Механика сплошной среды
..pdfуравнения движения будут |
|
|
|
|
Ро (х —X) — — |
(ЛБ"1)= — |
|
||
0 |
1 дхт |
' |
дхт |
(8. 11) |
|
д |
|
dtmn |
|
Ро Ф хо |
{ASm‘A)) |
|
||
|
дхт |
|
дхт |
|
здесь: |
|
|
|
|
лг=х + и, |
х = и , |
А)=Ь)-\--^-т~, |
(.8.11') |
|
|
|
|
д\1 |
|
причем u(x, t) — вектор перемещения. Эти уравнения |
связывают |
|||
между собой закон движения х= х(х, t) и тензор напряжений, вы раженный его компонентами S ij = S^ или tmn, так как силы ХЦх, t) считаются заданными; определитель А выражает плот ность
|
|
р0/р = л = | л;-|. |
|
|
(8. 12) |
|
В эйлеровых декартовых координатах |
(х{) метрический тензор |
|||||
равен 6ijy символы Кристоффеля равны нулю, тензор |
напряжения |
|||||
S определяется |
вектором |
истинных |
напряжений (§ 6) |
o* = a2Jej; |
||
заменяя в (8.8) g-^1, |
xm-+xm и ускорение w на |
dv(x, t)/dt, |
||||
получим динамические уравнения Эйлера—Коими: |
|
|
||||
|
dv |
|
|
|
|
|
р(dt |
|
|
|
|
(8.13) |
|
|
|
|
до |
|
|
|
|
Р |
dxi ) |
рх*. |
|
|
|
|
dxi |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
К динамическим уравнениям в эйлеровом |
пространстве |
следует |
||||
присоединить закон сохранения массы (3.5), § 5 |
|
|
||||
— + div(pv) = 0, или |
dt |
= 0 |
|
(8.14) |
||
dt |
K ' |
|
dxi |
|
f |
|
и часто используемое в гидродинамике тождество Громеко—Лем- ба, дающее новую форму представления ускорения
w= dv_ |
dt |
— grad v2—vxrot v. |
(8.15) |
dt |
2 & |
' |
Вводя вместо тензора напряжений |
девиатор напряжений |
Ds и |
|
среднее |
гидростатическое давление |
(§ 6) 3р = —olj6tj= —За, |
пре |
образуем |
(8.13) к виду |
|
|
то динамическое уравнение Эйлера—Коши и уравнение сохране ния массы принимают простой вид
-£ -= 0 . |
Р ( Р ) = \ ^ 7 Т ’ F=-grad«^ |
dt |
J р (р) |
то динамическое уравнение Эйлера—Коши и уравнение сохране ния массы принимают простой вид
grad |
+ |
j= v x r o t v + — divDs , |
(8.16')
div v + •-— In p (P) = 0. dt
В произвольных криволинейных координатах q\ связанных с заданными соотношениями (7.1) и, значит, неподвижных в эй леровом пространстве, уравнение движения получается из (8.8)
заменой Эг-нь, £</->-<7г/, Ц~+Я=\Яи\* Гг/-►?*/. |
в ре- |
зультате чего |
|
р V 7 (w - F) = J L . (Y q Q"‘) =* V q VmQm- |
(8-17) |
Компоненты ускорения в репере q, даны формулой (7.39), компо ненты F обозначим F‘= Fq‘, компоненты вектора напряжения Q"1 определяются выражением Q m= Q mnq n ] производные
VmQm= VmQm"qn.
