Баев Теория колебаниы 2015

Как видно из выражения (3.1.48), оба фокусных расстояния магнитной тонкой линзы совпадают.

Непосредственно из уравнения (3.1.47) следует важное свойство азимутально-симметричной магнитной линзы, заключающееся в том, что она всегда является фокусирующей.

231

волной, упомянутый выше класс электрофизических приборов и установок можно условно разбить на два подкласса, теснейшим образом связанных между собой.

Если заряд, взаимодействуя с полем волны, отдает ей свою кинетическую энергию, за счет которой происходит увеличение амплитуды волны, то мы имеем дело с СВЧ – электроникой, занимающейся разработкой приборов для усиления и генерирования электромагнитных СВЧ – колебаний. Эти приборы составляют один из упомянутых выше подклассов.

Если же, наоборот, заряд отбирает энергию у волны, увеличивая свою кинетическую энергию, то речь идет о другом подклассе электрофизических приборов и установок, которые называются резонансными ускорителя заряженных частиц.

Оба эти подкласса связаны, поскольку любой резонансный ускоритель состоит из двух основных блоков – СВЧ-генератора и ускоряющей системы.

ВСВЧ-генераторе формируется мощный пучок заряженных частиц, как правило, это электронный пучок, который в так называемой замедляющей системе генератора отдает часть своей кинетической энергии электромагнитному полю. В результате на выходе СВЧ-генератора получаются мощные СВЧ-колебания электромагнитного поля, которые направляются в резонансный ускоритель, а точнее, в его ускоряющую систему.

Вускоряющей системе пучок заряженных частиц, отбирая энергию у электромагнитного поля, ускоряется.

По существу, в резонансном ускорителе посредством замедляющей и ускоряющей систем осуществляется перекачка энергии из одного пучка заряженных частиц, который находится в СВЧ-генераторе, в другой пучок, пролетающий ускоряющую систему. Так что СВЧ-генератор является неотъемлемой частью резонансного ускорителя.

Вчастности, именно в современных резонансных ускорителях

заряженные частицы разгоняются до энергий, лежащих в широком диапазоне от сотен кэВ (1 кэВ=103 эВ, 1эВ=10-19 Дж) до нескольких ТэВ (1 ТэВ=1012 эВ), и именно на резонансных ускорителях с помощью ускоренных пучков заряженных частиц решается самый широкий спектр научных и прикладных задач [18].

Перейдем непосредственно к задаче математического моделирования движения заряда в поле бегущей волны, электрическая

233

здесь Ð – амплитуда волны; • ее циклическая частота; P – фазовая ]скорость волны, которая, в общем случае, может изменяться вдоль оси

.

Ограничимся случаем движения заряда в ускорителе, когда заряд ускоряется за счет энергии волны. Кроме того, ограничимся нерелятивистским приближением, справедливым, например, для резонансных ионных ускорителей на сравнительно небольшие

Идеальным является такой режимP ускорения, когда скорость заряда vравна фазовой скоростиφ , волны . В этом режиме фаза заряда, обозначим ее символом в процессе его ускорения очевидно сохраняется. Такой заряд называется равновесным, а его фаза, сохраняющая постоянное значение, равновесной фазой.

Однако идеальный режим ускорения возможен только для одного равновесного заряда. Поскольку интерес представляет ускорение не одного заряда, а сгустка множества зарядов, размытого во времени и пространстве, и ускоряющее поле также изменяется во времени и в

234

пространстве(причем нелинейно), то очевидно, что ускорение всех остальных частиц сгустка в идеальных условиях невозможно. А это означает, что фазы всех остальных зарядов, кроме равновесного, в процессе ускорения должны изменяться.

Естественно, возникает вопрос, а смогут ли ускоряться неравновесные частицы. Ведь из-за изменения их фазы возникает опасение, что рано или поздно неравновесные заряды «соскочат» с ускоряющей полуволны и попадут на тормозящую полуволну, после чего ускорение прекратится и начнется замедление зарядов. Именно подобные опасения были причиной, по которой долгое время не разрабатывался резонансный метод ускорения, пока в 1944 году не был открыт фундаментальный принцип технической физики – принцип автофазировки. Впервые его сформулировали независимо друг от друга российский физик В.И. Векслер и американский физик Мак-Миллан.

Суть его сводится к тому, что существует некая пространственновременная область, попадая в которую, заряженные частицы совершают устойчивые колебания около равновесной частицы, в среднем ускоряясь так же, как и равновесная частица.

Если перейти к терминологии теории колебаний, то принцип автофазировки является результатом решения задачи об устойчивости процесса ускорения неравновесных частиц: может ли этот процесс быть устойчивым, если может, то при каких условиях, где располагается область устойчивости и каковы ее размеры.

Решение поставленной задачи начнем с выбора канонически сопряженных обобщенных координат, в качестве которых возьмем

Поскольку

235

o ψ, mT, 2mωφ m‚2 ε P sin φ ψ ψcosφ .

(3.2.12)

ГамильтонианP mзаряда (3.2.12) зависит от времени, так как

параметры n и функции времени. Однако во многих

n

случаях и, в частности, в линейных ионных резонансных

ускорителях, эти параметры меняются достаточно медленно, чтобы считать их адиабатическими и воспользоваться для дальнейших исследований адиабатическими инвариантами, одним из которых является площадь, охватываемая замкнутой фазовой траекторией.

В свою очередь, замкнутые фазовые траектории получаются из

энергию заряда, совершающего фазовые колебания. Второе его

слагаемое

Ñ ψ ε P sin z ψ ψcosφ

представляет потенциальную энергию заряда.

В адиабатическом приближении гамильтониан есть интеграл движения, и поэтому он одновременно является уравнением фазовых

здесь каждой фазовойo траектории соответствует определенное значение величины полной энергии фазовых колебаний.

На рис. 3.2.1 изображены потенциальная функция и семейство

которой заряды совершают устойчивые фазовые колебания, если они

237

попадают в область устойчивости, ограниченную сепаратрисой (на

приближенно.

V

0 ψ

mψ

Рис. 3.2.1. Фазовый портрет заряженной частицы в поле бегущей волны

Если |φ | N π/2 (а это условие, как правило, выполняется), то, раскладывая выражение в левой части уравнения (3.2.15) в степенной

Таким образом, фазовый размер сепаратрисы или, что то же самое, фазовый размер области устойчивых фазовых колебаний дается

Сепаратриса отдельно изображена на рис. 3.2.2. Ее вертикальный полуразмах определяется выражением:

239

Рис. 3.2.2. Сепаратриса

Напомним, что сепаратриса служит границей области устойчивости. Таким образом, в адиабатическом приближении удалось найти положения равновесия рассматриваемой системы, а именно: заряженной частицы, ускоряющейся в поле бегущей волны, выявить ее устойчивую точку равновесия, располагающуюся в области устойчивости системы, и определить размеры этой области на

T

T

зависимость которых от амплитуды колебаний изображена на рис.

3.2.3.

(ψ

(ψ0

1 x

Рис. 3.2.3. Зависимость периода фазовых колебаний от амплитуды

240