Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика сплошной среды

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

13.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Заметим, что при n = v = X ковариантные компоненты их в реперах егэг- Яг, обозначаемые nit v* и Агразличны, почему и приходится одну и ту же единичную нормаль обозначать различными буква ми. Это относится ко всем векторным и тензорным величинам. После приобретения навыков при расчетах и выкладках необходи мость различных обозначений отпадает.

Физический смысл компонент	Qj и Q'i тензора S устанавли
вается формулами (7.10), так как	— физическая величина,

обозначающая вектор истинного напряжения на единичной физи ческой площадке с единичной нормалью L Для одной и той же

косой площадки, т. е. при условии		(7.9), вектор	S^il) = P{v)= S^n)
т. е.
^ (М_ Q ^ . = QH'Xiqf= S'vz- =		S‘h i3 f= o £nt= o£fnfij,		(7.11)
где а* = ог. Эти соотношения и есть основа для			преобразования		ко
ординатных векторов	(Q\ S \ о1') и компонент		одного	и того	же
тензора напряжений 5	при переходе от одной		координатной		си

стемы к другой.

Если какой-нибудь другой тензор z обладает свойствами, ана

логичными S	(т. е. для заданного в некоторой точке направления
внутри среды	(k = v =	п) в трех рассматриваемых			системах коор
динат характеризует		вектор	z(v) = z(x) = z(n> который,			например,		в
системе координат q{ имеет			выражение z<*> = zг‘Хг-		zl'= zoq7		где	г**
не зависят от направления X			то для	компонент тензора z			будут
справедливы	соотношения (7.11) при			замене			Q г->-
->■£* и т. д. и при соответствующих				обозначениях		компонент z в
реперах э{ и ег.						oij через S ,
Чтобы найти выражение вектора ог и компонент
и Q\ Qij‘	направим нормаль n = v= k по координатному векто

ру еа= ерХет = еа репера (ег), т. е. положим (п)а= еа= еа. Получим

л* =	(п)а ei= 8f1 vi= (n)a9i= dxa/dx£, ^ = (n )a q* =	dxa/d^',
из (7.10),	(7.11)
и потому	oa= A fS £=CfQ £,		(7.12)
и потому
	ак‘= Ai A) S‘i= cl cj Q‘‘,		(7.13)
Чтобы	найти выражение Qij через ац и SlJ‘ а также		через
и Q^’	вводятся обратные относительно А? и С,г‘	матрицы
	А)В1=Ь), C }D t= tf,		(7.14)

определяемые этими уравнениями. Умножая (7.13) на DhmDtn, по лучим

Вспомним, что закон движения				частицы (3.23) задает еще		ба
зис €i = dx/dx\	определяемый		аффинором Б= дх/дх		обратным	Лу
так что	дх	Dk
_			f	= - e,AS=3‘A‘.	(7.16)
		h> s
				дх{

Соответствующий ему метрический тензор Gij и контравариантные базис и тензор а также символы Кристофеля ?Г опре деляются соотношениями

Gi i = e ie1= B iBk hk		G'iGik= 8 i ,
е ‘ = А‘тет,	G':‘=	е ‘е‘ = А)п А’т,			(7.17)
dGjk		dGjii	dGij_ \
dxi		dxi	dx*	)
Тензор напряжений 5 можем представить,				конечно,	и в базисе
€и обозначив его компоненты	через 2г		2 4	вектор	напряжения
на площадке с единичной нормалью х — через				так что

Рассматривая во всех реперах (ег« эг- qit 6\) одну и ту же физи ческую площадку с единичной нормалью n = v = A,=x, т. е. перене ся к ней параллельно (без вращения) все эти реперы, получим условия (7.11), к которым присоединится еще одно

0‘rii = 2% = 2/7Х;б7.	(7.18)
Совместим x = n = v = X с единичным вектором нормали	к пло
щадке, образованной векторами б*р €ъ т. е. положим
х = е а/У (р*
Тогда
лг = хе£= Л ? / / о ^ , х£= х е г= 6
из (7.18) получим
ст‘М“е /= 2 а'еу.
Отсюда, умножая на €’р учитывая (7.17), найдем
2Г=о‘АТАЧ	(7.19)

Тензор деформаций 6 до сих пор был представлен только ком понентами ец, которые выражаются формулами (4.49) через век-

тор перемещения и = х —х, причем использованы декартовы ком поненты иг (х, /), или, что то же, и{(х, t):

— g i j	—	dui	. r duj	duk	duk	(7.20)
		——T" 7 7 +		dx1	dx)
		dx)	dxL

Вектор-волокно dx можно представить через его компоненты в любой из трех рассмотренных выше систем координат х\ х{ и *7\ так как все они связаны с законом движения и преобразова нием (7.1):

