Баев Теория колебаниы 2015

характеристикой системы, связывающей амплитуду вынужденных колебаний системы с частотой внешнего на нее воздействия, и представляет кубическое уравнение относительно величины · Если амплитуда внешней силы мала, то мала и амплитуда вынужденных колебаний и выражение (2.3.80) можно аппроксимировать выражением (2.1.76) для линейных систем, а амплитудно-частотная характеристика системы не будет отличаться от аналогичной характеристики линейных систем, изображенной на рис. 2.3.5,а.

По мере увеличения амплитуды внешнего воздействия на систему резонансная кривая, деформируясь, тем не менее, сохраняет

Рис. 2.3.5. Резонансные кривые системы в разных режимах работы

Однако, начиная с определенного¤ значения , вид кривой существенно меняется. При появляется область частот, в которой уравнение (2.3.80) имеет три вещественных корня. Это участок BCDE кривой, изображенной на рис. 2.3.5,в. Границы этой области определяются в точках D и C условием

то координаты точек D и C получаются из решения уравнений (2.3.80) и (2.3.82).

Наибольшего значения амплитуда вынужденных колебаний

Проанализируем участок амплитудно-частотной характеристики, изображенный на рис. 2.3.5,в, с тремя вещественными корнями, соответствующими трем возможным равновесным состояниям системы на этом участке. Из этих трех равновесных состояний любая пара «соседних» состояний (соответствующих двум соседним корням, т.е. корням, принадлежащих ветвям ВС и CD или CD и DE) не могут быть одновременно устойчивыми или неустойчивыми. Действительно, если бы это было так, то между двумя устойчивыми или неустойчивыми состояниями должно было бы находиться еще одно неустойчивое или устойчивое равновесное состояние соответственно, чего, очевидно быть не должно.

Поэтому остаются два варианта: либо ветви ВС и DE – неустойчивы, а ветвь CD – устойчива, либо, наоборот, ветви ВС и DE

182

– устойчивы, а ветвь CD – неустойчива. Оба эти случая изображены на рис. 2.3.6.

На этих рисунках качественно изображена зависимость потенциальной энергии системы от частоты в соответствии с рассматриваемыми двумя вариантами.

Рис. 2.3.6. Потенциальные функции нелинейной системы

Вариант, представленный на рис. 2.3.6,а, неприемлем, поскольку в этом варианте у системы появляется четвертое равновесное состояние, а именно: состояние с нулевой потенциальной энергией, в которое система может перейти,«скатившись» с крайних максимумов.

Таким образом, остается вариант, изображенный на рис. 2.3.6,б с неустойчивой веткой CD,выделенной пунктиром на амплтудночастотной характеристике на рис. 2.3.6,в. Как следует из этого рисунка, в режиме нелинейного резонанса у системы появляется область частот, в которой возможны две амплитуды колебаний. Так, при постепенном увеличении частоты внешней силы на участке характеристики АВС амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать. В точке С произойдет срыв колебаний, их амплитуда скачком упадет до значения в точке Е, и затем при дальнейшем увеличении частоты она будет меняться вдоль ветви EF. Если же по этой ветви двигаться в обратном направлении, уменьшая частоту, то амплитуда вынужденных колебаний сначала будет сравнительно медленно возрастать, а в точке Dона скачком существенно увеличится до значения в точке В и затем будет уменьшаться, перемещаясь вдоль

Оставив в правой части только резонансный член, приведем его к виду

рассмотренный выше на частоте S r • , но с другой интенсивностью. Поэтому амплитудно-частотная характеристика рассматриваемого

означает, что возникает резонанс такого же характера, как и

В данном случае во втором приближении не будет резонансных членов таких, как в предыдущих случаяхH H ., Однако из-за члена, пропорционального произведению ( ) ( ) может возникнуть параметрический резонанс. Действительно, если из всех нелинейных членов сохранить лишь этот, то во втором приближении получиться уравнение, которое представляет уравнение Матье с трением. Как было установлено выше, в системах, движение которых описывается уравнением Матье, при определенных условиях возбуждается параметрический резонанс.

