р постоянны, Я представляет полную энергию системы) находится в равновесном состоянии, т. е. в не­ изменном заключающем ее неподвижном объеме V физического пространства макроскопическое состояние является «заморожен­

смесь не реагирующих между собой газов в баллоне с абсолютно неподвижной стенкой («адиабатической оболочкой») или с макро­ скопически неподвижной стенкой, имеющей постоянную темпера­ туру («термостат»).

Консервативная система SN, для которой Q=G = 0 находится в равновесном состоянии (равновесна), если в конкретном опыте на интервале времени ^ о ^ ^ о + т , где — любой момент (нача­ ло отсчета /), среднее значение по времени для любой заданной

Наименьшее значение т5 длины интервала времени, при котором остается постоянной, называется характеристическим временем