Механика сплошной среды

щих обобщить определения соответствующих параметров и функ­ ций в равновесных состояниях (§ 2).

почти всюду имеют порядок отношения их характерных значений к характерному линейному размеру области и интервалу време­

со свойствами S N в макроскопически однородном состоянии. От­ сюда возникают различные возможности дальнейшего эффектив­ ного изучения динамйки статистических систем, поскольку прямая

Метод кинетических уравнений относится к существенно нерав­ новесному движению статистической системы SN, в первую оче­ редь макроскопически однородному в объеме Г->оо физического пространства. Для простоты рассмотрим систему SN, состоящую

= 6/ (рАт ), т. е. систему неразличимых частиц, каждая из которых может занимать любое положение внутри объема. Физически та­ кая система SN является классическим приближением одноатом­ ного нейтрального газа. Функция распределения /лг(р, q, t) будет

нения импульсов и координат всех точек системы бесконечна и состоит из объединения бесконечного числа одинаковых для лю­

Нормирующий множитель Ws удовлетворяет условию

Кинетические уравнения для различных fs получаются из урав­ нения Лиувилля (1.21), где HN определено (1.59). Умножая (1.21) на

т S

Ar=1 k,l=1

(1.65)

S

^ s+ , = 5 - U (Pft.s-l-l).

k+1

и скобки Пуасона для любых двух функций Zk, fk от 2k векторов р/, q; ( /= 1, 2, k) в соответствии с (1.22) имеют выражение

менных, содержит, аналогично предыдущему, /з и т. д. Кажуще­

функций fs) значительно ее упрощает, так как позволяет обры­ вать цепочку уравнений на малых значениях s (обычно s = 1, иног­

Второе (получение свойств из незамкнутой системы) целесообраз­ но потому, что наличие второго слагаемого в правой части (1.64) приводит к возможности введения новых макроскопических па­ раметров, которые могут обнаруживаться в макроопытах.

Умножая (1.67) на dpxdqu интегрируя по Q и учитывая в дальней­ шем, что на границе области Q имеем fi(Pv Чх t) = 0, (P“)v/i (Pi>

Ранее формулами (1.40) и (1.40') были определены плотность p(r, t)=^mv и число частиц v(r, t) в единице объема физического пространства в точке г. Легко видеть, что v и р могут быть выра­ жены также формулами

V = -^ - JM P I . r- t)dpu p=mv, Q„ е й .

Формулой (1.41) был введен вектор скорости среды V(r, /), кото­ рый через функцию f\ определяется выражением

в (1.67) будет интегрироваться еще по р * и исчезнет. Уравнения сохранения импульса (1.56) также получаются умножением на pfdpJW ' и интегрированием по QP. Для о£Рн получаем выраже­

ние

'P

Для производной от а®Рт имеем

Вектор Api=pi—mV представляет хаотическое движение частиц системы. Если температуру в точке г определить с точностью до множителя как среднее по всем скоростям значение кинетической энергии хаотического движения, т. е.

г, t ) d p j JjMPi. г- O d P i= Y ^ (г’

причем Т будет выражено в кельвинах, k — постоянная Больцма­ на, и если среднее кинетическое давление определить как арифме­

тическое среднее значение диагональных компонент тензора

оаР, т. е. кин*

Р у ш и ~ ~ £ У ] °кинб“Р,

а,р=1

то, составляя такую сумму, получим pKmiV=kT Полным давлением называется сумма р=ркич+ри. Таким образом, получаем уравне­ ние состояния

pv=kT+vpu,

где у= т/р — удельный объем системы в точке (г, t). Статистическую теорию рассматриваемой системы (одноатом­

ного газа) можно продолжить и вывести другие соотношения. Су­ щественно отметить, что понятия плотности р, средней скорости V, кинетических составляющих тензора внутренних напряжений о“Рн

и кинетической составляющей давления ркин, температуры Т, ки­ нетической энергии (среднее значение (р\)2/2пг) связаны только с одночастичной функцией распределения Ы Рь Чь 0 . тогда как потенциальная составляющая давления ри, потенциальная энергия, выражающаяся, очевидно, через интеграл

-^Г $ U (q2—г) ft (PiРг> г- Ч.. О» dPidPt dq2

связаны уже с двухчастичной (бинарной) функцией распределе­ ния /2. Поэтому получение закона сохранения энергии потребует

