Баев Теория колебаниы 2015

Если на систему наложены неинтегрируемые дифференциальные связи, то она называется неголономной.

Разные виды связей можно продемонстрировать на примере движущегося шара. Шар, свободно перемещающийся в пространстве, имеет шесть степеней свободы: три координаты центра шара (x,y,z) и три угла его поворота (α,β,γ). Если он двигается по горизонтальной

плоскости, то высота центра шара остается постоянной, что уменьшает число степеней свободы до пяти. Положение шара в этом случае описывается двумя координатами (x,y) точки касания шара плоскости и тремя углами (α,β,γ), фиксирующими положения шара относительно системы неподвижных осей. Появляющееся при этом условие z=const, где z – вертикальная координата центра шара, это пример конечной или геометрической связи.

Если шар двигается по плоскости с проскальзыванием, то он действительно имеет пять степеней свободы (x,y,α,β,γ). Если же шар катиться без проскальзывания, когда мгновенная скорость в точке касания плоскости равна нулю, то, как несложно показать, число степеней свободы шара уменьшается до двух. Это могут быть две координаты (x,y) точки касания шара плоскости. Само же условие, накладываемое на скорость точки касания, очевидно, представляет дифференциальную или кинематическую связь, причем эта связь не может быть интегрируемой, т.е. эта связь неголономная. Действительно, если допустить интегрируемость кинематической связи, то углы поворота (α,β,γ) должны быть функциями независимых координат (x,y), а это означает независимость начального и конечного положения шара от формы и длины его траектории, что является абсурдом.

1.3. Функция Лагранжа

Найдем выражение для кинетической энергии в виде функции от

n – число степеней свободы системы; d – число связей, наложенных на систему.

Объединив формулы для кинетической энергии

11

использовать для косвенной проверки математической модели, а именно: если указанный определитель обращается в нуль, то математическая модель неверна.

Каждой обобщенной координате поставим в соответствие обобщенную силу Qi, описывающую силовое поле, в котором движется система. Чтобы определить эту силу, введем понятие виртуальных перемещений, под которыми понимаются возможные перемещения системы из положения, которое она занимает в данный момент времени, в другие положения, разрешенные в этот момент времени связями, наложенными на систему.

Другими словами, в расширенном конфигурационном пространстве виртуальные перемещения – это возможные перемещения системы в плоскости t=const.

Запишем выражение для работы сил, действующих на систему, которую они выполняют на ее виртуальных перемещениях.

где

13

Объединив выражения (1.15) и (1.18), придем к следующим

14

1.4.Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона)

конечного положения системы соответственно. Соединим эти точки всевозможными линиями, по которым система могла бы двигаться, не нарушая наложенных на нее связей, и назовем их путями системы. Путь, по которому система реально движется, назовем прямым, а остальные гипотетические пути окольными.

Сказанное иллюстрируется рис. 1.2 для расширенного трехмерного конфигурационного пространства. На нем прямой путь проведен сплошной линией, а окольные – пунктирными.

Если рассматривать множество всех путей, соединяющих начальное и конечное положение системы, как семейство линий с параметром α, то действие будет функцией этого параметра. Пусть αr

– параметр прямого пути.

Принцип наименьшего действия гласит: действие на прямом пути имеет наименьшее значение по сравнению с окольными путями.

Сформулированный принцип можно записать в виде следующего

°

t

Рис. 1.2. Прямой и окольные пути системы в расширенном конфигурационном пространстве.

Этот фундаментальный принцип физики впервые был опубликован в работах ирландского ученого У.Р. Гамильтона в период 1834 – 1835 годов. Поэтому в литературе его называют также принципом

1.5.Уравнения Лагранжа

Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство путей

здесь первая сумма, вычисляемая на границах траекторий, обращается в нуль, поскольку, согласно принятому условию, начальные и конечные положения системы не варьируются.

В соответствии с принципом Гамильтона, на прямом пути вариация действия должна быть равна нулю (1.23), и, следовательно, должен

которые называются уравнениями Лагранжа.

17

Если воспользоваться выражениями (1.18) для потенциальных сил,

Введя в эти уравнения общие выражения (1.20) для обобщенных

получим более общий вариант этих уравнений, включающий в себя и те случаи, когда на систему, помимо потенциальных, действуют и не потенциальные силы; в этих случаях уравнения Лагранжа становятся неоднородными, в их правой части появляются не потенциальные силы.

Впервые эти уравнения были получены французским ученым Ж. Лагранжем и опубликованы в 1788 году в его трактате «Аналитическая механика». Однако основателем рассматриваемой здесь механики, которая после выхода в свет труда Лагранжа стала

до выхода трудов Лагранжа Лейбниц, в отличие от Ньютона, предложил скалярный способ описания движения систем, исходя из двух величин, названных впоследствии кинетической и потенциальной энергиями.

В вариационном исчислении доказывается, что дифференциальные уравнения (1.26) представляют не только необходимые, но и достаточные условия для выполнения равенства (1.23). Поэтому формально принцип Гамильтона, который, пользуясь математической терминологией, можно было бы назвать вариационным, и уравнения Лагранжа эквивалентны: постулируя принцип Гамильтона, получаем

18

уравнения Лагранжа, и наоборот. Тем не менее на практике, как правило, исходят из принципа Гамильтона, который остается базовым

ив современной физике.

Вконтексте темы первой главы можно сказать, что уравнения Лагранжа – это и есть математическая модель системы, а схема вывода данных уравнений представляет методику построения математических моделей.

Проиллюстрируем сказанное решением следующей задачи:

построить математическую модель системы, изображенной на рис. 1.3 и представляющей двойной плоский маятник с точечными массами m1 и m2, движущийся в поле силы тяжести; массой стержней маятника можно пренебречь.

Решение задачи. Если бы система была свободной, то число ее степеней свободы равнялось бы четырем: N=4. Но так как на систему наложены две конечные связи, то число степеней свободы системы уменьшается до двух.

x

Рис. 1.3. Двойной маятник

Система является голономной, и, следовательно, ее движение может быть описано уравнениями Лагранжа. Перейдем к их выводу, для чего сначала необходимо выбрать обобщенные координаты. Сделать это следует так, чтобы уравнения Лагранжа (математическая модель) были бы максимально простыми.

19