Механика сплошной среды
..pdfиз них определяется шестеркой функций е^(т), Sij(x) и потому определения функций и функционалов, построенные на б и 5, по
ясняют процедуры для всех р (т). |
точки x= const (иначе —для |
|
По определению |
в окрестности |
|
физической частицы) |
задан процесс |
деформации, если тензор де |
формации для этой точки задан в виде непрерывно дифференци руемой функции времени
x=const: 6 = 6 {т), |
(9.8) |
В различных частных движениях среды реализуются различные функции (9.8), и в рассматриваемом классе непрерывно диффе ренцируемых по т на них не накладывается ограничений.
Аналогично в окрестности точки х = const задан процесс нагру жения, если тензор напряжений для нее задан в виде непрерывно дифференцируемой функции времени
x=const: 5 = 5(т), |
|
(9.9) |
|
Тензор 5(т) определяет |
напряженность |
окрестности |
точки х, в |
частности конфигурацию |
результирующих |
векторов |
напряжений |
по граням рассмотренного параллелепипеда в момент т, а процесс
(9.9)— эволюцию этих векторов во времени |
на движущихся гра- |
нях. |
_ |
Пусть 2 — какой-нибудь из симметричных тензоров б, S и дру |
|
гих, которые могут быть построены на базе |
б, 5 (например, тен |
зор скорости деформаций V), и пусть задан процесс |
|
x=const: 2 = 2(т), |
(9.10) |
который однозначно определяет в этой же точке другой тензор Y
и, следовательно, другой процесс ?(т). При этих условиях значе ние в момент x=t объекта ?(t) будем называть функционалом процесса Z(x), или оператором над процессом 2(х), и записывать его в одном из видов
|
?(t)= < f‘(2(т), t, х )= & (2 (х ))= ? (2 ). |
(9.11) |
В |
(9.11) в скобках, содержащих тензор-аргумент 2(т), |
следовало |
бы |
выписать тензорные аргументы-константы, если при x = U они |
|
заданы; для простоты полагаем, что их нет, а единичный тензор I |
||
не выписываем. В теории термомеханических свойств |
различных |
|
сплошных сред задача аналитического представления функциона лов (9.11) — одна из основных.
Практически все твердые тела, например в некотором интерва
ле температур Г^Т*, деформаций |eij|^6 * |
и времени t—to^t* с |
высокой степенью точности —упругие, т. е. |
опыты показывают, |
5 А. А. Ильюшин
что для изотермических процессов (Т= const) значение тензора напряжения в момент t является просто аналитической функцией значения тензора деформации в этот же момент t.
При аналогичных условиях многие жидкости — вязкие, т. е. опыты показывают, что для любых изотермических процессов S(t)
зависит только от P(t). |
|
представ |
Таким образом, простейшие функционалы (9.11) |
||
ляют функции, содержащие |
кроме 2 только единичный |
тензор- |
константу /, |
|
|
Y (/) = |
(Z (т))= oF (Z), |
(9.12) |
называемые поэтому изотропными. Дифференциалом такой функ ции, естественно, называется
и потому, если дан еще тензор |
X=(Xij) с матрицей l№j||, то |
определен оператор |
|
d § r ( Z ) Х = |
Х и. |
dZ |
dZa |
Называется п-й степенью симметричного тензора 2 симметричный тензор с компонентами
Zn= ((Zn)t/), (Zn)(/= Z lmiZmtmi... Zmn if. |
(9.13) |
Если обозначим £= (£i, £2 £з) главные значения тензора Z, опре деляемые как корни характеристического уравнения (§ 4,5)
\Za~-lbu \ = ~ t? + a t? -b t + c=0,
а — Zifiij— |
tm, Ь— (fl2 Z tiZ U) — |
£a £p> C— \Zij\— |
m=1,2,3
то тензор 2 удовлетворяет кубическому уравнению Гамильтона— Кэли:
Z3= aZ2—bZ-\-cJ, |
(9.13') |
которое на основании обозначений (9.13) есть просто алгебраиче ское тождество. Следовательно,
Z n= a Z n- ' ~ bZn~ 2 + cZn~3 |
(9.13") |
и потому всякая функция тензора 2, выражающаяся полиномом по 2, представима квадратичным полиномом 2:
причем f1 f2 зависят только от а, Ь, с, т. е. от корней (£ь £2 |
£з). |
|
Явное выражение fh (&=1, 2, 3) через £Г и |
представляет |
ин |
терполяционный полином Лагранжа (а, р, у — четная подстановка индексов 1 2, 3):
dT(Z)= |
( Z - W |
(Z — lyl) |
(9.14) |
& (& |
|
( t - t y
а — 1,2,3
При этом предполагается, что все корни £* различны. Можно рас крыть неопределенности в случае равных корней и таким образом дать определяющие соотношения для изотермических процессов в нелинейных изотропных упругих телах и вязких жидкостях.