\ = dx = - ^ - dx[ = -^ r dx1= -^ -d q i=

	дх1		dx1		dql
= e(dx' =	e tdxl = e h				ekC$dql.
Аналогично
p= d x = ---- dx1'= ----- dxL= -----dql= 9 idxi= ^tdxL=								qtdq£.
dxi	dxi		dqi	4	1		1	4
Составляя разность dx2—dx2=p2—\| 2				получим
p2 —\| 2 = 2zijdxidxi= 2EiJdx£dxi= 2v\ijdqidqi,
P . __ p	A”1A"		Ti •__F		С™Г ”	»		^	^
biJ— ^m n^i			» Mi/ — ^mn^i			»
где обозначены компоненты тензора				деформации			6	в различных
системах координат:
	^ ц = ё ц — Ьц в х;
	2Ец= 8ц—Gti в x f							(7.22)
2v\ij= qif		GmnCi		Cj	в q(.v).

Все эти компоненты обращаются в нуль при t = t0, так как соглас

но начальному условию t = t0, х = х,		и потому	gij=Gij = 6ij1 а на
основании (7.2)	CiCf = qi/.
Перемещение точки х в момент t
х (х,	i) — x = u(x, /) = иэ =	и (лг, /) =	U(q, t)	(7.23)

можно представить через декартовы компоненты иэ{( х , t) и ком поненты £/*(q, t) в репере qz:

U = и% = Utf = u4ti = u,

и*9(х, t)= u ‘ (x (х, t)y1)= х*~ъ1{х, t).

Для E i j ( x , t) имеем из (7.22),	(7.17) *
ди1	dui	дит	дит	(7.24)
2Е и- —	дх1	дх1	dxi
dxi

Компоненты U\ вектора U предполагаются заданными в кри волинейных координатах (q{), следовательно, выражения т) - - бу дут связаны с дифференцированием U* £/,• по q{. По определению (7.21), в котором p = qidqi и согласно (7.23) %= d \= p —d\i, при чем d\i= (d\J/dqi)dqi, находим

2г\и	dU	dll	(7.25)
	dqi	dqi

где U= = Ufq1'. Поскольку на основании (7.3)

dU	dVm	qm+ U m d(\m	dUn
dqi	dqi	dqi	dql

то, обозначая ковариантную производную контравариантного век тора (Um), точнее, контравариантиой компоненты вектора U в базисе Чг,

oqL + и пу"\,	(7.26)
получим выражения частных производных вектора
-T T = V ^ mqm-	(7.27)
dql

Замечательная особенность ковариантной производной — свойство свертки с метрическим тензором qmi. Если обозначить ковариант

ную производную ковариантного	вектора	(точнее,	ковариантной
компоненты)
V A = dJ	= З Д , .		(7-28)
ТО
ЯmiViUm= V i {Umqmi) = ViUi,
qmly tUi = y i {Uiqml)= s/iUm.			(7.29)
Базисные векторы q,, q' при ковариантной		дифференцировании
также подобны константам.
* Индекс э в иэ1 опускаем, так как	при дифференцировании		по х ясно, что
и1= и(х, t).

Внося (7.27) в (7.25), получим искомые выражения компонент

тензора деформаций <§ в любых криволинейных координатах (ql) через компоненты вектора перемещения U в этих же координатах:

2T|i/=Vi^/ + V ^i —

Л*/=‘П/|-

(7.30)

Если какой-нибудь контравариантный вектор, например вектор напряжения Qm определен в репере q* выражением Qm=Q7””qn> то ковариантной производной его по аналогии с (7.26) называется выражение

V‘Qm=- r r + Q*vS-					(?-31>
		dql
Внося сюда Q™=Qmnqn>получим
VгQm=Vi(Qm',qn)=qnViQm ,.					(7.32)
где V iQmn — ковариантная производная			контравариантного			тен
зора:
ViQmn=	dQmn	+ Q inyTi +	Qm%			(7.33)
	dql
Закон движения при	t =const можно рассматривать как					одно
из преобразований типа	(7.1),	причем компоненты o\		oij тензора
S в ортогональном репере ег в точке х преобразуются				в S\		Sij в
репере эи имеющем характеристики gf/,			Г*/. Заменяя		q{ на х\
q* на эи q{j на gijt у на Г и считая U\ Ui компонентами					вектора
U в репере э*:
U = U£(х, /) Bi = Ui (х, /) э1\						(7.34)

получим выражение компонент т)г^ тензора деформаций & в виде (7.30) и выражения ковариантных производных компонент S\ S ij тензора напряжений 5 в репере эг по криволинейным координа там хг’:

