Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика сплошной среды

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

13.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Если энтропия s имеет различные постоянные значения для различных физических частиц, то для таких адиабатических про цессов система уравнений Эйлера вместе с условием сохранения массы замыкается соотношением (13.25) и условием

ds	__	ds \|	ds	л	/ 1 о лл\
---- = -------\- V;----= 0.					(13.29)
dt		dt	dxi		7

На фронте ударной волны из (12.23), (13.21) при nAq=0, Qp= =0 получаем адиабату Гюгонио и из (13.25) — условие сущест вования волны As=ts2—Si> 0:

_ ^ ==_pi -x p L > /_p^NV> l j				4 =	Yzzl	(13 30>
Pi	Px — Xp2	\ Pi /			Y + 1
Граничное условие в задачах §			13	имеет	вид (12.40') или
(12.40"), начальные условия — вид			(12.13), т. е. задают			началь
ное поле v (и rotv).			для любого t (теорема Ла
Если rotv=0	при t= t0, то rotv=0
гранжа) и движение потенциально v=grad'<p, и потому из						(13.19)

получается интеграл Лагранжа и уравнение сохранения массы в виде

Т Т " +	2	(gф )2r a+d Р ( р ) + <р^= с ( 0 ,
01	2			(13.31)
				(13.31)
4т~ + (grad р) (grad ф) + рДф= 0 .
01
Если движение установившееся (d vjd t= 0), то			и при	вихревом
движении (rotv¥=0) имеется интеграл Бернулли			вдоль	линии то
ка (§ 3)
	^(P) + --y: + «yp=const.			(13.32)

§ 14. ВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ

Классическая вязкая жидкость — это изотропная жидкость (вообще говоря, сжимаемая), сдвиговое сопротивление которой отлично от нуля и линейно зависит от скорости деформации сдви га; термодинамическими параметрами состояния являются плот ность р и температура Т

Таким образом, в вязкой жидкости тензор напряжений 5 есть линейная функция тензора скорости деформации V Общее соот

ношение между напряжениями и деформациями имеет вид
3 = П2? + 2рУ П = —р + Яdiv v,	( H . l )

где П — скаляр, ^ — метрический тензор, р, X — коэффициенты вязкости, которые не зависят от деформаций и скоростей. Поэто му их называют «постоянными», хотя они могут зависеть от тем

пературы.

Движение вязкой жидкости обычно рассматривается в эйлеро вом пространстве, но позже мы дадим постановку и в Л. В таком

случае из (14.1)	получаем в декартовых координатах
	аи= — р8и- + X div v6;/ + 2\wif,					(14.2)
причем
	^jv v	dvt	dvx	dv2	du3
		dxi	дхг	dx2	dx3	(14.3)
						(14.3)
V= def v;					/ =	1. 2, 3.
Обозначим, как	обычно,	За=.а*/6//		и, свертывая		(14.2) с 6,-j, по
лучим выражение скаляра
	П= а —	2_	р div v = —р + Xdiv v
		3

и связь между а и р :

а = —р

pj div v.

(14.4)

Отсюда следует, что в общем случае среднее напряжение о=

= — а«А/ есть линейная неоднородная функция	скорости де
формации объема divv=yt/6//
a = —p + A/divv, А/ = Х + — р.	(14.5)
3

Вводя компоненты девиаторов напряжений и скоростей деформа ций

Oj/ ои 1/Забг/,

(14.6)

V i i = V i j — l/3divv6l7,

из соотношений (14.2) получим

°i/ = 2vvu ih У= 1» 2, 3).

(14.7)

Соотношения	(14.2)	тождественны		соотношениям (14.5),	(14.7),
но последние	имеют	более	ясный	физический смысл,	так как
(14.5) означает линейный			закон вязкости объемного сопротивле-

ния, и потому Х' = к + — \i есть коэффициент объемной вязкости,.

а (14.7) означает линейный закон вязкости сдвигового сопротив ления, и потому (1 есть коэффициент сдвиговой вязкости. Дейст

вительно,

приводя соотношения

(14.7)

главным

осям (CTI=

=2\I -VU ...)

