Баев Теория колебаниы 2015

Получился табличный интеграл, так что окончательное выражение

корреляции напряжения шума в данном случае определяется

величиной

2.4.99 .

Это выражение означает, что корреляция между значениями

211

Глава 2.5. Хаотические колебания

2.5.1. Хаотические колебания как проявление внутренних свойств детерминированных

нелинейных систем

Сравнительно недавно, во второй половине прошлого века, при анализе математических нелинейных детерминированных моделей, т.е. чисто теоретически, была обнаружена качественно новая разновидность динамики детерминированных нелинейных систем, которая получила название хаотической, или, в рамках теории колебаний, ее называют хаотическими колебаниями [16].

Своим видом хаотические колебания ничем не отличаются от рассмотренных в предыдущей главе случайных колебаний. Однако у них качественно разная природа происхождения. В отличие от случайных колебаний, возникающих из-за случайного распределения во времени и пространстве внешних силовых полей(или, еще говорят, шумов), в которых движется система, при определенных условиях хаотические колебания совершает детерминированные нелинейные системы, причем условие нелинейности является необходимым. Позже хаотические колебания были обнаружены во многих физических системах и, в частности, в нелинейных электрических цепях.

Для наглядного качественного описания хаотических колебаний воспользуемся фазовым пространством. Как уже отмечалось выше, довольно полное представление о поведении системы дает ее фазовый портрет, важными фрагментами которого являются сепаратриса и предельные циклы. Напомним, что сепаратриса выделяет на фазовом портрете область устойчивости системы, тогда как предельные циклы представляют ее равновесные состояния.

Такие простейшие циклы изображены на рис. 2.3.1 устойчивый предельный цикл, к которому фазовые траектории асимптотически приближаются, и неустойчивый, от которого фазовые траектории удаляются. Устойчивые предельные циклы, как бы притягивающие фазовые траектории, в теории колебаний еще называют аттракторами, и в этом смысле такие особые точки фазового портрета, как узлы и

212

фокусы, можно считать одномерными аттракторами. В общем случае, вообще говоря, можно было бы говорить и об n-мерном фазовом портрете, предельные циклы которого1 и, в частности, аттракторы представляли бы на нем его (n )-мерные поверхности. Однако, подобные портреты из-за их чрезвычайной сложности в инженерной практике, как правило, не используются.

Здесь уместно ввести еще одно понятие из теории колебаний – понятие бифуркации. Под ним понимается качественное изменение фазового портрета, связанное с изменением знака или значений параметров системы, причем те их значения, при которых произошла бифуркация, называют бифуркационными или критическими. В качестве примера можно привести гармонический осциллятор, при изменении знака в его уравнении движения происходит качественное изменение фазового портрета осциллятора, что отражено на рис. 1.6.

Хаотическим колебаниям в фазовом пространстве соответствуют аттракторы качественно иного типа, так называемые странные аттракторы. Странный аттрактор представляет некую область фазового пространства, заполненную фазовыми траекториями, которые эту область не покидают. В самом аттракторе движение неустойчиво в том смысле, что две фазовые траектории, близкие в начальный момент времени, с течением времени расходятся. Мало того, хотя система детерминирована, т.е. ее движение описывается определенными уравнениями, но из-за высокой плотности траекторий в аттракторе невозможно однозначно проследить по заданным начальным условиям ее движение. Поскольку вычисление траектории осуществляется пусть даже с очень высокой, но конечной точностью, то в процессе вычислений система в пределах странного аттрактора неизбежно будет перескакивать с одной траектории на близлежащую другую, теряя связь с начальными условиями, как бы забывая их. В результате ее движение будет напоминать случайные колебания с той только существенной разницей, что это движение, называемое хаотическим, обусловлено не внешними факторами, а внутренней структурой самой системы.

При анализе математических моделей систем нередко, помимо традиционного фазового пространства обобщенных координат и обобщенных импульсов, используют пространства, которые также

2.5.2. Сечения Пуанкаре

Один из способов анализа нелинейных математических моделей состоит в том, что изучаются множество точек в n-мерном фазовом пространстве, которое получается1 от пересечения пучком фазовых траекторий системы (n )-мерной поверхности в том же1 фазовом пространстве. Нередко такой поверхностью служит (n )-мерная плоскость. Подобное множество точек получило название сечения Пуанкаре.

В некоторых случаях удается связать аналитически точки пересечения или восстановить алгоритм, позволяющий от данной точки пересечения перейти к следующей.

Допустим, что подобную связь удалось найти

здесь γ- это координата m-го пересечения фазовой траекторией системы (n )-мерной плоскости сечения Пуанкаре (везде ниже, для

связывающим n координат точек пересечения.

Выражение (2.5.2) называют отображением Пуанкаре. Оно позволяет получать важную информацию о свойствах системы. Так,

Участок фазовой траектории, по которой система возвращается в

а саму точку равновесия естественно назвать двухтактной. Период колебаний около двухтактной точки равновесия будет равен двум периодам колебаний системы около однотактной точки равновесия. Можно говорить, что переход от однотактной точки равновесия к двухтатктной сопровождается удвоением периода колебаний системы относительно ее точки равновесия или удвоением периода ее цикла.

В общем случае, точка равновесия может оказаться k-тактной с периодом колебания системы относительно нее, равным k периодам

215

колебаний системы относительно однотактной точки равновесия. В этом случае выражение (2.5.3) имеет вид

координат.

Раскладывая функцию (2.5.2) в степенной ряд и ограничившись

пересечения фазовой траектории системы будет приближаться к точке равновесия, что говорит о ее устойчивости.

Проиллюстрируем сказанное об отображениях Пуанкаре на примере гармонического осциллятора с его хорошо известной

и положением. В данном случае в качестве секущей выберем ось

Процесс построения отображения Пуанкаре можно представить в !графическом, ! виде на плоском псевдофазовом пространстве ( 4 , рис. 2.5.1; здесь прямая 1 график

217

!функции (2.5.16), а прямая 2 соответствует выражению !4

.

Рис. 2.5.1. Отображение Пуанкаре для гармонического осциллятора

Вернемся к общему выражению отображения Пуанкаре

(2.5.2).Очевидно, в общем случае, оно должно включать в себя параметры системы и пустьλ – один из таких параметров, который выделим в отображении Пуанкаре, переписав выражение (2.5.2) в виде:

относительно , найдем особые точки системы, координаты которых символом χ и которые должны зависеть от значений

параметра λ, λ? N λ N λ?@A. А далее, меняя в этой области значения параметра, выясняем поведение особых точек системы.

2.5.3. Хаотические колебания как следствие последовательности бифуркаций удвоения периода цикла

Рассмотрим один из вариантов сценариев переходов к

Рис. 2.5.2. Бифуркация, изменяющая число и характер особых точек

Рис. 2.5.3. Фазовый портрет системы с удвоенным периодом цикла около устойчивой особой точки

колебаниям. В частности, бифуркации удвоения периода, приводящие к появлению в спектре колебаний нелинейной системы гармоник с частотами, кратными двум, являются предвестниками хаотических колебаний.

В качестве простейшего примера из электроники на рис. 2.5.4,а представлена система, в которой возможны хаотические колебания.

220