Баев Теория колебаниы 2015
.pdfто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 "1 &# cosα 1 sinα ; |
3.12.14 |
||||||||
12 ?cosα sinα ; |
3.12.15 |
||||||||
21 "1 &# sinα 1 cosα ; |
3.12.16 |
||||||||
22 ?sinα cosα |
3.12.17 |
||||||||
и, в частности, как и должно быть, det B = 1 . |
|
||||||||
Распишем подробно выражение (3.12.11) |
3.12.18 |
||||||||
|
I |
]!; |
|||||||
I! ]!. |
3.12.19 |
||||||||
Введя выражения (3.12.18), (3.12.19) в уравнение эллипса, |
|||||||||
аппроксимирующего эмиттанс пучка, |
|
|
|
|
|||||
|
I! |
|
|
I |
|
|
1, |
3.12.20 |
|
, - |
|
g<h |
|
||||||
преобразуем его к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.12.21 |
3 ]! 2O ]! ž 0 , |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
¥ |
|
2 |
|
2 |
; |
3.12.22 |
||
|
< |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
22 |
|
|
|
331
O |
¥ |
" |
|
” |
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
# ; |
|
3.12.23 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
21 22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ž¥ |
|
|
<1122 |
|
2122 |
1. |
|
3.12.24 |
||||||||||||||||||||
Разрешив выражение (3.12.21) относительно величины z', получим |
||||||||||||||||||||||||||||
для нее следующее выражение: |
|
|
|
• gC 3 |
|
ž |
x. |
3.12.25 |
||||||||||||||||||||
] |
3¥ w O |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
• |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
¥ |
¥ |
|
|
|||
Вычислив производную |
|
|
|
! |
|
|
|
|
и приравняв ее нулю, получим |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
уравнение для определения |
экстремальной точки: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
&] |
|
⁄&] |
3 f |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
C |
TU |
• |
2O C2 |
|
|
|
|
|
|
|
3.12.26 |
|||||||||||||||||
|
|
Π|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
C |
|
3 |
|
|
ž |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Перепишем выражения (3.12.23), (3.12.24) в виде |
3.12.27 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
O¥ O¥с ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
ž¥ ž¥с |
|
|
1, |
|
|
|
3.12.28 |
||||||||||||||
|
O |
|
|
|
|
” |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
; |
|
3.12.29 |
|||||||||
|
|
¥с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
21 22 |
|
|
|
|||||||||||||
332
то |
|
|
с . |
3.12.37 |
|
] |
|
||||
|
Ž4 |
ž |
|
||
c |
|
O с |
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно выражению (3.12.37) для величины ze, координата экстремума функции z'(z) величина Fz должна быть положительной. Действительно, расписав подробно выражение для величины Fz,
убеждаемся в том, что оно сворачивается |
к виду |
|
|||||
|
|
|
11 |
22 12 21 |
2 |
|
|
4 |
¥ |
" |
# , |
3.12.38 |
|||
|
|
< |
|
||||
т. е., являясь квадратом, всегда положительна. |
|
|
|||||
Если ввести символ Ez |
|
4¥ |
M¥2 , |
|
|
3.12.39 |
|
|
|
|
|
|
|||
то выражение (3.12.37) для координаты ze экстремальной точки примет вид
|
] |
|
|
|
|
с . |
|
|
3.12.40 |
||
|
|
|
M |
|
Žž |
|
|
|
|||
|
c |
|
|
O |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем теперь сам экстремум, максимум функции z'(z), |
|
||||||||||
?@A |
|
|
|
|
|
s |
|
. |
3.12.41 |
||
] |
|
€CL |
ŽžL |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
TV |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
с |
|
|
||
Проанализируем выражение (3.12.41) и начнем этот анализ с |
|||||||||||
числителя. При знаке «минус» |
LT2 €Tž с , |
3.12.42 |
|||||||||
CTV2 |
|||||||||||
а при знаке «плюс»
334
CTV2 LT2 €Tž с 2CTV2 . |
3.12.43 |
Неравенство |
3.12.44 |
€Sž¥с 2CS5 ^ €Sž¥с |
|
справедливо, если€Sž¥с ^ CS5, что невозможно, поскольку |
3.12.45 |
€Sž¥с CS5 LS T 0 , |
поэтому€Sž¥с T CS5, и, следовательно, в общем случае, в точке ze
] |
þ |
|
|
|
сþ |
3.12.46 |
||||
|
|
|
M Žž |
|
|
|
|
|||
c |
|
O |
с |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
функция z'(z) имеет экстремум вида |
|
Žž |
|
|
||||||
?@A |
þ |
þ. |
3.12.47 |
|||||||
] |
|
|
|
|
|
|||||
! |
M |
с |
||||||||
Найдем другую экстремальную точку эмиттанса определяющую поперечный размер электронного пучка. Для этого
выражение (3.12.21) перепишем в виде:
ž¥с]2 2] O¥с C €S C 1 0 . 3.12.48
Разрешив выражение (3.12.48) относительно величины z, получим
для нее следующее выражение
] ž1с , O с U • ŒC2TV U 2 €Tž с U 2 ž с- .