Однако те же твердые и жидкие тела при более высокой тем пературе или больших деформациях и скоростях, или в большем интервале времен, или при необходимости более точного отраже ния законом типа (9.11) физических их свойств, или при всех пе речисленных условиях обнаруживают свойства, заметно или очень существенно отличающиеся от описываемых формулами (9.12), (9.14). Поэтому, учитывая разнообразие твердых, жидких и газо образных тел, в МСС необходимо рассматривать функционалы весьма общего вида. Однако можно внести некоторую определен ность, возникающую в связи с особенностями задач МСС и с фи зическими свойствами многих сред. При этом необходимо учиты
вать, что тензор <§ |
почти при всех t — непрерывно дифференци |
руемый по t и даже дважды непрерывно дифференцируемый. |
|
Во всех случаях |
функционал (9.11) можно рассматривать как |
предел функции многих переменных: интервал t—10 разбивается
на п |
отрезков Ат=T/t+i—т^ (& = 0, |
1 |
2 ,..., п—1), т0 = ^о |
тn = t, бе |
|
рется |
набор |
значений Zh=Z{xu) |
и |
рассматривается |
некоторая |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
Yn= J (Zlt Z2 |
z n). |
(9.15') |
|
Утверждается: для функционала |
(9.11) найдется такая |
функция |
|||
п переменных |
(9.15'), что существует предел |
|
|||
|
|
lim Yn= Y ‘ [Z (т)] |
(9.15) |
||
|
|
П—►ос |
|
|
|
и что функция (9.15') при конечном п может быть аппроксими рующей для ?(Z). Значение функции Z(т) при т= т п есть линей ный функционал Z(x):
Zn = Z (т„) = |
t |
|
$ Z (т) б (т—т„) dx. |
(9.15") |
|
Следовательно, функционал |
(9.11) есть функция |
линейных по |
Z функционалов и представляется непрерывным функционалом.
|
Далее, функционал |
(9.11) |
при У= 5 и 2 = 6 |
может быть непре |
||||||
рывной и даже непрерывно дифференцируемой |
функцией |
пара |
||||||||
метра t. |
|
|
иметь^ дифференциал |
Фреше, т. е. |
||||||
Функционал (9.11) может |
||||||||||
для |
любых |
заданных |
6 (т) |
и 6 5 (T) = 5 I (T)—6 (т) |
с нормой |
|||||
ЦббЦ^А разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
§ '[ |1(т)]-5 '[6 (т)]= б 5 (0 |
|
|
|
|
||||
отличается от линейного по 65 |
функционала на величину поряд |
|||||||||
ка о(Д). Следовательно, при Д->-0 65 может быть |
представим в |
|||||||||
виде интеграла |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6S(t) = \8 i(x )d xKs(t, т), |
|
|
|
(9.16) |
||||
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
где |
Ks— некоторый функционал |
6, |
определяемый |
функционалом |
||||||
5(6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для аналитических |
процессов |
деформации, когда 6 (т) |
пред |
|||||||
ставим рядами Тейлора, например |
|
|
|
|
|
|||||
|
i (T) = S (о + |
( г - о i(t) -t- Y |
( т - о 21 ( о + . . . , |
|
|
|||||
где |
5 (0 . 5 ( 0 ,... — производные |
6 по t, т. е. скорость |
V, |
ускоре |
||||||
ние 9 и т. д. в точке t, функционал напряжения |
5 |
может |
пред |
|||||||
ставлять универсальную для данного вещества |
функцию |
произ |
||||||||
водных 6 (0 |
по t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (0 « S1[S (т)]=Ф ( f (О, |
I (/), I (0. |
• • •). |
|
(9.17) |
||||
причем его можно аппроксимировать функцией некоторого конеч ного числа производных.
