Механика сплошной среды

уравнений для внутренних точек заданной области G пространст­ ва движения среды с границей 2, для которой существует реше­ ние u(x, t), если всюду в G задан вектор массовой силы ^(х, t)T а на границе 2 и в начальный момент t= t0 заданы некоторые гра­ ничные и начальные условия.

Если решение основной задачи известно, то для любых (х, t) известны и деформации, и внутренние напряжения согласно (VII), и все другие физические величины, определяемые заданными опе­ раторами по (х, t) над функциями u(x, t), Т (х, t).

В МСС используются различные критерии для выбора физиче­ ски возможного решения: термодинамический критерий, критерий устойчивости и др. Критерий устойчивости решения основной за­ дачи базируется на том, что в физических задачах начальные и граничные условия, а также вектор массовой силы нельзя задать абсолютно точно, возможны некоторые небольшие отклонения, называемые возмущениями. Если решение задачи с возмущениями в некотором смысле мало отличается от решения основной задачи, последнее считается устойчивым.

Если в термомеханической задаче поле температуры не зада­ но, то система уравнений (I), (II), (III), (VII) незамкнута и дол­ жна быть дополнена уравнением, определяющим температуру Т Для этого нужно рассмотреть термодинамику частицы постоянной массы т=рДУ Пользуясь общепринятым неопределенным терми­ ном энергия и основным постулатом, можно утверждать, что если

процесс изменения состояния частицы <§(т), Т(т), t0<cx<t, задан, то она в момент t за время dt выделяет и передает окружающей среде некоторую термомеханическую энергию —рД Vdu, определяе­ мую только природой вещества и процессом; сохраняя понятия мощности внешних сил Wь количества сообщаемого частице из­ вне тепла Q и полной сообщаемой частице термомеханической энергии (W{ + Q)p&Vdt такими же, как в макроскопически равно­ весных обратимых процессах, и пользуясь законом сохранения энергии (в общепринятом смысле), получаем равенство (3.18).

В МСС для термомеханических процессов «закон сохранения энергии» постулируется так: существует (для каждого вещества свой) функционал процесса

и[£(х,т), Г(х, т)]{„, (IX)

удовлетворяющий уравнениям (IV), (VI). Если известны функцио­ налы S (VII) и и (IX), то система полученных уравнений замкну­ та. Существенно отметить, что эти функционалы определяются с помощью макроскопических опытов.

Понятия и соотношения МСС, как видно из изложенного, яв­ ляются обобщениями тех, которые получаются в статистической

видно, что возможны (и имеются) некоторые обобщения для си­ стем, состоящих из двух сортов частиц (N=N\+N2) , путем введе­

среды. Пусть е, (£=1, 2, 3) представляет неподвижный трехмер­

Сплошная среда движется и деформируется с течением време­ ни /, занимая область объема V0 в начальный момент времени t= =£0 и V — в момент t. Пусть *

— радиус-вектор (х* — ортогональные декартовы координаты) той же физической точки М в момент времени t.

Движение сплошной среды считается известным, если для лю­ бого t известна связь между х и х, т. е. известна вектор-функция

т. е. три скалярных соотношения:

Соотношение (3.22) называется законом движения точки х. Функции х^х1 х2 х3 t) считаются непрерывными и дифференци­

иногда для этой цели используют в качестве индексов буквы греческого алфа­ вита либо обозначение вида <i=l, 2, 3).

му соответствуют два основных метода изучения движения сплош­ ной среды: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа. Координаты х1 х2 х3 (вектор х) называют­ ся лагранжевыми координатами точек тела. Это, вообще говоря, криволинейные координаты, хотя при t= t0 они выбраны нами как декартовы. Действительно, семейство физических плоскостей x'=const при t= t0y как видно из (3.23) и ясно из физических сооб­ ражений, преобразуется в некоторое семейство поверхностей. Ме­ тод Лагранжа основывается на использовании лагранжевых коор­ динат и состоит в изучении движения частиц сплошной среды и всех необходимых параметров в виде функций х и t. Вместо радиуса вектора х=ф при этом часто используется вектор перемещения ча­ стицы и(х, £). Скорость и ускорение частицы выражаются форму­ лами (3.24').