(3.12.49)
335
Вычислив производную |
|
|
|
! |
|
|
|
|
и приравняв ее нулю, получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение для определения экстремальной точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&] |
|
⁄&] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TV2 |
|
|
|
T |
|
|
¥с |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
¥с |
• |
|
|
|
|
|
C |
|
€ |
|
ž |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . 3.12.50 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
2 |
ž¥с |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
O |
|
CTV |
|
|
|
|
€Tž¥с |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
В конечном итоге уравнение преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
CS5 ^¥ C |
|
|
ž¥с «S C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.12.51) |
||||||||||||||||||||||||||||
и искомая экстремальная точка определяется выражением |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
O |
|
|
T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.12.52 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найдем сам экстремум: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M Ž€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TV |
|
|
|
|
|
|
|
TV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
?@A |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
] |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
C |
€ |
ž |
|
|
|
|
|
|
ž |
› |
|
3.12.53 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ž |
š M Ž€ |
|
|
|
s ÒM |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
или, учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TV |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
T |
TV |
|
|
T с |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
C T |
|
|
|
с |
|
|
1T |
|
|
|
|
T с |
|
|
TV |
MT |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C |
€ |
|
|
|
|
|
|
|
h ž |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g€ |
|
ž C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
M |
gC € ž |
|
|
|
€ |
|
ž € |
|
|
|
|
h € , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.12.54) |
выражение |
|
(3.12.53) преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
?@A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
] |
|
ž |
|
@ M Ž€ |
|
s Ž€ |
A |
|
M ž |
|
|
Ž€ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
3.12.55 |
||||||||||||||||||||||||||
336
Как было показано выше, максимальное значение числителя в
выражении (3.12.55) равно Az Czc |
, так что |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
Ž€ |
|
. |
|
|
3.12.56 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
T |
|
|
||||||||
|
|
|
|
?@A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Величина |
|
max это поперечный размер пучка, а величина |
|
c! |
|||||||||||||
его |
расходимость. Величина |
• |
|
|
является задаваемой и определяется |
|||||||||||||
|
] |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
• |
|
] |
||||
расходимостью пучка на |
входе в ячейку и величиной |
на которую |
||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
должна быть |
изменена |
входная |
расходимость |
пучка |
после |
|
его |
|||||||||||
|
] , |
|
|
|
||||||||||||||
прохождения через ячейку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вернемся к выражению (3.12.38). Поскольку, как уже отмечалось |
|||||||||||||||||
выше, |
1, то |
|
1 . |
|
|
3.12.57 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
M¥ |
|
|
|||||||||||
|
Распишем |
подробно |
выражение для величины |
Bzc, для чего |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|||||||
предварительно, перепишем выражения (3.12.14) и (3.12.16) в виде |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
11 b &cosα sinα cosα; |
|
|
3.12.58 |
||||||||||||
где |
|
|
21 b &sinα cosα sinα, |
|
|
3.12.59 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b 1 . |
|
|
3.12.60 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Прежде чем перейти к вычислению фокусного расстояния линзы, заметим следующее. Очевидно, что в общем случае эмиттанс пучка на выходе из ячейки не сохраняет форму эллипса, которую он имел на входе в ячейку. Поэтому, чтобы выполненные выше преобразования эмиттанса пучка, прошедшего данную ячейку, перенести на следующую за ней ячейку, необходимо сохранить эллипсоидальный вид эмиттанса на выходе из данной ячейки и на входе в следующую ячейку. Это можно сделать с помощью эффективного эмиттанса, имеющего форму эллипса, проходящего через получаемые расчетным путем характерные точки эмиттанса пучка на выходе из ячейки, а
