Баев Теория колебаниы 2015

Если по аналогии с решениемφ уравнения гармонического осциллятора под производной понимать частоту колебательного движения системы, то выражение (2.3.39) представляет ее амплитудно-частотную характеристику. Эта характеристика изображена на рис. 2.3.4.

j jj

ω φ

Рис. 2.3.4. Амплитудно-частотная характеристика

На рисунке выделены две области, помеченные цифрами I и II. Фрагмент характеристики, расположенный в области I, представляет

ослабляет жесткость системы, так как уменьшает силу,

системы, увеличивая в сумме силу, возвращающую систему в положение равновесия.

171

В заключение приведем еще один распространенный вариант укороченных уравнений, для чего перейдем в исходном уравнении

тогда, если продифференцировать функцию (2.3.43) и объединить получившееся выражение с выражением (2.3.44), то получим выражение вида

Подставив (2.3.43) в уравнение (2.3.41), после несложных преобразований, аналогичных проделанным выше, и с учетом выражений (2.3.44) и (2.3.45) придем к системе из двух

из которых, после операции усреднения, получаем укороченные

Система укороченных τуравнений (2.3.48), (2.3.49) не содержит в явном виде переменную , что во многихτ случаяхτ позволяет ее проинтегрировать и получить функции и , являющиеся медленно меняющимися амплитудами искомого решения.

Здесь отметим следующее обстоятельство. В параграфе (2.2.1), посвященном линейным системам с переменными параметрами, упоминался подход к анализу этих систем, который строится на принципе проведения аналогии с простейшими линейными системами с постоянными параметрами и. в частности, с гармоническим осциллятором. В основе этого подхода лежат понятия мгновенных частот, амплитуд, фаз колебаний и т.п. Там же указывалось, что подобный подход требует исключительной аккуратности и должного обоснования. В противном случае можно получить результаты не только количественно, но и качественно отличающиеся от точных решений уравнений движения, и тому были приведены конкретные примеры.

Что же касается рассмотренного здесь метода приближенного решения уравнения движения, как, в частности, и метода, изложенного в параграфе 2.2.8 для линейных систем с медленно изменяющимися параметрами, то эти методы, как раз наоборот, иллюстрируют эффективность построения решений уравнений движения по аналогии. В обоих случаях искомые решения берутся в

173

виде известного решения уравнения гармонического осциллятора, но с переменными амплитудой колебаний и частотой. Особо отметим то, что в обоих случаях такой подход строго обосновывается. А в результате получаются сравнительно простые и потому удобные приближенные решения уравнений движения.

2.3.4. Метод последовательных приближений

Наметим в общих чертах алгоритм метода последовательных приближений. Для этого разложим функцию Лагранжа в степенной ряд по ее аргументам и ограничимся сравнительно простым случаем,

первой суммой, можно назвать линейной, ибо она является функцией Лагранжа линейных систем, о которых говорилось в главе 2.1. Две другие суммы разложения, следующие после линейной части, ответственны за нелинейные силы в уравнениях движения системы.

174

Как это уже делалось ранее, в упомянутом выше параграфе,

считая, во-первых, что каждое следующее слагаемое суммы (2.3.55), являясь уточнением предыдущего приближения, удовлетворяет условию

и, во-вторых, что функции 5(1)α (α= 1,2,…,n) являются решениями

Таким образом, и метод последовательных приближений строится исходя из модели гармонического осциллятора, решение уравнения движения которого кладется в основу решения уравнений движения гораздо более сложных нелинейных систем.

В соответствии с условием (2.2.56), оставляя в правых частях уравнений (2.2.54) лишь члены первого порядка малости, получим неоднородные линейные дифференциальные уравнения для функций

правые части которых будут содержать тригонометрические функции, например, такого вида:

тригонометрические функции с собственными частотами системы из

Частоты колебаний ω s ω называются комбинационными.

частотой, соответствующей постоянному смещению системы.

Переход к более высоким приближениям (третьего порядка и выше), очевидно, обнаружил бы колебания системы с частотами, являющимися более сложными (но линейными) комбинациями собственных частот системы. Однако в этих приближениях проявляется важная особенность нелинейных систем.

Суть ее состоит в том, что уже в первых приближениях среди комбинационных частот могут появлятьсяω частоты, совпадающие с собственными частотами системы . Из теории линейных систем известно, что тригонометрические функции в правой части уравнений движения с такими частотами вызывают резонансы. Если рассматриваемая система консервативная, то в ней не может происходить самопроизвольное нарастание амплитуды колебаний. Такую неустойчивость можно назвать математической, так как она вызвана не физическими процессами, протекающими в системе, а погрешностями метода решения уравнений движения. Члены приближений, вызывающие математические неустойчивости, принято называть сингулярными. Следовательно, чтобы получить верное

176

описание движения системы, необходимо найти способ устранения из приближений сингулярных членов.

Это можно сделать, если учесть то обстоятельство, что собственные частоты колебаний нелинейной системы естественно отличаются от собственных частот ее линейной модели, причем при переходах от данного приближения к следующему в методе последовательных приближений уточняется не только решение уравнений движения, но и значения частот собственных колебаний нелинейной системы. При этом появляется возможность устранения

ограничившись, для наглядности, одномерной системой. В качестве ее математической модели возьмем дифференциальное уравнение, охватывающее дольно широкий класс систем, поскольку практически любое уравнение с той или иной степенью точности может быть

Тогда в качестве первого приближения можно взять решение уравнения гармонического осциллятора (еще раз хочется обратить внимание на очередной случай использования этого решения в очередной методике исследования математической модели)

177

последовательных приближений, ограничившись, как и в случае с искомым решением уравнения, тремя слагаемыми

разложений одного порядка малости, получим дифференциальное уравнение для второго приближения:

Перейдя к полным суммам из трех слагаемых (2.3.64), (2.3.68), введя их в исходное уравнение (2.3.63) и собрав элементы третьего порядка малости, получим уравнения для функции третьего приближения:

178

то в конечном итоге получается следующее приближенное решение

2.3.5. Нелинейные резонансы

Резонансные явления в нелинейных системах оказываются более сложными по сравнению с аналогичными явлениями в линейных системах. Проиллюстрируем их проявления на примере одномерной

возникают рассмотренные выше простые резонансы. Чтобы выяснить характер движения рассматриваемой здесь нелинейной системой снова обратимся к гармоническому осциллятору, с помощью которого поставленная задача решается сравнительно просто и потому красиво. Воспользуемся выражением (2.1.76) для линейной системы. Чтобы ее трансформировать на нелинейную систему, перепишем найденное выше выражение для ее собственной частоты колебаний (2.3.75) в следующем виде:

рассматриваемой нелинейной системы, связывающее амплитуду ее колебаний с частотой

180