Баев Теория колебаниы 2015

Обобщенные координаты и импульсы уравнений Гамильтона (1.129), (1.130) называют канонически сопряженными.

Отметим два важных свойства функции Гамильтона, следующих непосредственно из одноименных уравнений. Первое свойство состоит в том, что ее полная и частная производные по времени

Второе свойство связано со склерономными системами, для которых справедливы равенства

Из них следует, что у склерономной системы функция Гамильтона является ее полной энергией. Эти свойства функции Гамильтона делают понятной принятую в аналитической механике терминологию. Система называется обобщенно-консервативной, если ее функция Гамильтона не зависит явно от времени.

Функция Гамильтона еще называется обобщенной полной энергией системы, а равенство H(q,p)=const, справедливое для обобщенно-консервативных систем, обобщенным интегралом энергии.

Наряду с уравнениями Лагранжа и Аппеля канонические уравнения Гамильтона представляют третью разновидность математических моделей систем. Они получили столь же широкое распространение в физике, как и уравнения Лагранжа, а в некоторых ее разделах им даже отдается предпочтение. Это, прежде всего, объясняется большой информативностью понятия фазового пространства, а также функции Гамильтона благодаря ее физическому

41

смыслу. Кроме того, уравнения Гамильтона удобны для их численного интегрирования и математического моделирования движения систем, поскольку имеют вид, к которому, как правило, должны приводиться дифференциальные уравнения в численных методах их интегрирования.

Недостатком канонических уравнений Гамильтона является то, что они справедливы только для натуральных систем, тогда как уравнения Лагранжа распространяются и на системы с не потенциальными силами.

В качестве примера рассмотрим простой маятник, функция Гамильтона которого имеет вид

здесь # масса маятника; B – его длина; φ и p – обобщенные координата и импульс соответственно.

Поскольку функция Гамильтона маятника не зависит явно от времени, она является интегралом энергии H(q,p)=const, который, в свою очередь, определяет фазовые траектории маятника, представленные на рис. 1.5.

Каждая фазовая траектория определяется значением const. Совокупность всех фазовых траекторий системы называется ее фазовым портретом, так что изображенная на рис. 1.5 картинка является фазовым портретом маятника. Как видно из рисунка, фазовые траектории можно разбить на две группы. Первую группу образуют траектории, занимающие ограниченную область фазового пространства, а это означает, что система не может сколь угодно далеко удаляться от стартовой точки, колеблясь около положения, которое называют положением устойчивого равновесия, а само движение системы называют устойчивым. Причем если, как в данном случае, система является консервативной, она будет периодически возвращаться к своему стартовому положению, и поэтому фазовые траектории должны быть замкнутыми. Такое движение системы называют устойчивым.

42

p

Рис. 1.5. Фазовый траектории маятника

Вторая группа состоит из неограниченных в фазовом пространстве траекторий, когда система может сколь угодно далеко удаляться от исходного положения. В случае с маятником они соответствуют его вращению вокруг точки подвеса. Подобные траектории в фазовом пространстве соответствуют так называемому неустойчивому движению системы.

Толстой линией на рис. 1.5 выделена фазовая траектория, которая служит границей между областями устойчивого и неустойчивого движения. Подобная траектория проходит через точки неустойчивого равновесия, которыми в случае простого маятника являются точки, кратные π. Эта граничная фазовая траектория играет важную роль в теории колебаний и в некоторых работах, как по теории колебаний, так и в ее приложениях, получила название сепаратриса [4,5].

Если ограничиться малыми отклонениями маятника от его

неустойчивого равновесия,

окрестностях этих точек показаны на рис. 1.6. Сами эти точки являются особыми точками фазовой плоскости, так как в них не определено направление скорости

системы.

типа «центр». О том, что особая точка типа «центр» это точка устойчивого равновесия, говорит вид фазовых траекторий в ее окрестности, которыми в приближении (1.134) являются эллипсы.

Особая точка, изображенная на рис 1.6,а называется особой точкой

Особая точка на рис. 1.6,б называется особой точкой типа

«седло».Вблизи данной точки фазовые траектории в приближении (1.134) представляют гиперболы, а их вид свидетельствует о том, что особая точка типа «седло» это точка неустойчивого равновесия. На фазовой плоскости встречаются и другие разновидности особых точек.

Рис. 1.6. Фазовые портреты движения маятника около точек его устойчивого (а) и неустойчивого (б) равновесия

Из уже сказанного о фазовой плоскости следует, что она содержит важную информацию о системе, а именно: данные об областях устойчивости, их форме и размерах, координаты точек устойчивого и неустойчивого равновесия. По виду фазовых траекторий в области

44

устойчивости можно судить о характере сил действующих на систему:

через эту точку, то логично предположить, что и в любой другой точке сепаратрисы система должна покоиться. Из данного утверждения следует, что по мере удаления от центра области устойчивости и приближения к ее границе (сепаратрисе), т. е. по мере роста амплитуды колебаний маятника частота его колебаний будет уменьшаться, и на самой сепаратрисе она обратится в нуль.