VlS* = - ^	+ S*rTk=BnViSmn9
дх1			(7.35)
			(7.35)
v Smn= - ^ ~	+ S‘nr?j + S^Tij.
dxi
Компоненты гл(х, t), или	Vi(x, t), вектора		скорости частицы
v в эйлеровом пространстве в декартовых		координатах хг и ком
поненты Vij тензора скорости деформаций		9	(§ 5) имеют выра
жения
2с;/ = dvi/dx' + dvj/dxl,			(7.36)

л вектор ускорения имеет выражение
w=	dv/di = dv/dl + vl'dv/dx1'.				(7.37)
Согласно (7.1), (7.2)		репер q*	неподвижен		в точке x=const
пространства наблюдателя, но вектор скорости					v = V3 в силу за
кона движения х=ф(х, t )	меняется по t. Для частицы x=const
w = d v ( x ,t )	=	dV3 (g ,t)	= ауэ	".	д у э
dt		dt	dt		dqi
v (*, t)= v ‘ti = V3 = V ls(q, t) qf				(q),
•	=	г д	!		(7.38)
VI (<?) = ^	=	I - r - Ql {x (x, t)) ]
		l Ot	J x-+x->q

Следовательно,

w = ^01- ( n nqm) + (K v .^ )q m

пли окончательно получаем выражение

= const в криволинейных координатах (q{):

dVl

w(<7, t) = (

ускорения в точке х =

(7.39)

Пусть теперь v=V(x, t ) — вектор ускорения имеют компоненты V\ ординат (х)

скорости,	w(x, t ) — вектор
в базисе эг	лагранжевых ко

y = 4 Otr = v i (х, t ) e;= V=F' (х, t ) э ( (х, t ) = V t (х, t ) э ‘ (х, t );

(7.40)

w = - ^ - = ^ - = w l (x, t ) 9i (x, t ) = W i (x, t ) э ‘ (x, t ) .

Найдем выражение ускорения через скорости V V\ Отличие от предыдущего состоит в том, что базис ^ был неподвижным в пространстве наблюдателя, базис же эгподвижный. Находим

w	_а	V7 (х, /)	d x (х,	t) \	dVi 9t + V*
	dt		dx*	/	dt
		dVi	+	V‘	(Vk9h)
		dt	+	V‘	(Vk9h)
		dt			d x 1

d V

dx*

и, следовательно, имеем выражение

w =	dVi	d2*1'
w =

	dV[_	(7.41)
W 1	dt + VnVnVl,	(7.41)
которое совпадает с (7.39)	при замене q* на	и уцк на ГгД

Найдем выражение производной по времени от тензора дефор мации б, выраженного компонентами деформации е^:

2 г ц (х, t ) = g		i i —б;/		д х(х, О		дх ( х , /)		о	(7.42)
2 г ц (х, t ) = g		i i —б;/		дх1		л	. ■— Of/		(7.42)
				дх1		dxi
через компоненты вектора			скорости		(7.40). Получим для				фиксиро
ванной частицы x=eonst в репере эг-
2 дец (х, 0	St	д \	+ 3/	av
dt	St	dxi	+ 3/	axi
	=	V / ^ i + V i ^ / =			21/,/(x, /),				(7.43)
где введено обозначение Уг-7(х, /); или в репере е*
2	дец (х, 0		ах	dv	,	д х	dv
	dt		дхс	дх*		dxi	дхi

Рассматривая здесь v представленным в репере е* как функцию (х, t) на основании закона движения х=ф(х, /), х=о (х, if), т. е. полагая v=um(x, /)ет , получим с учетом представления dv/dx

(§	5)		/) _	д*	dv		, 3JC		dv	d.v*	__
	2	дец (х,				дхк
		di	_	dxi	dxk	dxi	dxi		dxk	dxi	~
	= - g - {AT A) + Л? Л?) =					(vmh+ comh) (AT A) + AT At), (7.44)
где соmu — компоненты вихря. Вследствие								симметрии vmh= Vhm и
антисимметрии сот ь= —со;п„ получим с учетом									(7.43)
		2Уц (х, t) = 2 - ^ i- = 2vmh (х,						t) Af AT			(7.45)
					dt
Но	согласно	(7.21)	правая		часть		этого равенства				представляет

преобразование декартовых компонент vmk(x, t) тензора V к ком понентам в лагранжевых координатах. Следовательно, V\-j(x, t) (7.43) дают выражения компонент тензора скорости деформации в лагранжевых координатах.

Из (7.13), (7.21), (7.45) следуют равенства

aklEhl= SmnBmn= Q i% h

(7.46)

a>“vhl= S ^ V mn= Q ‘iV;h

где Vij— компоненты тензора скорости деформации, выражаю щиеся с помощью тензора q{j через ковариантные компоненты

вектора скорости V i= vqt в репере q* формулами (7.43)

2K/(q , 0 = ViW + V/W

Таким образом, построенные на основе цепочек (7.11), (7.21) тен зоры напряжений и деформаций представляют сопряженные в смысле Лагранжа пары обобщенных сил и перемещений.