Некоторые |
из |
перечисленных |
ниже свойств |
функционала |
|||
(9.11) |
являются типичными. |
|
взаимно |
однозначный, т. е. |
|||
Оператор (9.11) |
имеет обратный |
||||||
из (9.11) следует существование единственного |
обратного опера |
||||||
тора |
Z' [Y (т)]. |
5 — аналитический и может быть |
представлен в |
||||
Функционал |
|||||||
виде суммы многократных интегралов |
|
|
|||||
|
оо |
|
t |
t |
t |
|
|
s(o=E3„(o, sn(/)=$*, 5л, |
5ifn(/,Tll |
|
xn) i ( x x) |
||||
|
n--=l |
|
tо |
to |
to |
|
|
причем Кп — некоторая матрица-функция (функция памяти) п+ 1 переменной т/г t, универсальная для данного вещества. В частно сти, в МСС существенно используется линейный функционал
t |
|
|
5 ( 0 = |
T)f(T)dT. |
(9.19) |
и |
|
|
Построение конкретных видов |
функционалов (9.11) для |
раз |
личных сред представляет одну из фундаментальных проблем со временной МСС.
Операции дифференцирования и интегрирования тензора по параметру t в лагранжевом и эйлеровом пространствах являются основными в теории процессов. Пусть в движущейся фиксирован
ной точке среды |
x=eonst |
и ее фиксированной окрестности (х+ |
||
+ dx) даны тензор |
Z(t) и зависящая |
от времени |
инвариантная |
|
квадратичная форма q ) z ( 0 > |
имеющая |
определенный |
физический |
|
смысл: |
|
|
|
|
|
cpz (t) = |
Zijdx/dxJ'= zijdx‘dxJ\ |
(9.20) |
|
где Zij(x, t ) — ковариантные компоненты в лагранжевых коорди натах; Zij(x, t)y или, что то же, 2lj(*, t ) — компоненты тензора 1 в декартовом базисе е* пространства наблюдателя, и в силу зако
на движения x=x(Xyt)y dx= A idx‘eh. Применительно к тензору деформации & (9.20) является квадратом длины фиксированного
начального волокна \= d x в момент tyт. е. волокна |
d x= d x‘ti= |
= j4jdx/ei: |
|
yQ= p2= g ildx‘dxi==6iidxidxIy |
(9.20') |
или |
|
Фе = р2—1g=2zifdxidxi= 2Eijdxidxi. |
(9.20") |
Можно рассмотреть физическую площадку, нормальную к во локну dx= \ в момент t, т. е. к волокну р=dx=9idxi. Нормальное напряжение на такой площадке согласно (6.10), (6.38) удовлетво ряет уравнению
|
Np= o ri/^Az/ = S /4 v / , |
|
(9.21) |
причем |
|
|
|
n = v = — , |
р= | d x | , |
v j= nhAi. |
(9.2Г) |
P |
P |
|
|
Отсюда с помощью g^, g получим связь между компонентами 5 в лагранжевых и эйлеровых координатах
Умножая (9.21) на р2 получим (9.20) для 2=§: |
|
|
||||
|
|
(fs = p2Np= atjdx‘dx>= S^dx^x1, |
(9.23) |
|||
причем |
последнее |
равенство и |
непосредственно получается |
из |
||
(9.22) |
умножением на dxmdxn. |
любого симметричного |
тензора |
2 |
||
Формулы (9.22) верны |
для |
|||||
в координатах (х) |
и (дс): |
|
|
|
|
|
|
zi/An-^n= Zmn= |
Z 'gmig/n= Z nl.gjn= Z .ngmi. |
(9.24) |
|||
В (9.20), (9.24) Zij |
даны |
как функции |