VmQmn= - ^ r + Qmiy?m + QniyTm-
Умножая (8.17) на q*’ получим уравнения
pw':= Р ( - ^ - + K'V/V7) = |
V/Q'7 + РFl, |
|
(8.17') |
|||
где V‘ (q, t) — контравариантные |
компоненты |
вектора |
скорости |
|||
v(*. 0=V(<7, t) = V%. |
|
|
получаются общие |
теоре |
||
На основании уравнения движения |
||||||
мы о движении конечной физической массы mg объема |
Vg сплош-' |
|||||
ной среды и массы в |
фиксированном |
объеме |
V эйлерова |
про |
||
странства. |
|
|
|
|
|
|
Умножая обе части- |
уравнения |
(8.13), записанного |
для |
точки |
||
х, на dV=dxldx2dx3 и интегрируя по объему V=Ve, получим |
||||||
1Р- J - d V = § PF dV+ J |
|
dV+ ^ о‘п{ d2, (8.18') |
||||
vt |
v& |
|
|
|
|
|
где n= t» — нормаль к поверхности |
рассматриваемого объема, |
п{— ее косинусы с декартовыми осями х \ причем ъ{п{ = P(v>— век тор напряжения на поверхности. Учитывая возможность перехода к лагранжевой системе, на основании закона сохранения массы pdV = p0yrgdV = p0dV0=dm 0 получим
Следовательно, из (8.18') получаем теорему об изменении коли чества движения массы mg:
(8.18)
Отметим вытекающее из (8.14) тождество для любой функции z(x, t)
си= |
д(рг)_ |
_ а _ |
,2)ав _«(££)_ + div( } |
(8 19) |
|
dt |
dt |
dxi |
' |
dt |
|
Применительно к неподвижному объему V с поверхностью 2 в эйлеровом пространстве, заменяя в (8.18') Vg-+V, 2 g->-2 и учиты вая тождество, получим другой вид теоремы:
В случае установившегося движения среды |
пропадает второй |
член левой части уравнения, и при отсутствии |
массовых сил (F = |
= 0) в виде |
|
|
(8.20') |
эта теорема имеет многочисленные приложения для оценок сил и скоростей.
Для фиксированной массы среды в объеме Vg теорему о мо менте количества движения получаем в виде
(8.21)
где кинетический момент массы trig
(8.2Г)
Для массы М в фиксированном объеме V эйлерова пространства в момент t из (8.21) получим с учетом (8.19)
¥ (evx*)‘ft'+J - ^ W v x * ) d V -
V |
V |
V |
|
— Г po'v х ег dV= J FxxpdV + l Р(л)Xлг d2, |
|
||
V |
V |
2 |
|
откуда находим окончательно |
|
|
|
J "^(РУХЛГ) |
+ J (Ру!ffyv—Р('°) Х х dZ— ^ p F x x dV=0. (8.22) |
||
v |
z |
v |
|
Для неподвижной области V при установившемся движении и F = |
|||
= 0 получаем |
|
|
|
|
$ (p i^ v —P(v))XA:d2=0. |
(8.22') |
|
|
к |
|
|
Следствием уравнения движения является теорема о кинетиче ской энергии, называемая иногда законом сохранения механиче ской энергии. Умножим дифференциальное уравнение движения частицы (8.13) на элементарное перемещение 6u = v6/ и проинте грируем результат по объему V среды, ограниченному поверх ностью 2
J[p (F -w )v 6 / + -^ v 6 /j'd K = 0 . |
(8.23) |
V 1 |
|
Величина pFv6/ = pF6u представляет работу массовых |
внешних |
сил в единице объема. Преобразуем остальные слагаемые соотно шения (8.23):
pw6u=p |
v 6 /= — рб (v2), |
|||
|
at |
|
|
2 |
да1 |
д |
, |
. v |
dvi |
V ------= |
------ (a 'v ) — о 11------- . |
|||
dxi |
dxi |
v |
' |
dxi |
Последнее выражение можно упростить, учитывая симметрию тен зора напряжений и тождества vir f = Так как компо ненты Vij тензора скорости деформаций симметричны, а компо ненты тензора вихря co -j антисимметричны, то Oij(Oij= 0.
