Баев Теория колебаниы 2015

Очевидно, что устойчивость (или неустойчивость) решений уравнения Матьеδ ε должна зависеть от соотношения между параметрами и этого уравнения. Поэтому естественно искатьδ ε области устойчивости решений уравнения Матьеδ ε в плоскости ( , , границами которых будут служить функции ( .

Теперь можно непосредственно перейти к построению диаграммы устойчивости, для чего воспользуемся одним из самых распространенных в теории колебаний методов анализа математических моделей систем, а именно: так называемым методом

ит. д.

Впроцессе построения диаграммы устойчивости условимся всегда находиться в области устойчивости и, в частности, подходить к ее границе будем всегда со стороны устойчивости.

141

При ε 0 и δ ¤ 0 уравнение Матье переходит в уравнение

гармонического осциллятора с устойчивыми решениями, имеющими вид

границ между областями устойчивых и неустойчивых решений

Решение уравнения Матье будет устойчивым, если устранить первое слагаемое (резонансный элемент) в его правой части, для чего

следует положить

2.2.90

Ограничившись этим приближением, в итоге, получим уравнение

Эти операции можноδ ε продолжить до любых значений параметра % и найти функции ε( с любой степенью точности. Для малых значений параметра на рис. 2.2.3 изображены определенные выше области устойчивых решений уравнения Матье (на рисунке они заштрихованы). Между областями устойчивости располагаются области параметрических резонансов.

Условия возникновения параметрических резонансов следуют непосредственно из построенной диаграммы: параметрический резонанс наступает тогда, когда собственная частота колебаний системы равна полуцелому значению частоты колебаний коэффициента уравнения. Хотя это условие получено для уравнения Матье, оно справедливо и для уравнения Хилла. Под собственной частотой колебаний системы, точнее ее квадрата, здесь понимается значение коэффициента уравнения Хилла, усредненного по его периоду.

Рис. 2.2.3. Диаграмма устойчивости решений уравненияε Матье в области малых значений параметра

Полностью диаграмма устойчивости решений уравнений Матье приводится в математических справочниках и книгах по теории колебаний, а ее характерный вид представлен на рис. 2.2.4.

Большое удобство уравнения Матье состоит в том, что для него нет необходимости строить диаграмму устойчивости, она уже построена, и если математическую модель удалось свести к

145

уравнению Матье, то с помощью уже готовой диаграммы можно непосредственно преступать к поиску такой комбинации параметров системы, при которой она будет устойчивой.

ε

δ

Рис. 2.2.4. Диаграмма устойчивости решений уравнения Матье

2.2.6. Матричный метод определения условий устойчивости решений уравнения Хилла

В предыдущем параграфе речь шла о диаграмме устойчивости для уравнения Матье, представляющего лишь разновидность уравнения Хилла. В этом и следующих двух параграфах будут рассмотрены методы определения условий устойчивости систем, описываемых уравнением Хилла. Начнем с метода, который условно назовем матричным и который уже использовался выше. Суть этого метода состоит в следующем.

Общее решение уравнения Хилла (2.2.40) можно записать в виде

Воспользуемся далее известным свойством собственных векторов [7], в соответствии с которым любой вектор можно

Сравнивая выражения (2.2.59), (2.2.60) и (2.2.104), видим, что собственными векторами и собственными значениями матрицы периода являются функции Флоке и их собственные значения, причем из выражения (2.2.106) следуют найденные выше условия устойчивости (2.2.69) решений уравнения Хилла.

Однако чтобы можно было воспользоваться этими условиями, необходимо научиться вычислять собственные значения матрицы периода. Для этого перепишем выражение (2.2.104) в следующем

Первый, тривиальный, случай не представляет интереса, поэтому перейдем к анализу второго случая. Если представить матрицу

и ввести ее в выражение (2.2.108), то после несложных выкладок оно преобразуется к виду

148

колебаний системы Ω, описываемой уравнением Хилла (2.2.40), вычисляется по формуле

определения условий устойчивости системы, описываемой

T

Рис. 2.2.5. Коэффициент уравнения Хилла

150