Баев Теория колебаниы 2015

Величины Π , a 1,2, … , %, есть не что πиное,. как обобщенные силы в новой системе обобщенных координат

Введя выражения (1.80) в выражения (1.75), преобразуем последние к виду

32

пренебрежимо малой массой; система может двигаться только в вертикальной плоскости и только так, что скорость середины стержня всегда направлена вдоль стержня.

Решение задачи. У плоской системы (системы, движущейся в плоскости) с двумя точечными массами и одной геометрической связью должно быть три независимых обобщенных координаты.

2М2

2

,

φ

М1

x

Рис. 1.4. Система, описываемая уравнениями Аппеля

В качестве обобщенных возьмем координаты центра стержня (x,y)

Связь, наложенная на скорость центра стержня с координатами (x,y), очевидно является дифференциальной.

34

Выражение (1.100) представляет записанную в аналитическом виде дифференциальную связь, которая не интегрируется (не сводится к конечной или геометрической связи), поскольку не является полным дифференциалом. Следовательно, эта система неголономная, и ее движение не может быть описано уравнениями Лагранжа.

Перейдем к выводу уравнений Аппеля, для которых требуется

В соответствии с изложенной выше методикой, теперь требуется

и тогда выражение для энергии ускорений преобразуется к виду

35

где точками в скобках, как и выше, обозначена та часть выражения, которая не содержит ускорений и поэтому не представляет интереса.

выбрана исходная обобщенная скорость φ. О таком варианте вывода уравнений Аппеля с частичным сохранением исходных обобщенных

Как видим, в качестве одной из двух новых обобщенных скоростей

переменных выше говорилось, и в решении данной задачи этот

36

Если в них подставить найденные выше выражения для энергии ускорений и обобщенных сил, то окончательно они принимают

Выбор новых обобщенных координат оказался настолько удачным, что уравнения движения построенной математической модели оказались интегрируемыми.

Опуская промежуточные несложные выкладки, приведем

1.9.Канонические уравнения Гамильтона

В этом параграфе будет рассмотрена третья разновидность математических моделей систем – уравнения Гамильтона. Для вывода этих уравнений потребуется понятие гессиана. Гессианом функции X(x1,x2,...,xn) называется определитель det(aik), i,k = 1,2,…,n,

элементами которого являются вторые производные этой функции:

j . 1.117

H H

Воспользуемся теоремой Донкина, которую приведем здесь без доказательства (с доказательством теоремы можно ознакомиться в книге [3]). Хотя в данном случае теорема Донкина имеет и прикладное

37

значение, она представляет самостоятельный интерес в вопросах, связанных с преобразование координат.

Теорема Донкина. Пусть дана некоторая функция X(x1,x2,...,xn), гессиан которой отличен от нуля, и пусть имеется преобразование переменных, порождаемое этой функцией:

тогда существует обратное преобразование, порождаемое функцией

и при этом порождающая функция Y обратного преобразования связана с порождающей функцией прямого преобразования выражением

если функция X содержит параметры α1, α2, …, αm X= X(x1,x2,...,xn, α1,α2, …, αm), то функция Y будет содержать те же параметры Y(y1,y2,…,yn,α1, α2, …, αm ) и

Как видно из формулировки теоремы, она важна сама по себе, так как дает простую связь (1.120) между функциями прямых и обратных

Гамильтона, пространство обобщенных координат и обобщенных импульсов получило, , название фазового пространства, а пространство переменных i= 1,2,…,n, называют расширенным фазовым пространством. Система в фазовом пространстве изображается точкой, а движение системы изображается линией, описываемой этой точкой, которую называют фазовой траекторией системы.

Забегая вперед, отметим, что понятие фазового пространства играет важную роль в теории колебаний и в ее многочисленных приложениях, так как форма фазовых траекторий системы дает обширную информацию о ее свойствах.

Перейдем теперь непосредственно к выводу канонических уравнений Гамильтона, для чего перепишем уравнения Лагранжа в следующем виде:

здесь точками обозначены члены уравнений, не содержащие обобщенных ускорений.

Поскольку уравнения движения в механике должны разрешаться относительно ускорений, т.е. должны приводиться к виду

Воспользуемся теоремой Донкина, а именно: будем считать обобщенные скорости и импульсы исходными и новыми переменными соответственно, а функцию Лагранжа – порождающей функцией прямых преобразований (1.118). Тогда, согласно теореме,

которые называются каноническими уравнениями Гамильтона.

40