Скаляр, одинаковый во всех системах координат (7.46)
jf= Qtjy;/= a //Vi/=Sy/yr |
tik дА* |
|
(8.24) |
||
|
~А дГ
представляет объемную плотность мощности. Следовательно,
|
|
(o!'v) 8tdV— ^ R 8 td V = ^ o'n.v d td l~ ^ R 8 t dV, |
||||||
v |
v |
|
V |
s |
|
|
v |
|
причем |
oft; = P(v) — вектор |
внешнего |
напряжения |
на поверхности |
||||
2, и потому o%v6^ = P(v)6u есть работа внешней силы, |
приложен |
|||||||
ной на |
единице площади поверхности, на перемещении |
6u(n = v). |
||||||
Из |
(8.23) теперь получаем |
|
|
|
|
|
||
|
J -i-p e (va) dV + ^R 8 td .V = ^ pFv 8tdV + § P(v)v 8t dZ. |
(8.25) |
||||||
|
V |
V |
V |
|
S |
|
|
|
Для фиксированной |
в движущемся |
объеме Vg массы, т. е. при |
||||||
pdV = p0dVo, область |
интегрирования |
по |
podV0 при |
движении сре |
||||
ды остается неизменной, знак вариации |
(дифференциала |
по вре |
||||||
мени) в первом интеграле можно вынести: |
|
|
|
|||||
$ Y |
рб (V2) dV= Г ± б (v2) р0 dV0= 8 |
$ -L v2p0 dV0= 8 1 ^ - d V |
||||||
Vg |
< |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим кинетическую энергию среды в объеме |
Vg через |
|||||||
|
|
A := ^ - L p v W , |
|
|
|
(8.26) |
||
|
|
|
vt |
|
|
|
|
|
работу тензора напряжений за время бt с учетом того, что
Неи
vif8t = — —б/=бе^/, через dt
8'W = \ R8t dV= JQnVn 8t dV= jj S‘<8eu dV |
(8.27) |
||
ve |
vg |
vs |
|
и работу внешних сил за время бt через |
|
||
б'Л = |
§ pFv 8tdV+ |
l P(v)v 8t dZ. |
(8.28) |
|
l/g |
|
|
Из соотношения (8.25) имеем теорему: сумма приращений кине тической энергии и работы напряжений фиксированной массы среды за время бt равна работе внешних сил на соответствующих перемещениях
Штрихи у выражений б'W, б'А означают, что они не являются дифференциалами каких-то функций, хотя область интегрирова ния Vg в лагранжевых координатах не изменяется, например
6’W = ^ S ‘ibzijPodV0. |
(8.30) |
Только в том случае, если существует потенциал напряжений Ф, зависящий только от деформаций ец, так что
*Ф_б/ = _дФ |
S*1= р |
дФ |
|
dt |
ih |
дги ’ |
|
дгц |
|
||
величина 6'W будет дифференциалом по времени от W (t), назы ваемой потенциальной энергией тела:
b’w = т , w = I Фр0 dv0= 5 рф dV■
Если при этом и внешние силы (F, P(v>) имеют потенциал, так что б'Л = бЛ, из (8.29) получается интеграл энергии:
K+W —A = const.
Как увидим позднее, потенциал Ф(е^) и интеграл энергии могут существовать при некоторых процессах движения идеально упру* гих твердых тел и идеальных сжимаемых жидкостей и газов.