Как уже об этом говорилось в предисловии, концепция фазового пространства представляет мощный инструмент для анализа математических моделей систем, что будет проиллюстрировано ниже на примерах решения сравнительно сложных задач. Здесь же ограничимся ссылкой на очень полезную монографию [6], посвященную приложению понятия фазового пространства к решению задач по динамике частиц.

1.10.Уравнения Рауса

Уравнения Рауса получаются, если в качестве основных переменных, определяющих пространство, в котором строится математическая модель системы, взять часть переменных Лагранжа и

часть переменных Гамильтона.

Получающийся при этом набор переменных t, qi, qα, , pα ; i = =1,…,m; α = m+1,…,n (здесь m произвольное фиксированное число,

меньшее n), называют переменными Рауса. Чтобы перейти к этим

45

Уравнения (1.140), (1.141) и представляют уравнения# Рауса, состоящие из m уравнений Лагранжа и 2(n уравнений Гамильтона, так что функция Рауса в первых уравнениях играет роль функции Лагранжа, а во второй группе уравнений – роль функции Гамильтона. Заметим, что уравнения Рауса – уже третья разновидность математических моделей систем.

1.11.Циклические координаты

Обобщенная координата qα называется циклической, если она не входит явно в функцию Лагранжа, так что

9 0. 1.142

Из уравнений Гамильтона, учитывая выражения (1.127), следует, что обобщенный импульс pα, соответствующий циклической координате qα, в процессе движения системы сохраняет постоянное значение pα= const= cα.

Допустим теперь, что у системы r циклических координат. Соответствующие им обобщенные импульсы имеют постоянные значения, определяемые начальными условиями, и функцию Гамильтона можно представить в следующем. виде: H = H(t,q, p1, p2,…, pm, cm+1, cm+2,…, cn), здесь n = m

Циклические обобщенные координаты как функции времени получаются непосредственно из уравнений Гамильтона (1.130) в квадратурах

47

Таким образом, при наличии у системы r циклических координат ее математическая модель упрощается, поскольку фактически она будет состоять из 2(n– уравнений Гамильтона. В частности, если удастся найти такую систему обобщенных координат, в которой все координаты будут циклическими, то описание движения системы получается автоматически в виде постоянных значений обобщенных импульсов и обобщенных координат в виде квадратур (1.143).

Поэтому при выборе системы обобщенных координат необходимо стремиться к максимально большему количеству циклических координат. Обычно циклические координаты появляются в связи с разного рода симметриями в пространственных структурах силовых полей, в которых движется система. Например, если в цилиндрических координатах силовое поле не зависит от азимута (так называемые азимутально-симметричные поля, часто встречающиеся в инженерной практике), то, выбрав его в качестве одной из обобщенных координат, получим постоянный азимутальный импульс, а количество канонических уравнений Гамильтона уменьшится на две

# % .

системы можно представить в виде системы из дифференциальных

#

уравнений второго порядка типа уравнений Лагранжа. Удобство этих уравнений состоит в том, что, если не включить циклические координаты в функцию Рауса, то для их решения отпадает необходимость предварительно определять функции, описывающие зависимость циклических координат от времени.

48

не содержат циклические координаты, являясь в этом смысле по отношению к ним автономными, что позволяет, сначала решив эти уравнения, найти функцию Рауса, а уже потом – циклические координаты через квадратуры

естественно, предварительно заменив в функции Рауса все величины qi и на найденные в результатеv $ 1,решения… , # . уравнений Рауса функции от 2m + 1 аргументов t, ci, !

В качестве примера рассмотрим движение заряженной частицы в электромагнитном поле, обладающем в цилиндрической системе координат азимутальной симметрией.

Азимутально-симметричное магнитное поле может быть описано двумя компонентами векторного потенциала Aφ и Az [1], так что лагранжиан заряженной частицы в соответствии с выражением (1.74) будет иметь вид

1.12.Интегралы уравнений движения

Функция f(t,q,p) называется интегралом уравнений движения системы, если она сохраняет постоянное значение на фазовых траекториях системы или, что то же самое, на решениях уравнений движения.

Например, у обобщенно-консервативной системы интегралом является функция Гамильтона, а у системы с циклическими координатами – соответствующие им обобщенные импульсы.

Хотя произвольная функция от интеграла уравнения движения также является интегралом, интерес представляют только независимые интегралы движения, т.е. такой набор функций, являющихся интегралами уравнений движения, в котором ни одна из функций не может быть выражена через другие функции из того же