х, |
t \ |
как функции x, t. |
скаляр |
фz ( t ) , (9.20) |
no |
|
Дифференцируя |
t, |
Zmn, Z 1', Z\'n, ZX —
получим снова ска
ляр <pz(t), т. е. скорость |
|
cp2 (t) = -dZi' ■dx‘dx‘ = Zt/dx’dx1. |
(9.25) |
сit |
|
Следовательно, по обратному признаку 1ц — ковариантная ком понента некоторого тензора 7, называемого ковариантным тен зором скорости тензора 1\
7 = 2 , Jl,= Z i, ^ Z u. |
(9.26) |
Обозначая уц компоненты 7 в декартовых координатах простран
ства наблюдателя, в соответствии |
с (9.20) |
скаляр ф»(0 =<М 0 |
можем записать в двух видах: |
|
|
Фy= J ijdxidx‘ = |
yijdx'dx1. |
(9.27) |
Выражения компонент уц получаем непосредственно путем диф ференцирования по t при х= const скаляра (9.20)
Фг {t)= ziidxidxi,
в котором
za = za{x, t), dx' = -|^-dx*. dx*
Обозначая по-прежнему через vh = vh декартовы компоненты век тора скорости v (x, t), имеем
= |
I у |
дги |
— |
дги |
| vk дги |
dt |
dt |
дх |
|
dt |
dxk |
|
|
dvl’ |
1 h |
dvi |
dxm. |
|
|
~dx* |
dxk= |
----- |
|
|
|
|
dxm |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фу= Ф *=-^т- dx‘dx>+ Zii |
dxmdxi + гц |
dxm |
dxmdx‘ = |
|
|||||||||
|
dt |
|
|
dxm |
|
|
|
|
|
|
|||
|
__ l dzg |
" 2;n |
dvm |
\-Zmi dvm j dx‘idx>. |
|
|
(9.25') |
||||||
|
dt |
1 |
|
dx' |
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая это выражение с |
(9.27), находим компоненты у ^ |
кото- |
|||||||||||
|
|
о |
( |
с кружочком сверху): |
|
|
|
||||||
рые обозначим также гц |
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
dzu |
. |
|
dvm |
. |
|
dvm |
|
|
|
(9.28) |
|
{/i/ |
|
dt |
|
|
Л |
|
|
л , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxl |
|
|
dxl |
|
|
|
|
|
Очевидна симметрия: из |
z^ = z^ |
следует |
|
уц = уц. Следовательно, |
|||||||||
правило дифференцирования yz(t) |
(9.20) |
по t: |
|
|
|
|
|
||||||
|
Ф2= Z f/(x, |
t) dxid ^ = z ii (л:, |
{)йх*<Ы. |
|
|
(9.29) |
|||||||
Повторное |
дифференцирование |
по |
времени |
t скаляра |
(9.20) |
||||||||
приводит к тензорам, |
являющимся |
соответствующими |
производ |
||||||||||
ными тензора 1. Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Vz= Z i/dxl‘dx/= Jdx'dx1= |
уц<1х£<1х!, |
|
|
(9.29') |
||||||||
причем Zfj являются ковариантными компонентами тензора уско- |
|||||||||||||
рения 7= 2 в лагранжевых координатах, |
|
а компоненты |
0 |
нахо |
|||||||||
|
уц |
||||||||||||
дятся при замене букв в |
(9.28) zц на уц и подстановке в получен |
||||||||||||
ное выражение вместо уц их выражений |
(9.28). |
по t в лагранже- |
|||||||||||
Операция |
интегрирования |
выражения |
(9.20) |
||||||||||
ных координатах приводит к тензор-интегралу тензора 2, причем ковариантные его компоненты равны
^ Z u (x, t) dt.