и вычитая

их попарно,

получим

для экстремальных

касательных

напряжений

'42=

—- (ai—аг)»

и экстремальных

скоростей сдвигов y\2=V\—^2 соотношения

Тар=ЦУар.

На

рис.

14.1 пунктиром

показано

сечение

элемента

жидкости

в момент

t, выбранного

виде

кубика в главных осях напряже

ний,

совпадающих

главными

осями

скоростей деформаций со

гласно

(14.7)

так,

что две грани

нормальны к главному направле

нию «3», а четыре другие делят

пополам углы

между

главными

направлениями «1» и «2» (эти

направления

показаны

пункти

ром). Через момент dt за счет на

пряжений

TI?

произойдут малые

IЦ+

И !

и21

Рис.

14.1

Рис.

14.2

сдвиги

Vi2=

~JL У12 dt.

Каждое

из

изображенных

касательных

напряжений пропорционально полной скорости сдвига:

Ti2 = P (-j- Via + у Yw) =И7и-

Другое пояснение закона вязкого трения (14.7) получим, если рас

Если в области течения X и р можно считать постоянными, то от сюда получаются уравнения Навье — Стокса:

р — F) = —gradp + (X + p,)grad(divv) + pAv, (14.10)

где Д =		да		оператор Лапласа. Действительно, так как
где Д =				оператор Лапласа. Действительно, так как
	dxt dxi
		dxj	dxj			dxj	dxt	dxi	L= _?_(d,vv),
		dxj	dxj			dxj	dxt	dxi	dxj	dxt
TO (14.9)		примет вид
p	( ~ Г	Г —	)	X i )	=	—	^	+ ( ^	+	1*)^ - ( d i v v ) + p A t»j
\	dt		)		dxi			dxt

Уравнение сохранения массы

n— + div v= 0 dt

вместе с уравнениями Навье — Стокса представляют незамкну тую систему четырех дифференциальных уравнений для пяти функций (vu v2, v3, р, р).

Движение вязкой жидкости сопровождается диссипацией ме ханической энергии. Согласно теореме живых сил работа внеш них сил 6VI за время dt не полностью переходит в кинетическую энергию dK. Для б'А имеем согласно (8.27), (8.29)

b'A=dK + $RdtdV,

причем в данном случае работа напряжений в единицу времени будет

R=a,jVU= —р div v + Я (div v)2+ 2\ivuvu= — -37- + Явяэк, (14.11)
р	at

где мощность вязких сил Явяж определяется соотношением

/?BH3K=Mdiv v)2 + 2v>VtjVu= (X f-2/Зр) (div v)2 + 2p^7^7. (14.12)

Предполагается, что Явяж превращается в	тепло,	т. е. w*=
=#вязк. Согласно второму закону термодинамики
pT8s— 8'Q=w* d i> 0,
и поэтому коэффициенты вязкости А/=А + 2/Зр,	р неотрицательны.
В случае, когда давление зависит только от плотности р=
=р(р), выполняется условие (14.8) и кинематический		коэффици

ент вязкости v=p/p постоянен, из § 8 (8.16) получаем уравнение Навье — Стокса в виде

—— v х rot v + grad Ф = v Av + F,

(14.13)

Ф = — v2 + P(p)—— vdivv,
2	3

откуда операцией rot находим уравнение распространения вихря

Ot — r o t ( v x Q ) = v A Q +

(14.13')

rotv=2fl, Зф= — rotF.

Рассмотрим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости. Уравнения Навье — Стокса и условие не сжимаемости (при p=const, p=const)

— — F=	--- —grad p + vAv, divv = 0	(14.14)
dt	P

представляют замкнутую систему дифференциальных уравнений для v и р. Работа напряжений в единице объема за единицу вре мени совпадает с рассеянием до*:

#=аЛ=2ру;/у,-■=2pvt>;/i»1/. (14.15)

Значения коэффициентов v для некоторых жидкостей и газов при ведены в табл. 6.