Если какая-нибудь скалярная, векторная или тензорная функ­ ция определена для физической частицы, т. е. известна как функция лагранжевых координат х и времени /, &~=ЗГ(ху t), то скорость ее изменения во времени для этой частицы определяется

ся криволинейными неортогональными и следящими во времени за физическими частицами, они приводят к довольно сложным вы­ ражениям и уравнениям для тензоров напряжений и деформаций, но вместе с тем дают исчерпывающую информацию о поведении связанных с фиксированными частицами геометрических пара­ метров.

Поэтому тензоры деформаций и напряжений, к которым отно­ сится постулат макроскопической определимости, должны отобра­ жать только эволюцию во времени метрики лагранжевой коорди­ натной системы и соответственно тривектора напряжений, отнесен­ ного к этой системе. Лагранжева система координат, выбираемая в момент t= t0y конечно, произвольна и взаимно однозначно свя­ зана с системой (х1 х2 х3).

Метод Эйлера. Рассмотрим движение среды в любой момент времени t относительно фиксированной декартовой ортогональной системы координат и обозначим теперь через х радиус-вектор фик­ сированной точки этого пространства. В различные моменты вре­ мени в точке х находятся различные физические частицы среды — вещество «протекает» в этом пространстве. Вместо того чтобы по методу Лагранжа следить за параметрами движения фиксирован­ ной физической частицы, будем следить за тем, с какими парамет­ рами различные физические частицы в разные моменты времени

ние относительно вектора х, иначе говоря, три скалярных уравне­ ния

Эти уравнения имеют три интеграла, зависящие от трех произ­ вольных постоянных:

xl= f l (С1 С2, С3 /) (/= 1 ,2 ,3 ).

среды в лагранжевых координатах. Возникающие при этом труд­ ности связаны с интегрированием системы (3.27).

Если в эйлеровом пространстве дано поле вектора скорости у(дс, /), то в каждый момент времени t можно построить линии тока. Линия тока в момент t есть «траектория вектора скорости»

коллинеарен вектору у(дс, /), т. е. уравнение линии тока имеет вид

ная д&~(х, t)/dt даст скорость изменения 2Г в фиксированной гео­ метрической точке пространства х. Скорость же изменения 2Г для физической частицы, в момент t находящейся в точке х, определяется субстанциональной (полной) производной по вре­ мени:

где dx/dt определяется из (3.2), т. е.

Квадрат длины любого малого элемента dx пространства наблю­ дателя имеет такое же выражение:

Но для каждого t можно найти среди точек х и векторов-отрез­ ков dx в них такие, что в точке х будет находиться интересующая нас фиксированная физическая точка х, a dx=p будет представ­ лять деформированный в момент t вектор-отрезок \=dx. Для это­ го необходимо использовать соответствие между текущими и на­ чальными координатами одних и тех же физических точек, кото­ рое устанавливает закон движения сплошной среды (3.22) для различных моментов времени t.

Формально закон движения среды в евклидовом пространст­ ве (3.22), (3.23) представляет взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое преобразование множества точек, заключенно­ го в объеме Vo и ограниченного поверхностью So (V0 — начальный объем, 20 — граница среды) во множество точек х, заключенное в объеме V с границей 2; время t является параметром преобра­ зования. При этом окрестность каждой точки х аффинно преобра­ зуется в окрестность соответствующей точки х. Теория деформа­ ций, следовательно, опирается на дифференциальную геометрию, соответствующую преобразованиям координат (3.22), (3.23).

В точке х в момент t можно построить репер е* (путем парал­ лельного переноса из начала О системы координат) и в нем изоб­ разить векторы § = ||’е/, р=р*е/.

Согласно закону движения физическая точка х в момент t на­ ходится в точке пространства х=х(х, /), соседняя физическая точ­

причем бесконечно малые высшего порядка 0 ( |2) отброшены. Как видим, в выражение (4.4) входят три вектора дх/дх{ и оператор дх/дх, называемый аффинором преобразования окрестности физи­ ческой точки x=const,