Баев Теория колебаниы 2015

Спектр колебания s(t) определяется выражением

& .

2.4.51

Ü ω

; a Q

& ; D Q

F

F

+ a

+ a

+F

+F

Представив функции f(t) и D(t) в виде интеграла Фурье

2.4.52

2π

;

ß ω Q

&ω;

1

F

>

+F

à ω Q

&ω,

2.4.53

D 2π

;

1

F

>

+F

преобразований получим следующее выражение для спектра

произведения двух функций f(t) и D(t):

1

F

2.4.54

Ü ω 2π

; à H ß ω H &H.

произведения двух

функций времени f(t)

и

D .

(t)

равен (с

коэффициентом 1/2π) свертке их спектров

и

Из выражений (2.4.51) и (2.4.54) при

следует выражение

ß ω

à ω

1

ω 0

2.4.55

F

F

+F

+F

;

D & 2π ; à H ß H &H

или, если заменить H на ω,

F

1

F

W

ω &H,

2.4.56

+F

+F

;

D & 2π

; à ω ß

201

ß

ω ß ω

где

W

спектральная

функция,

комплексно-

сопряженная функции

.

Аналогичным

путем можно получить выражения, связанные с

ß ω

перемножением спектральных функций. Пусть

тогда

ß ω à ω Ü ω ,

2.4.57

a ;

I D I &I

;

I D I &I

F

F

+F

2e

;

+F

&•.

2.4.58

ß ω à ω Q

1

F

>

входе четырехполюсника, а

n

это спектральная

плотность

мощности случайных

колебаний, то

:

ω

2.4.59

: вых ω : ω ¸ ω .

O

‡ 2π

;

:

ω Q

&ω 2e

;

:

ω ¸

ω Q

&ω

вых

1

F

вых

>E

1

F

>q

+F

+F

(2.4.60)

и дисперсию

C

0

2π

;

: ω ¸

ω &•.

2.4.61

σ

вых

1

F

вых

+F

202

спектральной плотностью, то спектральная плотность выходного

сигнала равна K(jω , так что

;

á lω e

&•,

2.4.62

b 2π

1

F

r>s

+F

и, согласно формулам Винера Хинчина,

&ω.

2.4.63

O

τ 2π

;

¸

ω Q

t

1

F

>E

+F

Кроме того,

τ 2π

;

: ω Q

&ω,

2.4.64

O

1

F

>E

O τ

;

O I O τ I &I.

2.4.65

F

вых

t

+F

m H

1 exp ,

H

-,

2.4.66

√2πâ

2σ

вых

вых

1

H

-.

2.4.67

вых

m H √2πσ вых exp , 2σ

Проиллюстрируем сказанное выше о случайных процессах

несколькими примерами.

Постоянный сигнал случайной величины. Пусть постоянный

3

3

сигнал может с равной вероятностью принимать значения в интервале

от

?@A до

?@A.

Очевидно, это стационарный случайный процесс с одномерной

плотностью вероятности

m H 2

3

,

2.4.68

так что

?@A

1

1

;

H&H 0;

2.4.69

ÚHÛ 23

u

?@A

+u

1

1

ÚH Û

;

H &H

3 ;

2.4.70

23

3

u

σ

ÚH Û ÚHÛ

3

3 .

2.4.71

1

?@A

Прежде чем прейти к вычислению корреляционной функции,

заметим следующее. В данном случае для любой реализации

H

независимо от временного сдвига

‡ выполняется равенство

так что

H

H ,

2.4.72

H · H

H ,

2.4.73

и поэтому

O

τ O

0

σ

3 3 .

2.4.74

1

?@A

Рассматриваемый процесс не эргодичен хотя бы уже потому,

что

Huuu H

1 ÚHÛ;

2.4.75

и

uuuuuuu

1 ÚH

Û.

2.4.76

H

H

Колебания со случайной амплитудой. Пусть у гармонического

колебания

H 3cos ω θ 3cosψ ,

2.4.77

3

3

его амплитуда

– случайная величина, равновероятная в интервале

от 0 до ?@A.

может

вероятности

H

Найдем одномерную

плотность

для

фиксированного момента

времени

. Мгновенное

значение

m H,

3

cosψ

случайной величины

принимать cравной вероятностью

интервале от 0 до

, поэтому

любые значения в

H

?@A

205

1

exp ,

$ ¬

-.

2.4.83

m $ √2πσ

2σ

Оценим постоянную составляющую тока

и среднюю мощность

флуктуационной составляющей

.

¬

. Каждый импульс

Пусть среднее за 1 с число импульсов равно

σ

e,

постоянная

переносит заряд одного электрона

поэтому

составляющая тока

%

¬0

%1Q.

2.4.84

Обозначим

символом

спектральную

плотность

одиночного

импульса тока

$c ,

обусловленного переносом заряда e одним

электроном,

ã ω

E(ω)

e

1/ c

ω

1/ c

Рис. 2.4.1. Спектральная плотность импульса тока $c

Энергия одного импульса

(c

определяется

его спектральной

плотностью

1

c

F

ω &ω,

2.4.86

(

2π ; M

спектральную плотность энергии

2.4.88

%1

: % M ω

τc,

j / , то в диапазоне 0 ^ |ω|

^ 1/τx

2/

и поскольку

прямоугольной функцией высотой eшириной

2.4.89

:

ω

å Qj

0

.

Напряжение шума u(t) на нагрузке

™н ω распределено, как и ток

i(t), по нормальному закону

1

¢ y

-.

2.4.90

m ¢ √2πσy exp , 2σ

™н ω

u(t)

i(t)

(2.4.59). В данном случае роль передаточной функции играет

сопротивление ™н ω , так что

: ω R

2

ω .

2.4.91

:

ω

y

н

209

включенные емкость С0 и резистор R:

·

,

2.4.92

н

™ ω

>z

>z

тогда

R

ω 1 ωž0

.

2.4.93

н

2

2

,

‡

времени

цепи

много

больше

Обычно

постоянная

, ž

соответственно,

полоса пропускания

длительности импульса c , и,

, ž

цепи

примыкающая

к нулевой

частоте,

во

много

раз уже

шум с энергетическим спектром

(2.4.89).

Введя выражения

для

и

в

выражение

(2.4.91),

н

получим

следующее

выражение

для

™

энергетического спектра на

нагрузке:

: ω

ω

Q¬

y

.

2.4.94

:

ω 1

ωž

По

формулам

из теоремы

Винера

Хинчина

найдем

корреляционную функцию шума

Q¬

F

Q

>E

y

+F

O τ

2

; 1

ωž

&ω.

2.4.95