Баев Теория колебаниы 2015

Если подставить их в дифференциальные уравнения (2.1.12), то

которое, в свою очередь, есть уравнение относительно собственных

характеристического уравнения в общем случае являются комплексные числа, однако представление решения уравнений движения в виде (2.1.13) исключает в данном случае комплексные корни. Такое довольно существенное уточнение характера корней оказалось возможным благодаря одной физической особенности решаемой задачи. Поскольку система консервативная, то сохраняется ее полная энергия, и поэтому амплитуда ее колебаний не может изменяться со временем. Этот простой пример иллюстрирует то очень важное обстоятельство, связанное с математическим моделированием физических процессов или работы физических приборов и установок, что понимание процессов или принципов работы моделируемых устройств хотя бы на качественном уровне позволяет, во-первых, строить более простые математические модели, и, во-вторых, в

дифференциальных уравнений, общее решение последних может быть представлено в виде

91

координатами, а описываемые ими колебания называются нормальными колебаниями системы.

Поскольку нормальные колебания удовлетворяют уравнениям

то, следовательно,% в нормальных координатах движение системы распадается на независимых друг от друга движений по каждой из этих координат. Другими словами, нормальные движения (колебания) системы автономны.

В частности, функция Лагранжа в нормальных координатах имеет

Наличие у системы главных обобщенных координат является дополнительной иллюстрацией к тому, насколько важен первый шаг в построении математической модели, а именно: выбор обобщенных координат. В данном случае главные обобщенные координаты существенно упрощает математическую модель% системы, так как они позволяют свести многомерную модель с степенями свободы к элементарным автономным одномерным моделям.

92

При наличии у характеристического уравнения кратных% корней число независимых координат у системы будет меньше . Это видно из следующих простых рассуждений. Пусть один из корней характеристического уравнения имеет кратность, равную двум. Тогда число слагаемых в суммах (2.1.16) уменьшится на единицу, а следовательно, уменьшитсяH на единицу и число независимых обобщенных координат , определяемых суммами (2.1.16).

2.1.2. Движение в поле внешних сил

Перейдем к рассмотрению движения системы в поле внешних сил и начнем с одномерного движения, функция Лагранжа которого имеет

в которой первое слагаемое описывает собственное движение системы и является найденным в предыдущем параграфе общим решением однородного уравнения, а второе – это частное решение неоднородного уравнения, описывающее движение системы в поле внешней силы и обычно называемое вынужденным.

93

Сначала рассмотрим частный случай вынужденного движения,

Подставив эту функцию в уравнение движения (2.1.22), найдем амплитуду вынужденных колебаний

# ω γ , 2.1.26

так что общим решением этого уравнения для случая, когда ω2 T 0, является функция

Например, амплитуда поперечных колебаний зарядов, движущихся вдоль канала транспортировки в фокусирующих полях, ограничена поперечными размерами канала. Данное ограничение приводит к тому, что у реальных систем резонансная частота внешнего воздействия, равная собственной частоте колебаний системы, заменяется неким диапазоном частот, который называется резонансной областью. При попадании в эту область частоты внешнего воздействия амплитуда вынужденных колебаний превышает

94

допустимое значение, что фактически приводит к разрушению

считается опасным, если за время работы системы он вызывает существенное увеличение амплитуды колебаний системы. В этом случае говорят, что система потеряла устойчивость, стала неустойчивой. Если же за время работы системы в режиме резонанса амплитуда ее колебаний возрастает незначительно, то о таком резонансе говорят: он не опасен, и его просто не учитывают.

Например, в ускорителях заряженных частиц, где под системой понимается сама заряженная частица, время работы системы это, очевидно, время ускорения, которое, естественно, ограничено. В этом случае резонанс считается опасным, если за время ускорения амплитуда колебаний заряженной частицы существенно возрастает, и с таким резонансом необходимо бороться.

Чтобы выяснить, является ли резонанс опасным, необходимо изучить переходный процесс, т.е. процесс становления колебаний, который наступает сразу, после начала работы системы. Поэтому, например, найденное выше решение уравнения движения (2.1.27) не позволяет определить, насколько опасен возможный резонанс (когда частота внешнего воздействия на систему близка к собственной частоте колебаний системы), поскольку это решение описывает

95

установившиеся колебания и не отвечает на вопрос о том, сколько времени займет переходный этап.

В каждом конкретном случае анализ переходного процесса требует специального подхода. Вернемся к решению уравнения движения (2.1.27). Чтобы «зацепить» в нем переходный процесс,

перепишем это решение в следующем виде:

H acos ω α # ω γ cos S β cos ω β .

из которого видно, как быстро в условии резонанса нарастает амплитуда вынужденных колебаний.

Следовательно, при работе системы в условии резонанса в начальные моменты времени амплитуда вынужденных колебаний растет линейно со временем.

Функция (2.1.29) позволяет оценить степень опасности резонанса. Очевидно, его следует считать опасным, если уже в начальные моменты времени движения системы в условии резонанса амплитуда

еевынужденных колебаний успевает существенно возрасти. Представим общее решение уравнения движения вблизи резонанса

Тогда общее решение уравнения движения можно переписать в

Движение системы в условии резонанса, описываемое функцией (2.1.33), можно рассматривать как колебания системы, совершаемое с

Такое движение получило название биений, они изображены на рис. 2.1.2.

x

t

Рис. 2.1.2. Колебания системы вблизи резонанса,ž пунктиром выделена огибающая колебаний

97

+F

В частности, если внешняя сила действует лишь в течение

+F

Это выражение означает, что кратковременная сила сообщает

не успев за это время заметно ее сместить.

Вслучае системы со многими степенями свободы удобно перейти

кнормальным обобщенным координатам, в которых функция Лагранжа имеет вид

решенных выше и описывающих движение системы со многими степенями свободы в поле внешних сил.

2.1.3. Движение при наличии диссипативных cил

Примерами диссипативных сил могут служить силы трения или активные нагрузки в электрических цепях. Эти силы замедляют движение системы, вызывая уменьшение ее энергии.

100