Возникает вопрос: реализуются ли указанные выше условия равновесности S N в физических средах, так как они движутся, во­ обще говоря, неравномерно во времени и неоднородно в простран­ стве? Но если рассмотреть макроскопически очень малый движу­ щийся объем, включающий, однако, большое число одинаковых частиц, и проследить за такой системой в течение макроскопиче­ ски очень малого, но превосходящего т5 времени, то в соответству­ ющей подвижной системе координат система приближенно удов­ летворяет условию 2, так как силы инерции переносного движе­ ния (обычно) малы по сравнению с силами взаимодействия час­ тиц. По свойству физических тел условие 1 не является ограничи­ тельным. Что же касается условия 3, то оно выделяет обычно класс так называемых равновесных обратимых процессов, которые воз­ можны во многих физических средах.

Внутренней энергией Я физического тела называется среднее по ансамблю значение энергии Я:

Н (|Х 0) = <//> = ! Я (р, q, ц)/(Я , Q)dpdq=K + U,

и т. п. Они одинаковы для всех систем S/v(a) ансамбля. Поэтому параметры рг можно назвать внешними. Параметры 0(0i, 02

0s, ...) называются внутренними макроскопическими пара­ метрами: от них зависит /, но не Я.

Равновесным процессом изменения состояния тела называется непрерывная последовательность равновесных его состояний, по­ лучаемая непрерывным изменением макроскопических внешних и внутренних параметров р, 0; при этом, конечно, сам вид функций Н(ру Qy р)» /(Я, 0), Я(р, 0) не изменяется, т. е. их изменения за счет приращений рг, 0* выражаются полными дифференциалами:

бЯ =

(2-5)

Эти выражения верны независимо от того, возрастают или убыва­ ют параметры р, 0 во времени; при заданных числовых значениях р, р, р, 0, бр, 60 вариации 6Я, б/, бЯ, суть постоянные числа, так как коэффициенты при вариациях в правых частях равенства явно от времени не зависят. Такие свойства связей между вариа­ циями различных определяющих систему функций типичны для об-

ратимых процессов.

По аналогии с определением сил, действующих на частицы си­ стемы SN через производные от потенциала U по координатам то­ чек, в выражении бН производные.

можно определить как истинные внешние силы, действующие на систему SN со стороны внешних тел. Заметим, что так как рг — «координата» внешнего тела, то сила

действует на внешние тела со стороны системы.

Поскольку # = £ (а) различны для разных систем ансамбля, то различны и силы Рг. Средней внешней силой Рг, соответствующей параметру рг и действующей на тело, называется среднее по ан­ самблю значение Рг\

Работа б'А, сообщаемая телу при изменении внешних параметров, определяется суммой Рг6рг по г и равна, очевидно, среднему по ансамблю значению вариации функции Гамильтона <6#>:

Отметим два важных соотношения, используемых в дальней­ шем. Варьируя по параметрам р, 0 нормировочное соотношение (2.3), необходимо учитывать, что граница области интегрирова­ ния Г зависит от некоторых из параметров рг\ но, как уже отме­ чалось, значение функции / на этой границе при любом значении

рг равно нулю. Следовательно, знак вариации по р и 0 в (2.3) можно внести под интеграл, тогда

варьируется так, как будто граница области Г не зависит от р, 0:

Теперь получим первый основной закон термодинамики. Варьи­ руя выражение внутренней энергии Я (2.4) по параметрам р и 0 и учитывая свойство (2.11), находим

бH = \b (Hf) dp dq= J bHf dpdq+ \ Hbf dp dq,

b'Q = E \bfdpdq= Q .

Г

Тело, представляемое ансамблем системы SN, в этом случае на­ зывают заключенным в адиабатическую оболочку, процесс изме­ нения состояния его — адиабатическим. Изменение внутренней

энергии при этом согласно (2.12) равно работе внешних сил: б# =

=8'Л.

В общем случае равновесного процесса из (2.12) следует, что 8Я¥=8'А; величина 6'Q (2.13) называется количеством тепла, сооб­ щаемым телу извне. Это количество в феноменологической термо­ динамике определено независимо и до создания статистической теории. Формула (2.13) позволяет вычислить его теоретически, ес­ ли известны функции Я и /(Я, 0).