Баев Теория колебаниы 2015

корней в правой полуплоскости, т.е. означать устойчивость движения

системы.

jω

(z)

0•

Рис. 2.1.7. Контур интегрирования

Таким образом, можно сформулировать следующий критерий] устойчивости: система устойчива, если при обходе точкой замкнутого4 ]контура (С), изображенного на рис. 2.1.7, число оборотов вектора , представляющего правую часть характеристического4 уравнения, вокруг начала координат на комплексной плоскости ( равно нулю.

В соответствии с этим критерием, если положить

порядком неустойчивости системы. Обозначим это число символом

D. Из принципа аргумента следует, что

имеют только действительные, перемежающиеся корни, т.е. между двумя соседними корнями одного из этих уравнений лежит корень другого уравнения, как показано на рис. 2.1.9,а.Если же хотя бы в одном случае между двумя соседними корнями одного из уравнений (2.1.99) или (2.1.100) отсутствует корень другого уравнения, как на рис 2.1.9,б, то система неустойчива.

Критерий Михайлова не позволяет как в критерии Рауса – Гурвица получать условия устойчивости в аналитическом виде, зато он сравнительно просто справляется с системами с большим числом

Рис. 2.1.9. Критерий перемежающихся корней: а – устойчивое движение, б – неустойчивое

Д-разбиения. Нередки ситуации, когда некий параметр λ системы может принимать различные значения, которые в своей совокупности образуют область (λ) его возможных значений. В этом случае, естественно, желательно знать, при каких значениях параметра λ система устойчива и покрывают ли эти значения всю область (λ) или только ее часть, или вовсе ей не принадлежат.

Для решения подобной задачи изложенные выше критерии не всегда удобны. В критерии Рауса – Гурвица могут возникнуть трудности из-за громоздкости получающихся выражений, требующих

114

для их анализа значительных усилий. Причем эти трудности тем значительнее, чем выше порядок характеристического уравнения.

В критерии Михайлова определение границ области устойчивости для множества значений ее параметра 4λ lωможет. потребовать многократного построения графиков функции

В этой связи представляет несомненный интерес так называемый метод Д-разбиений, суть которого состоит в следующем.

Ограничимся ниже случаем, когда характеристическое уравнение

осуществляемое этой кривой, называется Д-разбиением, а сама кривая – границей Д-разбиения. В случае, когда коэффициентами характеристического уравнения служат действительные числа, граница Д-разбиения симметрична относительно действительной оси и поэтому для построения всей границы достаточно построить ее

переходе границы Д-разбиения с не заштрихованной стороны на заштрихованную число корней с положительной действительной

115

частью будет увеличиваться на единицу или, что то же самое, на единицу будет увеличиваться порядок неустойчивости системы.

Пусть, к примеру, Д-разбиение выглядит так, как это показано на рис. 2.1.10.

Если «разметка» областей Д-разбиения выполнена, то сразу же определяется « претендент» на область устойчивости – это область с

разбиения с минимальным значением величины ^, и λ область является областью устойчивости. В частности, если система,

какому-либо из критериев устойчивости данное характеристическое уравнение при любом выбранном значении параметра из области Д- если да, то эта

область устойчивости: ¢ N λ N ¢ .

Д-разбиение которой изображено на рис. 2.1.10, устойчива, то искомая

В качестве примера применим метод Д-разбиений для решения следующей задачи: найти условие возбуждения RC-генератора, изображенного на рис. 2.1.11 (входным током усилителя можно пренебречь).

116

Рис. 2.1.11. Схема RC-генератора

Решение задачи. С помощью известных правил электротехники

и, введя их в уравнения математической модели, сведем последние к системе из трех однородных алгебраических уравнений вида

117

Рис. 2.1.12. Д-разбиение RC-генератора

В данном случае роль свободного параметра играет коэффициент усиления K усилителя в схеме RC-генератора. Остается теперь установить, устойчива ли схема в области с минимальным значением порядка неустойчивости. В соответствии с изложенной выше

схема будет работать как автогенератор, если ¸ ¤ 29. Задача решена.

Впринципе, аналогичный анализ устойчивости можно проводить

идля систем с бóльшим, чем один, числом свободных параметров, которые могут изменяться. Однако в этом случае пришлось бы иметь дело с многомерными комплексными пространствами, в которых роль линейных границ Д-разбиений играют многомерные гиперповерхности, работа с которыми представляет большие трудности. Поэтому в подобных случаях каждый из свободных параметров рассматривается отдельно по изложенной выше схеме.

Критерий Найквиста. В этом критерии сформулировано условие устойчивости системы, охваченной обратной связью.

Любую систему можно представить в виде четырехполюсника, изображенного на рис.2.1.13.

На этом рисунке символы uвх и uвых обозначают управляющее воздействие на систему и ее реакцию на это воздействие соответственно. Система охвачена обратной связью, которая включается ключом К, когда он замыкает контакт 1, и выключается, когда ключ переводится на контакт 0.

K1

°°

°0

Рис. 2.1.13. Четырехполюсник, охваченный обратной связью

Как видно из рис.2.1.13, с помощью обратной связи в управляющем сигнале uвх учитывается реакция системы uвых на этот сигнал. Таким способом можно, управляя системой, одновременно контролировать ее поведение. Более того, обратные связи являются важнейшим элементом так называемых самоорганизующихся систем,

119

дифференциальных уравнений, описывающих движение системы. Потребуем, чтобы система была устойчива при отсутствии

обратной связи, когда ключ К переключен на клемму с нулевым

которое представляет характеристическое уравнение собственно самой системы без обратной связи.

Согласно принятому допущению об устойчивости системы без обратной связи, характеристическое уравнение (2.1.115) не должно иметь нулей в правой полуплоскости комплексной плоскости: корней или, что то же самое, передаточная функция в этой полуплоскости не может иметь полюсов.

У линейных систем передаточные функции являются рациональными, представляющими в общем случае частное от

так что в данном случае из требования отсутствия у этой функции полюсов#в правой% полуплоскости комплексно плоскости следует: условие , накладываемое на степени полиномов функции .

Перейдем теперь к другому режиму работы рассматриваемого