		Т а б л и ц а 6
Ж ИДКОСТЬ	Температург., °С	V, с м 2/ с
Вода	0	0,0178
	20	0,100
	50	0,0056
Ртуть	0	0,00125
	100	0,00091
Глицерин	20	6,80
Воздух (давление = 106 Па)	0	0,133
	2 0	0,150
	1 0 0	0,243

Коэффициент вязкости ц газов почти не зависит от давления, a v убывает обратно пропорционально давлению. Если вязкость

несжимаемой жидкости	зависит от температуры (p=const, ц=
= р(Г )), то уравнения движения имеют вид
dvi	—	- + vAvt + 2v'vif		дТ
Pi —				dxj ’
	Р
			1	(14.16)
divv=0,		v'
			p dT

Из основных термодинамических равенств
p8w=8'Q + a/* б/,		Tp8s=8'Q-\-w* 8t

следует du=Tds, причем и=и(Т), s=s(T). Считая теплоемкость покоящейся жидкости постоянной, т. е. при гп/=0 8'Q=pcv8T, на ходим

u= cvT + const,			s= c wIn Г + const,
и потому уравнение энергии дает				(при законе				теплопроводности
Фурье и постоянной теплопроводности Л) уравнение
- ^ = а 2Д Г + - ^ - :№					а =	л		[	(14.17)
dt		Су				г	рСр
Система уравнений		(14.16),	(14.17)		для	V\t v2, v3, р, Т			замкну
та и определяет движение вязкой несжимаемой								теплопроводной
жидкости.
В случае вязкого разреженного газа уравнения Навье — Сток
са в виде (14.9) и условие неразрывности
		------	+ divv =		0
		dt
могут быть дополнены		уравнением		состояния			р=р(р, Т)		и урав
нением энергии (при известной ц(р, Т))
р -^ - =		div(A,gradr)—pdiv v + до*
	dt
где w* имеет вид	(14.12). Это уравнение — обобщение уравнений
(13.28) и (14.17).	Система замкнута				для	функций vu v2i v3l р,

Р, т.

Выведем уравнения движения вязкой жидкости в лагранжевых

координатах хь х2 х3 принимая	за искомые функции	Х/=
=Xi(x\t х2 х3, t) (или Ui=Xi—Xi) и	имея в деформированном	со

стоянии (в момент t) «вмороженные» криволинейные координаты х/, базисы и метрические тензоры (§ 4)

	9 i= A kieh, э’=В'кек,
А =	dxi	, ци =А\А), ^ = В кВ{1 .
	дх{

Умножая (14.2) на Ат‘А„>, получим

’^тп==П^тц + 2(хУтп.

(14.18)

При этом, как известно, ковариантные компоненты Уц тензора скорости деформации связаны с деформациями ег/ соотношениями (§ 7)

2V- = 2 д*4 — d8ii — ' дХк			\| d2*fe	дхк	(14.19)
dt	dt	5х; дх/ dt	dxt dt	dxj

Поднимая индексы У у, получим

2V "=2 Vmng‘mgi'1

и, следовательно, найдем выражение закона вязкости в лагранжевых координатах для контравариантных S1'

+ 2M imginVmn.

(14.20)

Контравариантные компоненты ускорения w и массовой силы F

в репере э - выражаются через xi		и X; в ортогональном репере
(F=Xie() формулами	(13.10)
	dt2 dxj	F‘= g !iXh- ^ - , F= F‘9i- (14.21)
	dt2 dxj	dxj
Внося (14.20), (14.21)	в уравнения движения
	V/S7 + Р (F‘ —w)= 0

и учитывая свойства g i ! , gu, э, при ковариантном дифференциро вании

V/ д а /) = ^ 7У / П = ^ J2L, у/ (g£mginvmn)= g imglnv jVmn,

dxj

				(14.21')
VlVmn = ^ - ~ T l mVhn~T4nVhm,
	дх/
получим уравнение,	которое	упростим	путем умножения	на gik.
В результате
Р “дх-г	“ Х*) =	Ц 7 +	(f = 1 - 2, Э).	(14.22)

Это и есть искомые уравнения, причем скаляр П имеет вид

П = —p + Xdiv v = —р— —-^ - = — Р+	(14.23)
р dt	A dt

так как р через ро определяется законом сохранения массы

— = V g =	дхс I		(14.24)
	ах/ \|	= А .
Р

Уравнения движения (14.22) можно явно и полностью выра зить через давление р и искомый закон движения х=ф(х, t). Для