Уравнение сохранения массы в лагранжевых координатах (в
Л) рУ^= рЛ = р0 и в эйлеровом пространстве (в Э) (8.14), диффе ренциальные уравнения движения (8.8) в Л и (8.13) в Э, теоремы
об изменении |
количества |
движения |
и кинетического |
момента |
||
(8.18), |
(8.21) |
в Л и (8.20), |
(8.22) в |
Э и теорема |
о кинетической |
|
энергии |
(8.29) |
в Л и Э записаны соответственно |
для бесконечно |
|||
малой |
(pdV) |
и любой конечной массы среды в объеме |
Vg с по |
|||
верхностью 2*, являющихся совершенно произвольными. Пользу ясь этим произволом, можно получать точные постановки и реше ния задач, например, только на основании теоремы (8.20), учиты
вая симметрию тензора |
S1 (£ = 1 2, 3). |
Но можно записать |
вариационный принцип Лагранжа—Га |
мильтона для всей изучаемой области движения среды, на поверх
ности 2 которой |
задан вектор напряжения |
P<v) (на части 2 S), пе |
||
ремещения U(v) (на |
другой части 2 и, не |
пересекающейся |
с 2 S) |
|
и т. п. Умножая |
(8.8) на произвольный |
вектор T J (X , t)y который |
||
называем вариацией |
истинного вектора |
перемещения u(x, |
t) = |
|
=x(x, t)—х, и интегрируя по объему У получим соотношения
— § ЛViS' dV = ^ р (F—w)i]dV |
(x eV ), |
(8.31) |
|
v |
v |
|
|
S'Vi=P(v) |
(х е Д U= U(v) |
(X E E 2u). |
(8.32) |
Уже известным приемом левая часть (8.31) преобразуется к виду
— § S'Vjii d2 + J S'ViXl dV
|
|
2 |
V |
|
|
Получаем, с учетом |
(8.32), вариационный принцип |
|
|||
J R (S, |
л) d V = J Р(у)л d2 + 5 Р (F—w) л dV, |
(8.33) |
|||
R(S, л) —S'ViЛ= |
'rli/ = |
-^-(V«Tl/ + V/Tli), |
(8.34) |
||
— работа внутренних |
сил на вариации |
перемещения |
в единице |
||
объема. |
|
|
|
|
|
Пользуясь произвольностью вектора т](х, t) в заданном V и на |
|||||
заданной 2, из (8.33) |
можно вывести уравнение (8.8) и так назы |
||||
ваемые естественные граничные условия: |
|
|
|||
|
|
I (S'vf—P(v>) л dS = 0. |
(8.35) |
||
|
|
£ |
|
|
|
Из них следует, конечно, что вектор ц должен быть выбран так, чтобы г]= 0 для X G Eu; на 2 S из (8.35) следуют условия (8.32).
Постановка задачи МСС с помощью вариационного уравнения (8.33) называется обобщенной, так как решение определяется в более широком классе функций сравнительно с решением на осно ве уравнений (8.8) и условий (8.32).
§ 9. ПРОЦЕССЫ ДЕФОРМАЦИИ, НАГРУЖЕНИЯ И ДРУГИЕ
Дифференциальные уравнения движения (8.8) в Л и (8.13) в Э являются дифференциальными в частных производных по коор динатам первого порядка относительно тензора напряжений 5 (его компонент в Л и Э), второго порядка по времени относитель
но перемещения (х=д2и(х, |
t)/dt2) в Л и первого по времени и ко |
ординатам относительно |
скорости (dv/dt = dv/dt-[-с1д\/дх{) в Э. |
В них входят неизвестные: скаляр р, вектор и=дс(х, t)—х в Л, или v(x, /) — в Э, и симметричный тензор 5 в Л или Э. Для плотности
р имеется условие |
сохранения |
массы (8.12) в Л, или dp/dt + |
-fdiv(pv)=0 (8.14) |
в Э. Таким |
образом, для 10 скалярных функ- |
дий имеется 4 скалярных уравнения, т. е. система неопределенная.
Подчеркнем, что дифференциальные уравнения движения |
|
(8.13) по существу справедливы |
и записаны в инерциальной де |
картовой системе координат (хг), |
которую считаем неподвижной |
(см. § 22). Совокупность этих координат и классического времени t в МСС называется эйлеровым пространством Э, если в любой его точке (x=x'eiy t) определена непрерывно дифференцируемая по (х, t) вектор-функция поля v(x, /), называемая вектором ско
рости среды в (JC, t), которая в любой момент t |
множеству точек |
х ставит в соответствие множество х=х этого |
же неподвижного |
пространства в начальный момент t = t0 по закону преобразования Э-^Л:
|
|
л:=ф(х, /, |
/0); t= t0l х = х\ |
|
|
|
at |
v (ф> t)- |
(91) |
По |
свойству v(x, |
t) решение |
х=ср(х, t) удовлетворяет |
условиям |
§ 3, |
причем х(х,) |
называется |
лагранжевой координатой |
зафикси |
рованной в момент to физической точки среды (частицы).
