Баев Теория колебаниы 2015

В инженерной практике, как правило, в качестве независимой переменной в уравнениях движения используют именно координату, а не время. Выбор в пользу координаты диктуется необходимостью связывать результаты математического моделирования с результатами экспериментов, получаемых с помощью датчиков с известными координатами их расположения.

Если система консервативная(т.е. функция Гамильтона не зависит явно от времени), а контуром интегрирования (С) служит сечение трубки прямых путей плоскостью t = const, то инвариант Пуанкаре – Картана принимает вид

В качестве примера рассмотрим этот инвариант применительно к заряду, движущемуся в статическом магнитном поле. С этой целью удобно переписать инвариант (1.192) в векторном виде:

61

электромагнитном поле, легко перейти от функции Лагранжа (1.74) к

из которой следует, что в статическом поле полная энергия заряда сохраняется.

Если выражение (1.194) подставить в (1.193) и учесть, что

где S – ориентированная в пространстве поверхность, натянутая на контур (С), то интегральный инвариант Пуанкаре – Картана примет

вид следующих равенств

P &B P &B

используется в физике пучков.

Магнитное поле, обладающее такой симметрией относительно некоторой оси (оси симметрии), что его пространственную структуру можно описать с помощью функции от двух переменных, называется осесимметричным. При такой симметрии магнитное поле на оси ориентировано вдоль нее, а сама ось должна представлять собой одну из возможных траекторий частицы.

Если магнитное поле осесиммтеричное и в качестве контуров интегрирования (С1) и (С2) взять окружности радиусами r1 и r2

62

соответственно, лежащие в плоскостях, перпендикулярныхθ θ оси симметрии поля и с центрами на этой оси, а через и обозначить угловые скорости зарядаe, движущегося по окружностям радиуса r1 и

r2, то, интегрируя по этим окружностям выражение (1.197), получим следующее выражение как частный случай теоремы Буша:

совершающую одномерное движение и характеризующуюся некоторым параметром λ, определяющим свойства самой системы или внешнего поля, в котором она находится. Предположим, что этот параметр под влиянием каких-либо внешних причин медленно меняется со временем, а движение самой системы является почти периодическим с периодом Т. Под словом «медленно» понимается

О таком изменении параметра λ говорят как об адиабатическом. Система с таким параметром уже не является замкнутой, и ее энергия Н не сохраняется, поскольку гамильтонова функция должна зависеть от параметра λ: Н=Н(q,p, λ). Но при адиабатическом изменении параметра λ столь же медленно должна изменяться и функция Гамильтона Н. Тогда можно предположить, что существует такая комбинация из Н и λ, в которой эти величины, как бы взаимно уравновешивая свои изменения, делают подобную комбинацию постоянной. Такая комбинация действительно существует, и ее естественно было назвать адиабатическим инвариантом.

Если бы параметр λ был постоянным, то система с функцией Гамильтона вида Н(q,p, λ), не зависящей явно от времени, была бы консервативной, и для нее инвариант Пуанкаре – Картана имел бы вид (1.192). Если теперь рассматривать движение системы в течение периода ее колебаний Т, то, в силу адиабатического характера изменения и параметра λ и функции Гамильтона Н, этот инвариант

63

должен сохраняться, поскольку в силу условия (1.199) за время Т этими изменениями можно пренебречь.

Далее можно только предположить, что если выражение (1.192) верно в течение периода Т, то оно сохраниться в течение любого другого отрезка времени, и это предположение оказывается верным, оно строго доказывается [9]. В данном случае этот инвариант

и для адиабатических систем (систем с адиабатическими параметрами) отличие интеграла (1.200) от постоянного значения исчезающее мало. Этот интеграл, согласно принятой терминологии, и есть адиабатический инвариант, причем имеющий очевидный геометрический смысл: он равен площади, заключенной внутри замкнутой фазовой траектории.

В качестве примера рассмотрим маятник, совершающий малые

инвариант (1.203) должен сохраняться, но теперь уже как адиабатический. Из адиабатического инварианта следует, что при

64

этом энергия маятника будет изменяться пропорционально его частоте

Таким образом, адиабатический инвариант позволил связать изменения амплитуды и энергии колебаний маятника с изменением его собственной частоты. Особенно здесь следует подчеркнуть тот факт, что эта информация была получена не из решения уравнения движения маятника, которое, хотя и остается линейным, но его коэффициент становится переменной величиной, и аналитического решения такого уравнения нет.

Адиабатические инварианты являются очень эффективным инструментом анализа математических моделей систем, существенно расширяя его возможности. Их теория и различные приложения достаточно полно представлены в работе [10].

Теорема Лиувилля. Перейдем к очень важному инварианту, связанному с так называемыми ансамблями. Положим, что имеется большое число одинаковых «экземпляров» системы, отличающихся только начальными состояниями. Совокупность всех этих «экземпляров» и образует ансамбль. Примерами ансамблей могут служить множество молекул газа, заполняющих некий данный объем, или пучки заряженных частиц, используемых в электрофизических установках.

Соотнесем каждому элементу фазового объема dv = dqdp массу dm, характеризующую количество «экземпляров» системы, приходящихся на этот объем, и введем понятие фазовой плотности ансамбля ρ, как отношение ρ=dm/dv. Фактически введение фазовой плотности означает, что ансамбль представляется непрерывной средой с плотностью ρ, заполняющей фазовый объем, о которой можно говорить как о фазовой жидкости.