этого используем выражения символов Кристоффеля Г/т , выте кающие из (5.1)

Г-	а* дэ1	и dA'	k дАгт	5 In Л	дАгт	(14.25)
1 jm—^		--Вг ----L = B kr —		дАгк	dxi
	dxm	дхт	ОуО

дифференцируя по t компоненту gkm, получим

2 у	----дМкт		д (ArkArm)= A kr -	дЧГ	Y A mr	av
кт~		dt				st ax*
			dt	dtdxm

Теперь для краткости обозначим производные по t точкой свер ху, по хк — индексом k после запятой снизу

dx	dx	= A ‘kei= x i,kei;		dxm --AZ=xm,n.	(14.26)
dt	dxk	~	" n	dxn

Тогда, вычисляя ковариантную производную 2V/V *, из (14.22) по лучим систему уравнений

Xt—Хг + 1	dA г др	dxn (т)Н л'
Po	dAH dxn	dxn (т)Н л'
			(14.27)
Ki= <pmkXi,m + 4>TikXl,m + Xt,k dq)m*			■Xi,k
		dxm	dxm

где vo=p/po — кинематическая вязкость (отнесенная к начальной плотности) и через mk и обозначены функции, зависящие

только от первых производных х по координатам (т. е. от Ар):

фmk= Agmk.

фf= A B T B \

1	dA	dA	(14.28)
А	М тп	dAl '	(14.28)
А	М тп	dAl '
1	dA	dA
А	dAlm	dAlk
	т	dAlk

Отсюда видно, что функции (14.28) являются однородными по первой степени и представляют отношения однородных по

линомов четвертой и третьей степеней, поскольку определитель А имеет выражение

следовательно, производные их по х будут иметь вид

где коэффициенты ф есть также рациональные функции относи тельно Akq.

Для сжимаемой жидкости система (14.27) замыкается так же, как и в эйлеровом пространстве. В случае баротропной жидко сти или газа имеем

-Р -= [(Р ± .)= [{А),

(14.30)

и система (14.27) становится замкнутой. В случае несжимаемо сти дополнительное уравнение имеет вид

	Л=1.			(14.30')
Умножая обе	части уравнения	(14.27)	на К)А, получим дру
гой вид:
	1	ап	дх;	(14.31)
А	----------= V 0Xi ------			(14.31)
А	Х,) + ро	дхг	дхг	А ’

откуда можно исключить П и получить векторное уравнение рас пространения вихря в декартовых переменных х==хгег:

rot £"~- (Х{— X{)erj = v 0rot			(14.32)
Оператор состояния	имеющий вид	(14.18), при условии к'=
= Х+2ц/3>0 (14.12),	т. е. w*=RBязк>0,	является	обратимым:
умножая (14.18) на gmn и учитывая (14.23), находим
4о- Smng™n = о = —р + к ' divv= —р —V di			(14.32')

в баротропном случае р(р) имеет обратную функцию, и потому р=р0/Л определяется через а, а значит, и П становится известным

функционалом от o(f). Теперь уравнение (14.18) становится ли нейным:

Р dgmndi + ffmnnfo] = S„

(14.33)

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.36 Mб42Механика композиционных материалов..pdf
#
15.11.202220.8 Mб80Механика мерзлых грунтов общая и прикладная..pdf
#
15.11.202212.72 Mб37Механика подземных сооружений в примерах и задачах..pdf
#
15.11.202210.82 Mб13Механика разрушения. Разрушение конструкций.pdf
#
15.11.20227.56 Mб70Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
15.11.202213.71 Mб33Механика сплошной среды..pdf
#
15.11.202218.2 Mб50Механическое оборудование предприятий по производству вяжущих строи..pdf
#
15.11.20223.07 Mб17Микробиология и биотехнология..pdf
#
15.11.20229.17 Mб21Микробиология и основы биотехнологии..pdf
#
15.11.20222.64 Mб12Микропроцессоры и микроЭВМ. Периферийные устройства.pdf
#
15.11.20229.93 Mб53Микроэкономика..pdf