В Э рассматриваются различные скалярные z(x, /), векторные
z(x, t), тензорные z(x, t) функции |
поля, |
которые все преобразу |
|
ются к Л на основании (9.1). Декартовы |
в момент |
t= t0 «вморо |
|
женные» в вещество координаты |
(Х{) образуют |
криволинейную |
|
пространственную систему координатных линий и поверхностей с непрерывно меняющейся во времени t> t0 геометрией. Вещество не может сходить с линий и проникать сквозь эти поверхности. Три вектора репера э*(х, t) при x= const в Э показывают всю кинема тику защемленной в нем физической частицы, а метрический тен-
30Р Sij = 9i9j — относительные смещения по |
t непроницаемых гра |
||
ней косоугольного параллелепипеда, заключающего частицу. |
|||
Естественно, что если как-то исключить поток немеханической |
|||
энергии через грани частицы |
(т. е. тепла, |
тока, |
потока нейтро |
нов...) *, то реакция частицы |
в виде тривектора |
сил —Ра (а=1, |
|
2, 3), действующих на грани параллелепипеда со стороны вещест ва частицы (изнутри), т. е. тривектор напряжения S*(x, t) в мо мент t будет зависеть от процесса изменения метрического тензо-
Ра £»j(x> 0 =3i3j в интервале времени |
что, |
опуская |
аргу |
|
мент х= const, запишем в виде |
|
|
|
|
Sa (0 = <^? {§аЬ(т)) = S? (gab(т)) или |
sa (0 |
(£„>(*)), |
|
|
^ = (§ab) = (^11> §22* §33’ §12’ |
§23’ §3l) |
(a = l> |
2, 3). |
(9.2) |
Предполагаем, что эти потоки заметно не изменяют массы частицы.
Здесь (gab(т)) — присущий физической природе вещества вектор-оператор по времени т, действующий на метрический тен
зор, причем Sa = Sai3i, &* = & Т эь |
так что |
(9.2) |
означают |
||||
S‘i(t)= ^U g a b ^)), |
Sii (t) = K |
ngmigni = |
&Ч (gab (т)) • |
(9.3) |
|||
Тривектор 9 i(t) позволяет построить |
бесконечное |
множество |
|||||
единичных ортогональных |
реперов |
|
однозначно |
ориентиро |
|||
ванных в частице х = const. Назовем |
у-физически |
ориентирован |
|||||
ным репером кг-, такой, что при любом t |
вектор ка совпадает с на |
||||||
правлением физического волокна эа, кр лежит в плоскости |
воло |
||||||
кон (эа, Эр), кт направлен по эт: |
|
|
|
|
|
|
|
ка |
У еаа (saag№- |
£ар) |
|
|
|
(9.4) |
|
|
|
|
|
|
|||
При движении частицы х этот репер |
вращается |
как твердое тело |
|||||
в Э с некоторой угловой скоростью £20(0> однозначно определяе
мой 9 |
i ( t ) |
и 9 |
i ( t ) \ но ее модуль £2Э(0 |
не выражается |
через g a b { t ) y |
||||||
gab{t). Если |
соотношения (9.2) переписать, например, в |
виде |
|||||||||
|
|
|
Sa (t)= Sj (t) & ¥ (9L (T ), |
|
э 2 (т ), |
э3(T)), |
|
(9.5) |
|||
то комбинации аргументов операторов сУ?у', |
т. е. э{(т), |
М т)--*> |
|||||||||
образующие |
£2э(т) или любую другую, отличную |
от £аь(т) (9.2), |
|||||||||
в оГ?1 входить не могут, |
если |
й э^ 0 |
в кг (при £2Э=0 |
главные оси |
|||||||
деформации вморожены), т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
& V (3i (т), |
э 2(т), |
э 3 (т)) = |
&V (gab (т))- |
|
(9.5') |
|||
Сплошная |
среда ориентирована |
в |
инерциальном |
(неподвиж |
|||||||
ном) пространстве Э, если в начальный момент |
t = to некоторая |
||||||||||
точка |
среды, |
например |
х = 0, неподвижна |
и у-ориентированный |
|||||||
репер |
кг |
(9.4) совмещен |
с неподвижным ортонормированным ре |
||||||||
пером Э, т. е. e2(f) =вг(т) = ег(^0). В любую |
точку |
х |
и в |
любой |
|||||||