337
именно: точки с координатами rк, !, |
|
|
?@A! |
|
|
|
|
для чего воспользуемся |
|||||||
известными выражениями, |
|
|
связывающими |
основные |
параметры |
||||||||||
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
, |
|
|
|
||
эллипса M, N, и α с этими точками, показанными на рис. 3.12.1, |
|||||||||||||||
Ž< cos α sin α ; |
3.12.61 |
||||||||||||||
! |
< |
sin2α ; |
|
|
3.12.62 |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
ŽN |
|
α < |
|
|
|
|
|
3.12.63 |
||||||
H |
cos |
|
|
sin α . |
|||||||||||
С помощью этих выражений получаются следующие выражения |
||||||||||||||||||||||||
для полуосей Mк, Nк эффективного эмиттанса и его угла наклона α |
||||||||||||||||||||||||
|
α |
|
|
1 |
arctg |
|
2 |
|
2 • • |
|
|
2 |
|
|
|
|
3.12.64 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
H |
max |
|
; |
|
|
||||||||||||||
если sin2α + 0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ò2 |
, |
|
H |
|
|
|
|
|
sin2α |
|
- ; |
3.12.65 |
||||||||||||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
H |
?@A |
|
2 |
|
|
- ; |
3.12.66 |
||||||||||
|
|
Ò2 |
, |
|
|
|
|
|
|
sin2α |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
?@A |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
или, если sin2α 0, то |
H |
|
|
|
|
|
|
|
cos2α |
|
|
- ; |
3.12.67 |
|||||||||||
< |
Ò2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
H |
?@A |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
H |
?@A |
|
|
|
|
|
|
|
- ; |
3.12.68 |
||||||||||
< |
Ò2 , |
|
|
|
|
|
|
|
cos2α |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
H |
?@A |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
?@A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
338 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обратимся теперь к выражению (3.12.47), которое, с учетом
выражений (3.12.58), (3.12.59), преобразуется к виду |
3.12.69 |
b 2 b v 0 , |
|
где |
3.12.70 |
< &sinα cos? &cosα sinα ; |
|
&cosα sin? cosα < &sinα cosα sinα ; |
|
v cosα <¦ sinα Q ; |
(3.12.71) |
3.12.72 |
|
здесь Req– задаваемая расходимость пучка на выходе из ячейки.
Разрешив выражение (3.12.69) относительно величины h, найдем |
||||
1 |
1 |
|
vh. |
3.12.73 |
|
g Ž |
|
||
искомое фокусное расстояние линзы ячейки: |
|
|||
Найденное выражение (3.12.73) можно рассматривать как решение задачи синтеза ячейки, поскольку по требуемой расходимости пучка Req на выходе из ячейки и при заданных входном эмиттансе пучка и длине дрейфового участка ячейки находим фокусное расстояние ее фокусирующей линзы.
Составим матрицу, связывающую входные параметры электрона (y,y'), в соответствующей плоскости, изображенной на рис.3.12.1, с его аналогичными параметрами на выходе из ячейки, лежащими в плоскости (z,z').
Поскольку
H Icosα I!sinα; |
3.12.74 |
H! Isinα I!cosα; |
3.12.75 |
339
|
j 3 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
+ , где |
|
|
3 |
|
|
|
cosα |
sinα |
|
3.12.76 |
||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||||
такY1или |
|
|
|
|
|
gsinα |
cosα h, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
‰ |
||||||
33 |
что, в конечном итоге, |
™ < k |
< |
матрица ячейки |
< |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
< |
g# |
|
# |
|
|
h, |
|
3.12.77 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
# |
# |
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
# &sinα cosα ; |
|
3.12.78 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
# &cosα sinα ; |
|
3.12.79 |
|||||||||||||
|
|
|
# |
|
|
1 |
& |
! sinα |
1 |
cosα; |
3.12.80 |
||||||||
|
|
|
|
& |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
# |
|
|
1 |
! cosα |
sinα . |
3.12.81 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
В частности, |
детерминант матрицы ячейки, как и положено, равен |
|||||||||||||||||
единице. Это подтверждает то, что она построена верно. |
|
|
|||||||||||||||||
|
Влияние на |
параметры |
|
электронного пучка |
конвертеров, |
||||||||||||||
преобразующих энергию электронов в тормозное излучение, задавалось изменением радиуса пучка и угла его расходимости после каждого конвертера.
Если воспользоваться приближением тонких линз [26], то удается связать найденное из решения задачи синтеза фокусное расстояние линзы с ее параметрами. В случае наиболее часто используемых симметричных квадрупольных триплетов, у которых длины l всех трех линзn одинаковы, как и расстояние h между квадруполями, градиент y крайних квадрупольных линз определяется выражением:
340