185

Уравнение второго приближения в данном случае имеет вид

Поскольку здесь рассматривается движение системы в условиях резонанса, а параметрический резонанс наступает, когда собственная частота колебаний системы равна половине частоты изменения коэффициента уравнения Матье, то во втором приближении должна

и данная задача сводится к решенной выше об обычном резонансе в нелинейной системе, описываемой уравнением (2.3.76), с тем лишь отличием, что изменилась амплитуда внешней силы и вместо

2

186

На рис. 2.3.7 изображена зависимость ε или, другими словами, амплитудно-частотная характеристика системы.

bE

F

Ð

A B C D

Рис. 2.3.7. Амплитудно-частотнаяγ характеристика2ω ε в области резонанса

В интервале частот между точками В и С формально у выражения (2.3.101) как уравнения относительно амплитуды0 вынужденных колебаний три действительных корня: (отрезок ВС) и корни, определяемые выражением (2.3.102), из которых физический смысл имеет, очевидно, положительный корень. С помощью рассуждений, аналогичных тем, что были использованы при анализе резонансной кривой 2.3.5,в, несложно убедиться в неустойчивости равновесных состояний системы на ветви ВС. На том же основании моно утверждать, что неустойчивой является ветвь CF.

Проследим за поведением системы, когда уменьшается частота внешнего воздействия. При этом напомним, что рассматриваются лишь вынужденные колебания вблизи резонанса. Если частота внешнего воздействия существенно отличается от резонансной, то, согласно используемому здесь приближению, система будет совершать относительно слабые вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы.

До0 достижения точки С резонансные колебания не возбуждаются,

,а затем происходит «срыв» этого состояния со скачкообразнымε переходом на ветвь ЕВ. С дальнейшим уменьшением амплитуда колебаний уменьшается до нуля в точке В. При обратном движении в сторону увеличения частоты амплитуда вынужденных колебаний

будет расти вдоль ветви ВЕ. Однако этот рост не является неограниченным. Более точныйε анализ уравнения движения (2.3.76) показывает, что с ростом в дальнейшем ветви ВЕ и CF соединяются

187

в некоторой точке, при достижении которой резонансный0 колебательный режим срывается, переходя на ветвь CD c .

Рассмотренные резонансы охватывают практически все интересные случаи. Хотя в более высоких приближениях и обнаруживаются резонансы на других частотах, однако с увеличением порядка приближения (порядка резонанса) их интенсивность, а также размеры областей частот, в которых они проявляются, очень быстро убывают.

188

Глава 2.4. Случайные колебания

2.4.1.Исходные понятия

Вопределении колебаний, приведенном в предисловии, не говорится об условиях, в которых эти колебания протекают, в частности, не говорится о пространственно-временной структуре внешних силовых полей, действующих на систему, а эта структура может быть как детерминированной(т.е. описываемой определенными функциями), так и носить случайный характер, и тогда колебания называют случайными или стохастическими. Случайные колебания возникают также в том случае, когда их источник по тем или иным причинам работает нестабильно, вследствие чего случайным образом меняются амплитуда, частота и фаза колебаний.

Как сами колебания являются некой разновидностью более общего процесса в природе, называемого движением, так и случайные колебания это частный случай более общих процессов, получивших

название случайных.

Случайный процесс описывается совокупностью (ансамблем) функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности.

При фиксировании случайного процесса он реализуется в виде одной из этих функций, описывающей протекание процесса при его наблюдении. Такая функция, ставшая полностью известной после наблюдения, называется реализацией случайного процесса.

которое еще называют условием нормировки плотности вероятности;

дискретного типа. Для таких величин условие нормировки выглядит

Одномерная плотность вероятности – это инструмент, позволяющий выполнять статистическое усреднение как самой случайной величины, так и любой функции от нее.

Для практических приложений интерес представляют следующие характеристики случайной величины:

190