Вычислим производную по времени от фазовой плотности

65

Из теоремы Лиувилля следует инвариантность и фазового объема, занимаемого гамильтоновым ансамблем. Действительно, поскольку фазовая плотность ансамбля не меняется, то, при условии сохранения в процессе движения ансамбля полного числа его частиц, а это условие практически всегда выполняется, должен оставаться постоянным и заполняемый этим ансамблем объем.

Именно это следствие из теоремы Лиувилля играет исключительно важную роль в физике пучков заряженных частиц, а точнее, в решении задачи согласования пучка заряженных частиц с каналом транспортировки.

В идеале пучок считается согласованным с каналом, если заряды пучка при прохождении через канал не попадают на его стенки. Решение задача согласования приобретает особо важную роль в мощных установках с сильноточными пучками. Если даже на стенки канала попадает относительно небольшая доля частиц пучка, это может вызвать целый ряд крайне нежелательных паразитных эффектов таких, например, как мощное тормозное излучение в установках с электронными пучками, с которым может не справиться защита, или разрушение стенок канала транспортировки ионными пучками, или, и в том и другом случаях, нарушение электрической прочности и пробои, приводящие к срыву работы установки.

Одним из важных инструментов в решении задачи согласования является такая характеристика пучка заряженных частиц, как его эмииттанс. Эмиттансом пучка называется проекция его фазового объема на плоскость (x, dx/ds), рис. 1.8, где x – поперечное отклонение заряда от орбиты, по которой он должен двигаться при номинальных условиях, s – координата, отсчитываемая вдоль этой орбиты, так что производная dx/ds – это тангенс угла между касательной к траектории

заряда и орбитой.

x z&H Dφ s &a t

Рис. 1.8. Система координат эмиттанса пучка

67

Подчеркнем, что эмиттанс – комплексная, обобщенная характеристика пучка как целого, представляющая фигуру на плоскости (x, dx/ds), и величина эмиттанса – только одна· м из составляющих этой характеристики, измеряемая в единицах (рад и определяемая выражением

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Выбранная для построения эмиттанса система координат не является канонически сопряженной, т.е. в системе координат (x, dx/ds) уравнения движения зарядов пучка не могут быть каноническими уравнениями Гамильтона.

Тем не менее, из соображений удобства, предпочтение отдано именно такой системе координат. Дело в том, что в эксперименте померить эмиттанс значительно проще, чем выполнять измерения в канонически сопряженной системе координат (x, dx/dt), хотя бы потому, что, как правило, продольная скорость зарядов на много больше их поперечной скорости, и это обстоятельство существенно затрудняет измерения последней с требуемой точностью. Тогда как расходимость пучка сравнительно просто меряется, например, по диметрам пятен, засвеченных на фотопластинах, размещенных вдоль траектории пучка.

Именно эмиттанс пучка может дать ответ на вопрос, пройдет пучок канал транспортировки без потерь или нет, поскольку, если даже диаметр пучка при входе в канал транспортировки гораздо меньше диаметра отверстия пролетного канала, то это вовсе не значит, что заряды не будут попадать на стенки канала. При большом угле расходимости пучка он может практически весь осесть на стенки канала.

Чтобы дать однозначный ответ на вопрос, пройдет пучок канал транспортировки без потерь или нет, необходимо еще знать аксептанс канала.

Аксептансом канала транспортировки называется максимальный змиттанс пучка, который проходит канал без потерь.

Таким образом, если эмиттанс – характеристика пучка, то аксептанс – характеристика канала транспортировки.

68

Из определения аксептанса следует, что пучок пройдет канал транспортировки без потерь, если эмиттанс пучка вписывается в аксептанс канала.

Примеры согласованного и несогласованного с каналом транспортировки пучка представлены на рис. 1.9. Образно говоря, аксептанс – «отверстие» на плоскости (x, dx/ds), в которое необходимо попасть пучком, чтобы он прошел канал транспортировки без потерь.

Рис. 1.9. Несогласованный (а) и согласованный (б) с каналом транспортировки пучок; А – аксептанс канала, Э – эмиттанс пучка

Именно при решении задачи согласования необходимо иметь ввиду теорему Лиувилля. Как правило, между генератором пучка заряженных частиц (или инжектором) и входом в электрофизическую установку располагается узел, который называется согласователем, и задача которого состоит в том, чтобы по возможности «вписать» эмиттанс пучка в аксептанс канала. В согласователе, как правило, энергия частиц пучка сохраняется. В этом случае площадь эмиттанса, с точностью до постоянного множителя, совпадает с площадью области, занимаемой пучком на фазовой плоскости пучка, которая, если пучок гамильтонов, согласно теореме Лиувилля, является интегралом движения. Поэтому, проектируя согласователь, необходимо помнить, что с помощью элементов корпускулярной оптики в виде всевозможных линз можно в принципе как угодно

69

деформировать эмиттанс гамильтонова ансамбля, но невозможно уменьшить размер, точнее, площадь его эмиттанса.

1.15. Уравнение Гамильтона – Якоби

Вернемся к каноническим преобразованиям и предположим, что

Объединив это выражение с выражением (1.175) для унивалентных преобразований, получим уравнение в частных производных ,первого| : порядка относительно искомой производящей функции S(t,

70