Механика сплошной среды

системы SN- Само среднее значение ЗГ называется макроскопи­ ческим, или наблюдаемым, значением функции ^"(р, q). Если, начиная с любого момента t0, в конкретном опыте измерять q, р через минимальные доступные отрезки времени Дт, то за время т

как потенциалы U', Vе от времени не зависят, то дальнейшие из­ мерения за пределами интервала дают результаты, почти повто­ ряющие найденные на достаточно большом отрезке времени т5. Например, в случае «макроскопически неподвижного» монокрис­ талла при нормальных условиях (давлении, температуре) неко­ торый меченый атом колеблется около положения, равновесия, проходя все возможные значения координат и скоростей за время порядка 10- 12—10~13 с, и, значит, xs такого же порядка или не­ сколько большего. В случае газов (Не, Аг, N2) при нормальных температуре и давлении каждая молекула имеет около 5•109 столкновений в секунду, т. е. xs порядка 10-9 с.

Поскольку время xs мало по сравнению с очень малым макро­ скопическим временем, которое для кристаллов и газов, например, порядка 10—5—10~3 с, то все найденные выше в опыте состояния системы Sw(al) (al = 1, 2, т5/Дт»1) можно считать допусти­ мыми начальными условиями (1.13) для системы SN. Получается, что как будто вместо одной системы SN при t = t0 мы имеем набор систем S//al), отличающихся начальными условиями.

Производя множество конкретных опытов при макроскопичес­ ки равноправных внешних условиях (например, с газом в термо­ статах, являющихся баллонами различной формы из разных ма­ териалов при одинаковых объемах и температурах с одинаковыми интервалами измерений Дт), получим конечное множество MSN наборов систем

S*(al), V a2), SN<*b\ .... Siv(aB) (b= 1 2, ..., В).

Система SN находится в макроскопически равновесном состо­ янии (макроскопически равновесна), если в любом конкретном

условиях, называется равновесным ансамблем системы SN- Число элементов MSN теоретически можно считать как угодно

большим (при Дт->-0, В-+оо), и элементы можно перенумеровать по индексам a, b так, чтобы близким значениям пар чисел (а, Ь) соответствовали близкие по значению (р, q) элементы SN{ab)-

Обозначая через (q*, q*1), (р*, р*1) произвольные фиксирован­ ные значения координат и импульсов, предполагая конечные раз­ ности

dpk = Pk'—Pk, dqk = qk'—Ч*

сколь угодно малыми, фазовым объемом в точке (р, q) назовем

величину

dpdq=dp\ ... dpNdqi... dqN=

==dpi'dpi2dpi3... dpN4 p N'2dpN3dq^dqi2dqi3...

.. .dqN4 q N2dqN3.

Число R=AB систем ансамбля предполагается столь большим, что в фазовом объеме dpdq в момент t заключено также большое число систем.

Системы Sfj(ab) при различных а, b неравновероятны. Напри­ мер, атом в кристалле чаще всего можно наблюдать около поло­

что Ri(p, q)dpdq представляет число систем, импульсы и коорди­

и макроскопически неподвижную область Гав определить по свой­ ствам самой системы SN, т. е. по параметрам р функции Гамиль­ тона Н (р, р, р) и заданным макроскопическим внешним услови­ ям. Уравнение нормировки непосредственно следует из (1.34) до перехода к пределу /?->оо и означает, что число систем ансамбля

аргументы этой функции. Например, кинетическая энергия пятой частицы [(Р5)2 + (pi?)2 + (pj?)2]/2m5 встречается в ансамбле столько

раз, сколько тройки чисел (р\, р|, pj?).

Средние по времени и по ансамблю для макроскопически равновесной системы SN построены на одном и том же множест­

по ансамблю есть чисто формальное преобразование, т. е. они рав­ ны между собой. Это было бы действительно так, если бы кон­ кретные опыты приводили к тождественным результатам и в каж­ дом из них за время т система совершала в фазовом пространстве один и тот же замкнутый цикл, т. е. множество MSN сводилось бы к множеству состояний в одном детерминированном движении Sv при точно заданных начальных условиях. Поскольку в этом слу­ чае (р, q) однозначно определяются интегралами движения, то и /(Р. Q) определялась бы ими, т. е. удовлетворяла бы уравнению Лиувилля. Следовательно, средняя по времени равнялась бы ста­ тистической средней. Это впечатление ошибочно, так как все пе­ речисленные условия не выполняются. На макроскопически рав­ новесную систему наложены лишь очень слабые ограничения, и имеется множество «допусков». (Для газа — допуски на темпера­

туру и объем баллона; независимость 2F от вещества баллона и состояния его поверхности; независимость от малых ошибок в па­ раметрах (хи т. д.). В общем случае не существует и замкнутых циклов у детерминированных систем.