Глава III

ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

§ 8. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Основы аксиоматики МСС изложены в § 3, причем установле но, что произвольная часть среды, заключенная в объеме V и ограниченная поверхностью 2, в любое мгновение t находится в динамическом равновесии в смысле Даламбера: сумма всех мас совых сил (включая силы инерции) и сил, действующих на по верхности 2, равна нулю. Если плотность среды р, массовая сила F и ускорение каждой частицы w в момент t известны, то объем ная сила, действующая на массу в объеме dV, равна p(F—w)dV\ эта сила, проинтегрированная по объему V, в сумме с проинте грированной по поверхности 2 силой P(v)d2, действующей на пло щадку d2 с нормалью v на 2, равна нулю. Значит, при составле нии уравнения движения среду в объеме V можно считать «замо роженной», т. е. считать ее абсолютно твердым телом, на внут ренний единичный объем которого действует объемная сила p(F—w), а на поверхности — распределенный вектор силы с плот ностью P<v) на единицу площади. Поэтому в векторной форме уравнение движения массы любого объема V с соответствующей поверхностью 2 имеет вид

(8. 1)

в любой системе координат. Эта система может быть криволиней ной, неподвижной в пространстве наблюдателя или движущейся и деформирующейся лагранжевой, может быть вообще как угод но движущейся и деформирующейся во времени, если силы pF,—

— pw заданы в инерциальной системе. Но если не задать метри ческого тензора и базиса координатной системы, а также вектора P(v) в виде линейной функции нормали v (7.6), то из (8.1) нельзя получить дифференциальных уравнений движения.

Для определенности сначала рассмотрим уравнение движения среды в базисе лагранжевой системы координат (х1‘) с метри

ческим тензором gij и символами Кристоффеля Г*/. Вектор силы P(v) в нем имеет выражение

По теореме Грина — Остроградского

\ s ivi d Z = \ > iS‘ dy,

(8.3)

ипотому из (8.1) получаем для любого объема V, взятого внутри области движения среды,

J* fp (F— w) + ViS'j dV^=0

(8.4)

и, следовательно, получаем дифференциальное уравнение движе ния в векторной форме

p(w—F)=v,S' = dx1

Отметим справедливую в любой криволинейной системе нат формулу Вейла (g= |g t-,|, q= \qa\,...):

*/‘Гг Г‘	1	&Vй	я/ *	1	д У Я
ОД n/ — I n i —	уг-	ах„	. Оiy n j — У т —	- ^ -	ДлП .
				У q	dqn

(8.5)

коорди-

(8.6)

на основании которой свертка ковариантной производной		векто
ра напряжения	S2 (и любого вектора) записывается в видеv
v ‘s '=	s,)’ '" Q' = ~ h w (W Q ,)	<8-7)
Таким образом, уравнение движения имеет вид
P(w—F )= - p = -- ^ r (yg:S'n)=VmSm= div5,		(8.8)
сохраняющийся в любой криволинейной системе координат,		если

определитель g, производная Vm и вектор Sw взяты в этой систе ме. Выражение, стоящее в правой части уравнения (8.8), не зави сит от системы координат и представляет вектор, называемый ди

вергенцией тензора напряжений S.
Специфика лагранжевой	криволинейной системы координат
(х2) состоит в том, что при	t = t0 она	является декартовой, т. е.
при t = tp9 gij = Sij, g = \|g ij\| = l и закон		сохранения массы имеет

вид	рУ£= ро (§ 4,5). В этой системе координат уравнение движе
ния	принимает вид

M W- f )= - £ - (V £ S " ).

(8.9)

В репере е2 в котором W = X = A:'е2 F=A7e2 и с учетом выраже ния (6.22) компонент условных напряжений (A=^g)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.36 Mб42Механика композиционных материалов..pdf
#
15.11.202220.8 Mб80Механика мерзлых грунтов общая и прикладная..pdf
#
15.11.202212.72 Mб37Механика подземных сооружений в примерах и задачах..pdf
#
15.11.202210.82 Mб13Механика разрушения. Разрушение конструкций.pdf
#
15.11.20227.56 Mб70Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
15.11.202213.71 Mб33Механика сплошной среды..pdf
#
15.11.202218.2 Mб50Механическое оборудование предприятий по производству вяжущих строи..pdf
#
15.11.20223.07 Mб17Микробиология и биотехнология..pdf
#
15.11.20229.17 Mб21Микробиология и основы биотехнологии..pdf
#
15.11.20222.64 Mб12Микропроцессоры и микроЭВМ. Периферийные устройства.pdf
#
15.11.20229.93 Mб53Микроэкономика..pdf