Представление этого тензор-интеграла в эйлеровом простран
стве сложнее. Пусть дан тензор 7 его квадратичной формой ф?/ (9.27), и пусть для определенности необходимо построить тензоринтеграл от 7, обращающийся в ноль при t= t0. Интегрируя (9.27) и учитывая (9.26), получим
t |
|
t |
_ |
^ Фу (т) dx=dx*dxJ| |
Jn (х, т) dr=Zij(x, |
t) dx‘dxJ' = y ijdxidx!9 (9.30) |
|
t о |
t% |
|
|
причем Z,-j(x, ^о)=0; уц обозначены компоненты в эйлеровом про странстве. Из сравнения (9.30) с (9.20) заключим, что
и Zij(x, t) определяются по заданным \ ( х , t) |
и уц{х, t) |
линейны |
|||
ми дифференциальными |
уравнениями |
(9.28) |
и начальными усло |
||
виями (*’ /= 1 2, 3) |
|
|
|
|
|
t= t09 |
х = х , |
z£j(x9 t0)= 09 |
(9.32) |
||
т. е. компоненты yij = zi;j явно через уц |
не представляются. Вопрос |
||||
о повторных тензор-интегралах решается аналогично. |
|
||||
Для квадрата длины волокна |
<рР= р2 (9.20') компоненты тензо |
||||
ра 1 представляют собой ковариантные компоненты метрического
тензора |
в лагранжевых координатах |
Zii = gij= 8ij + 2Eij и z*j = |
||||||||
= 6ij — в декартовых эйлеровых. Из |
(9.28), |
(9.27) |
находим |
|
||||||
|
2 |
dvl . |
dvi |
|
о |
, |
,\ |
|
|
|
|
Jи — i l l - |
at |
= 2 — ‘L = 2Vif (х, |
I). |
|
|
||||
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
<py= (Pp = 2pp=gi/dx!'dx' = |
2yi/dxW ; |
|
gii= 2vmnATArj |
(9.33) |
||||||
Аналогично из (9.20") для фг и тензора Альманси |
|
|
|
|||||||
ei/(х, t)= E mn(x, ЦАТА]; |
Еи (х, |
t) = -± -6„(х, t)= vu. |
(9.34) |
|||||||
Этот тензор скорости деформации 9 = 6 |
с компонентами |
Vtj(x, t), |
||||||||
t',j(x, t) |
и другими, связанными |
согласно |
(9.24) соотношениями |
|||||||
|
*nm= V mn= v uAtnAll= 9 11ёт1ё1п= У 1 ё1п= У \пё1т1 |
|
(9.24') |
|||||||
используется в дальнейшем. |
для |
тензора скорости |
напряже |
|||||||
Аналогичный вывод получим |
||||||||||
ния 5 на основании формулы (9.23): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
<¥s=Sadxldxi= oudx‘dx>, |
Su = Su = -% - Su (x, /); |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
dojj(x, Q |
dvm |
|
|
dvm |
|
|
|
||
|
и ' |
dt |
Jim |
dxi |
4-<7lm dxi |
|
|
(9.35) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®i1AniAn |
Smn— Smn— |
gmigin—S-ngmi■ |
|
|
|||||
Отметим, что точка сверху лагранжевых компонент тензоров означает производную по t, кружочек же — компоненты скорости тензора, получаемые поднятием и опусканием индексов с по мощью метрического тензора ё ij, ё ^ из ковариантных компонент.
