Баев Теория колебаниы 2015

Если построить математическую модель этой схемы и проанализировать ее по описанному выше алгоритму, то найдем условия возбуждения в ней хаотических колебаний.

221

Часть 3. Примеры приложений теории колебаний

3.1.Геометрическая корпускулярная оптика

Втретьей части пособия будут приведены решения нескольких задач с целью продемонстрировать в действии изложенные выше методы теории колебаний.

Начнем с задач геометрической корпускулярной оптики, в которой изучаются оптические свойства пучков заряженных частиц при их стационарном движении в статическом электромагнитном поле, когда форма траектории частиц не меняется со временем.

Воснове геометрической корпускулярной оптики лежит так называемое вариационное уравнение, по существу представляющее принцип Гамильтона, в котором в качестве переменной интегрирования берется не время, а координата, отсчитываемая вдоль траектории заряда. Эта замена переменной интегрирования осуществляется следующим образом. Запишем функцию Лагранжа для заряда, движущегося в электромагнитном поле, через обобщенный

причем в данном случае o const, поскольку полная энергия заряда при его движении в статическом электромагнитном поле сохраняется.

222

Перейдя к действию с фиксированными пределами интегрирования и варьируя его по всевозможным траекториям заряда с закрепленными концами, получим следующее выражение:

практике, как правило, из соображения удобства пользуются

характерный размер оптической системы (например, это может быть ее длина).

223

Если выразитьφ , скорость заряда через пройденную им разность потенциалов W то вариационному уравнению можно придать несколько иной вид

который в корпускулярной оптике называют на манер оптики световой показателем преломления среды, то вариационное уравнение можно переписать в следующей компактной форме:

~

~

Данный пример замечателен прежде всего тем, что изложенная в первой части пособия идеология используется здесь не в виде уже готовых уравнений Лагранжа или Гамильтона, а начиная с ее основ, с принципа Гамильтона.

Проиллюстрируем на решениях конкретных задач то, как построенное на базе принципа Гамильтона вариационное уравнение может быть использовано в корпускулярной оптике, и начнем с решения задачи о формировании изображения с помощью параксиального пучка в поле электростатической линзы, обладающей симметрией вращения или, если пользоваться цилиндрической системой координат, азимутальной симметрией.

224

Эти решения, которые иногда называют главными лучами системы, изображены на рис. 3.1.1, на котором пунктиром отмечены границы линзы.

Рис. 3.1.1. Главные лучи системы

где и } фокусные расстояния линзы.

Если проинтегрировать уравнение луча (3.]1.21) при условии, что на линзу падает луч, параллельный оси линзы , и в приближении так называемой тонкой линзы, когда длина линзы мала по сравнению с ее

фокусным расстоянием, то получим следующее полезное выражение:

В качестве примера приведем приближенный расчет фокусного расстояния «бипотенциальной линзы», образуемой двумя соосными цилиндрическими электродами, находящимися под разными потенциалами. Если распределение потенциала на оси линзы аппроксимировать] N &/2 линейными функциями следующего вида: на участке

на участке &/2 ] &/2 f ] f ;

f ] 12 f f f f &]

и на участке ] ¤ &/2

f ] f ,

229

выражение (3.1.39) дает завышенные значения величины 1/f c

Объединив выражения (3.1.40) и 3.1.42) и ограничиваясь, как и в случае с электрическим полем, параксиальным приближением,µ получим в этом приближении следующее выражение для функции :

230