Все равновесные состояния консервативной системы S/V опре­ делены в неподвижной области Г фазового пространства (р, q), следовательно, и в неподвижном объеме V физического простран­

альными, и известен только один интеграл движения, явно не за­ висящий от времени, — интеграл энергии *

Н(р, q) = K(p) + U (q, ц ) = £ = const,

N 3

(1.36)

k=\ а- 1

Предположение, что в построенном выше ансамбле / = /> и функция /^(р, q) зависит только от #(р, q), определяет так на­ зываемый канонический ансамбль Гиббса

В каноническом ансамбле константа Е имеет различные зна­ чения для разных систем ансамбля, т. е. функция }N (H) опреде-

* Вопрос о том, является ли при данной Н(р, q) интеграл (1.36) единст­

венным, явно не зависящим от /, не решен. Есть работы, в которых предпо­ лагается существование других.

лена в 6Л^-мерной связной области Г фазового пространства и Н = Е являются ее поверхностями уровня.

Принимаемое для равновесных систем предположение, что ста­

случаев. Эргодическая гипотеза во многих случаях дает основание для трактовки введенных выше статистических средних как наб­ людаемых макроскопических параметров системы. Например, если

деления (1.37), то эволюция описывается функцией, определяемой уравнением (1.21), причем некоторые из статистических средних типа (1.31) представляют макроскопические наблюдаемые харак­ теристики системы.

Плотность массы, скорость движения и закон сохранения массы простой системы. Общий статистический подход к описа­ нию движения системы при некоторых существенных дополнитель­ ных определениях и условиях в принципе позволяет получить из уравнения Лиувилля важные для МСС законы неравновесного и неоднородного в пространстве движения системы S M как сплош­ ной среды. Среди них наименее ограничительным является вывод закона сохранения массы, который и приводится ниже для прос­ той системы.

г в момент t при условии, что импульсы всех частиц и координа­

Вторая сумма при 1фк обращается в ноль, так как производная по таким q f выходит за знак подынтегрального выражения

ЧЧ к

Но по определению б(ч*—г) (1.30)

и вследствие независимости pft, r>“= p “/mft, fN{p, q, t) от г

Pft6 (qft—r) — (v%f„ ) = - £ - [pft6 (qk—r) vakfN) +

К4

+^ r[ P ft6 (qft—r)i%fN].

Интеграл от первого выражения по Г равен нулю, так как !N= 0 на границе Г; производная по ха при подсчете суммы выхо­ дит за знак интеграла по Г. Следовательно, вторая сумма в (1.45) равна

ным Va, среднее значение импульсов р* — равным m*V и обозна­ чим отклонения от средних

где вектор

единичной площадке с нормалью, совпадающей с осью ха в точ­

и независимости вектора силы F/; от импульсов р получим

k—\ а=1

Здесь dph/dp%=dqh/dqr£= ea—единичный вектор вдоль оси ха. Вектор

Л=1

представляет некоторую среднюю силу, действующую на единицу объема среды в точке г и возникающую за счет потенциала вза­ имодействия всех точек системы SN между собой и с внешними телами;

где первое слагаемое дает силу, действующую на /г-частицу со сто­ роны всех других частиц системы, второе — силу со стороны внешних тел.

В результате уравнение сохранения импульса (1.45) приводит­ ся к виду

В некоторых случаях в статистической механике такое приведе­ ние хотя бы формально удается сделать. Пусть, например, потен­ циал взаимодействия частиц системы между собой U'(q) пред­ ставляет собой сумму потенциалов Umn парного взаимодействия частиц m и /г, зависящих от расстояния между ними:

N

дящая в (1.51) сумма легко преобразуется к виду

N

в«и—г)= У

изатем на основании тождества ([/m* = £/*m)

dUmk dUkm

ч ~ ч

■— к виду

N k—\

Если силы парного взаимодействия частиц k и тп — близко­ действующие, т. е. пренебрежимы при удалении частиц на рас­ стояние порядка а, весьма малое сравнительно с характерным линейным размером объема V, а значит, и сравнительно с г, то аргументы 6-функции, входящие в (1.53), будут отличаться на