Формулы (9.24) получаются одна из другой умножением ле вых и правых частей на Ар= дхр/дхч (например, вторая из пер-
вой — на |
А[А{, |
вторая из третьей — на А[) и использования ра |
|
венства |
gim(x, |
t)gmj(x> t)=&). Дифференцируя его |
по /, полу |
чим |
|
|
|
|
ё ц— — §тп§т§‘п = —2v mngimgln= —2V‘>. |
(9.36) |
|
Сравнивая с (9.33), (9.34), видим, что скорость контравариантной компоненты gij равна контравариантной компоненте, по лучаемой из скоростей ковариантных компонент путем поднятия индексов, но с обратным знаком. Отсюда следует, что скорости
ковариантных Z,-/, контравариантных ZlJ и |
смешанных |
компо |
|||||
нент |
Z\), Z)1. тензора 2 |
в лагранжевой системе координат |
обра |
||||
зуют |
четыре различных тензора |
скорости — ковариантный, |
кон- |
||||
травариантный и два |
смешанных |
тензора |
скорости |
тензора 2, |
|||
причем формулы (9.25) —(9.35) относятся к |
первому |
из |
них, по |
||||
лучаемому дифференцированием первой формулы из группы
(9.24), |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/AmAii—Zn |
|
|
|
|
|
Умножая на |
(В%=дхт/дхк) |
вторую |
формулу |
группы |
||||
(9.24), найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ги = г т'% Л . |
|
|
|
|||
После дифференцирования |
по t |
с использованием (9.24) |
получим |
|||||
^ |
у тпА1 д! • |
7 тп |
dZmn (х, t) |
у |
|
уц |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
^ |
dzij |
^ |
dvi |
^ dvi |
. |
(9.37) |
|
|
|
j . |
^im |
m |
Zmf |
|
||
|
|
dt |
|
dxm |
|
dxm |
|
|
Птичкой «V» сверху компонент обозначены компоненты контравариантного тензора, получаемого по компонентам Zif в лагран-
жевых и по компонентам гц — в эйлеровых координатах. Дифференцируя аналогично по t третье и четвертое уравнения
группы (9.24), получим два смешанных тензора скорости дефор-
. t >,
мации с компонентами в лагранжевых координатах Z\) = Z.)
(знак > сверху), Z'\.=Z)\ (знак < сверху) и соответственно
><
гц и Хц — в эйлеровых, причем
> |
о |
|
dza |
dvi |
dvm |
ZiJ= zij |
mvmj |
dt |
dxm |
' ^/m dx1 |
|
гц = zu — 2zimvmi= |
—yy + |
zim— ----z/m dvi |
|||
< |
0 |
|
^2 • • |
dvm |
|
|
|
|
dt |
dx* |
dxm ' |
Четыре тензор-скорости тензора Z, обозначенные выше
|
|
|
о |
V |
> |
< |
|
(9.39) |
|
|
|
Z, |
Z, Z, |
Z, |
|
||
линейно зависимы алгебраически: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.40) |
причем, конечно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
v |
> |
< |
|
о |
V |
> , < . |
|
Zu + Z tj = |
Z ,-/ + |
Z {г/, |
|
ZU + Z‘>= Zi! + Z '\ |
|
|||
и тензор (9.40) |
имеет компоненты в эйлеровых координатах |
|
||||||
Zj/ =-т-{2ц + |
ги) = |
—U- + |
zim<£>m/+ z/mcomi-, |
(9.41) |
||||
|
2 |
|
|
|
at |
|
|
|
где шрч— (ди"/дхч—dv"/dxp)/2 — |
|
компоненты тензора вихря. Сле |
||||||
довательно, в качестве алгебраически линейно независимых име
ем три симметричных тензора скорости тензора Z: Z, Z, Z. Но
все они вместе с 1 линейно зависимы при заданном законе дви
жения х=х(х, t), что следует |
из (9.28), |
(9.37), (9.40), |
(9.41) в |
эйлеровых координатах и из |
(9.24)— в лагранжевых. Например, |
||
Z m n Z g m i g n ! |
Z { g m i § n / |
S m l S n l )> |
|
ИЛИ |
|
|
|
Zu=%if-1rZingnr\-Zjngnj, |
(9.42) |
||
><
идва аналогичных—для Z и Z.
Представление одного и того же функционала связи между тензором напряжения и деформации типа (9.17) возможно с по мощью любого из тензоров (9.39) и их ускорений высших поряд ков, т. е. выбор их определяется только простотой и удобством представления физического функционала связи для рассматри ваемого вещества.
Построенные выражения производных и интегралов необходи мы при преобразованиях определяющих соотношений типа (9.11) от Л к Э и обратных. Например, соотношения типа упругости и вязкости
S jy = X 9 6 j/2рв{/ в Л,
ou^=p6if-\-2mvi/ в Э