Баев Теория колебаниы 2015

и вычислим ее производную, учитывая уравнение (2.2.14):

достаточно, чтобы для любого момента времени коэффициенты этого уравнения удовлетворяли неравенству

Доказанное утверждение является довольно наглядным примером, иллюстрирующим целое направление в подходах к анализу математических моделей систем, основы которого были заложены французским философом, физиком и математиком Жюлем Анри Пуанкаре. Это направление известно под названием качественной теории дифференциальных уравнений, суть которого сводится к тому, чтобы получать информацию о свойствах решений дифференциальных уравнений из вида этих уравнений, не решая их.

Возвращаясь к примерам из предыдущего параграфа, легко

проверить, что коэффициенты уравнения (2.2.11), в котором

D 1 ;

131

удовлетворяют условию (2.2.20), а в уравнении (2.2.5) с неустойчивым решением оно нарушается.

Таким образом, получен еще один критерий устойчивости системы в виде следующей теоремы

Теорема 2.2.2. Для устойчивости системы, описываемой

cходился при » ∞.

2.2.3. Общие соотношения для решений линейного дифференциального уравнения с переменным коэффициентом

в котором произвольная функция.

134

Можно показать [13], что существует такая фундаментальная пара решений уравнения (2.2.40)

что любое частное решение уравнения (2.2.40) можно представить в виде

где А и – произвольные постоянные, зависящие от начальных условий, и, кроме того, модуль и аргумент фундаментальной пары решений в свою очередь удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

Эти уравнения играют ключевую роль в одном из самых красивых и эффективных разделов теории пучков заряженных частиц, а именно: в теории огибающих пучков [13], элементы которой будут изложены ниже.

Приведем еще одно важное свойство уравнения (2.2.40), для чего предварительно представим его в виде системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка

2.2.4. Уравнение Хилла

Вернемся к линеаризованному уравнению маятника с

называется уравнением Хилла.

Хотя первая публикация об этом уравнении появилась в 1868 году, до сих пор выходят посвященные ему работы, а количество опубликованных к настоящему времени монографий и статей об уравнении Хилла огромно. Это объясняется, с одной стороны,

должна быть его решением.

В основе теории уравнения Хилла лежит теорема Флоке [14]. Теорема Флоке. Существуетφ ( zединственная( , пара независимых

решений уравнения Хилла и удовлетворяющая условиям

137

то решения уравнения Хилла будут описывать устойчивые периодические движения с периодом Т при λ=1 и 2Т при λ= 1.

Рис. 2.2.2. Случаи с устойчивыми (а) и неустойчивыми (б) решениями уравнения Хилла

139

Если же числа λ и λ «соскакивают» с единичной окружности, как на рис. 2.2.2,б, то система теряет устойчивость. Потеря устойчивости системы, описываемой уравнением Хилла, называется параметрическим резонансом.

Название резонанса объясняется тем, что он может инициироваться периодическим изменением во времени параметра системы, как в случае с уравнением (2.2.2), описывающим в линейном приближении маятник, точка подвеса которого периодически колеблется.

2.2.5.Диаграмма устойчивости

Вэтом параграфе решается задача построения диаграммы устойчивости уравнения Хилла, точнее, одной из его разновидностей,

и известной под названием уравнения Матье.

Эта разновидность выбрана исключительно в связи с тем, что позволяет сравнительно просто продемонстрировать методику решения подобных задач, которая по аналогии может быть распространена и на другие виды дифференциальных` уравнений.

Заметим также, что в общем случае период коэффициента в уравнении Хилла или, как в данном частном случае, в уравнении Матье, может быть произвольным, однако с помощью простого

преобразования независимого переменного

τ 2π(

легко перейти к уравнению вида 2.2.72 с периодом ` 2π. Напомним, что диаграммой устойчивости принято называть

графическое изображение условий устойчивости решений уравнения. Диаграммы устойчивости широко распространены в инженерной практике, поскольку оказываются очень удобным инструментом при проектировании электрофизической аппаратуры.

140