момент t этот репер ег*может быть параллельно перенесен; следо вательно, вместе с точкой x=const движутся поступательно —де картов репер вг(0, вращающийся в нем у-ориентированный орто гональный репер к{(/) и физический деформирующийся репер
МОПри всех перечисленных условиях в Э справедливы уравнения
движения в виде |
(8.13) или преобразованные на основании |
(9.1) |
||||
к лагранжевым координатам — в виде |
(8.11). Соотношения |
типа |
||||
(9.2), (9.3), |
в^Л, |
связывающие тензор |
напряжений 5 |
с тензором |
||
деформаций |
<§ = (^—/)/2, называются определяющими |
(§ |
10); они |
|||
в принципе могут быть преобразованы |
в Э на основании |
(9.1) с |
||||
использованием |
преобразований § 7. |
Соотношения (9.2) |
делают |
|||
систему |
(8.11), следовательно |
и |
(8.13), замкнутой, поскольку |
gfj(x, t) |
выражаются через х(х, |
/), |
g{j= (дх/dxi) (dx/dxj), а следо |
вательно, (8.11) на основании (9.2) представляет одно векторное
функциональное уравнение по (х, t) для одного |
вектора х(х, t), |
|
которое с учетом |
(4.15) принимает вид |
|
|
Ро(*(*. t) — F)=ViS*S(xf t) |
(9.6) |
Если в (9.6) |
оператор S1* (х, /)) известен, |
то в любых вза |
имно однозначных системах координат x'= f(xy /), f= t, например при аффинных преобразованиях системы Э
x'= a(t)xy f= t |
(9.7) |
из (9.6) получим правильные преобразованные |
уравнения: хоро |
шо изучены в аналитической механике преобразования ускорения w=dv/df к неинерциальным системам. Наиболее сложным будет преобразование оператора (9.2), на первый взгляд кажущееся элементарным, так как рассматривалось только для сильно идеа
лизированных моделей |
жидких и твердых |
тел. |
Реально |
же в |
|
окрестности любой физической точки среда |
может быть |
анизо |
|||
тропной как по механическим, так и по тепловым |
и электромаг |
||||
нитным свойствам при |
t = to> изменять свою |
анизотропию |
(коэф |
||
фициенты упругости, вязкости, тепло-электропроводности, |
пьезо |
||||
электрические и много других констант) в процессах, |
идущих на |
||||
интервале /0^ т ^ . Именно потому и потребовалось |
ориентиро |
||||
вать в среде координатные системы Э и Л, вморозить в точке х при t = t0 деформирующийся q окрестностью репер построить у-ориентированный в ней ортонормированный репер к*, с тем что бы убедиться, что геометрическая ориентация любого материаль
ного элемента внутри физической окрестности |
относительно дви |
||
жущегося |
у-ориентированного ортогонального |
репера |
в^любой |
момент |
определяется только метрическим |
тензором |
^(х, t). |
Это и привело к выводу о существовании оператора (9.2). Проб лема определяющих соотношений рассматривается в § 10, но яс но, что она связана с различными процессами.
Естественно, что физический процесс деформации, происходя щий в окрестности фиксированной точки х = const с течением вре
мени |
т с о п р о в о ж д а е т с я |
теплообменом, |
облучением, |
электро |
|||||
магнитными |
явлениями (гл. I, III, IV, |
V), т. е. характеризуется |
|||||||
скалярными |
и векторными |
однородными |
по х парами |
функций |
|||||
времени |
t: Ту г| |
(температура, |
энтропия), |
g = grad7\ q |
(тепловой |
||||
поток), |
Е, |
D |
(электрический |
вектор, |
вектор индукции), Н, В |
||||
(магнитный |
вектор, вектор |
магнитной |
индукции); их |
совокуп |
|||||
ность |
называем параметрами |
Р(т). Пара |
механической |
природы |
|||||
€, 5 |
(известные тензоры) |
наиболее многомерна; так как каждый |
|||||||