Баев Теория колебаниы 2015

Выражение (2.1.117) представляет характеристическое уравнение системы с обратной: связью, . Если в него ввести выражение (2.1.116) для функции то получится рациональная функция с одинаковыми степенями полиномов в числителе и знаменателе:

Об устойчивости системы с обратной связью будем судить по

В качестве примера на критерий Найквиста решим следующую задачу: построить кривую Найквиста и найти условие устойчивости системы регулирования температуры печи, изображенной на рис. 2.1.14; считать, что печь, длиной l, одномерна и распространение в ней тепла от нагревателя описывается уравнением теплопроводности.

Решение задачи. Передаточная функция системы с разомкнутой обратной связью имеет, очевидно, следующий вид – это произведение передаточной функции усилителя: с коэффициентом¸, усиления К, равной: этому коэффициенту, и передаточной функции печи

что позволяет перейти от уравнения в частных производных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

123

Эта кривая изображена на рис. 2.1.15 с указанием области с минимальным порядком неустойчивости.

Очевидно, что чем выше коэффициент К усиления усилителя, тем выше чувствительность узла системы, контролирующего температуру в печи и, следовательно, тем точнее можно поддерживать эту температуру. И здесь естественно возникает вопрос о том, есть ли ограничение на величину этого параметра системы.

jv

(λ) ^?

1 u chπ

Рис. 2.1.15. Д-разбиение системы регулирования работы печи

Ответ на этот вопрос дает найденное Д-разбиение системы: если

Вообще-то получился ожидаемый результат, коэффициент усиления усилителя ограничен возможностью потери устойчивости системы, так как понятно, что чем выше чувствительность системы к изменению температуры в печи, тем выше вероятность потери устойчивости работы системы. Тем не менее важность найденного решения состоит в том, что оно дает строгое количественное

124

Глава 2.2. Линейные системы с переменными параметрами

2.2.1. Частные случаи

Перейдем к рассмотрению линейных систем с переменными параметрами. Математической моделью таких систем являются

где

DB γB cosγ .

В отличие от математических моделей, рассмотренных в предыдущей главе, анализ математической модели в виде уравнения

126

(2.2.3) представляет большие трудности в силу того, что решений подобных уравнений, хотя бы в виде табулированных функций, неизвестны.

Поэтому, практически для каждого конкретного случая с дифференциальными уравнениями вида (2.2.3), приходится искать подходящий именно для данного случая метод анализа математической модели или, образно говоря, каждая конкретная математическая модель требует «индивидуального» подхода.

Таким наиболее очевидным и простым подходом является метод аналогий, довольно широко распространенный в теории колебаний. Суть его сводится к тому, чтобы в той или иной степени и с той или иной степенью точности распространять методы, разработанные для математических моделей линейных систем с постоянными параметрами на математические модели линейных систем с переменными параметрами. В изложенных ниже подходах к анализу математических моделей не раз прибегают к подобному приему.

уравнением (2.2.3), представляют в каждый момент времени

гармонические колебания с мгновенной частотой ω . И надо отметить, что нередко такой подход, иногдаименуемый принципом

«замораживания» коэффициентов, дает удовлетворительные с практической точки зрения результаты, которые не только качественно, но и с вполне удовлетворительной точностью количественно верно описывают движение системы.

Однако в общем случае судить о свойствах систем с переменными параметрами на основе аналогий со свойствами систем с постоянными параметрами нельзя. Во всяком случае, такой подход требует исключительной аккуратности и внимания, иначе можно получить качественно неверный результат. Приведем тому два конкретных

Это один из тех редких случаев, когда уравнение решается

и подставить эту функцию в уравнение (2.2.4), то он сведется к алгебраическому уравнению относительно параметра λ, которое можно рассматривать как характеристическое уравнение, аналогичное подобным уравнениям у линейных систем с постоянными параметрами:

Следовательно, общее решение уравнения (2.2.5) имеет вид

H √ ,ž cos √23 ln ž sin √23 ln -

и оно изображено на рис. 2.2.1.

x

t

Рис. 2.2.1.К решению уравнения (2.2.5)

128

Из рисунка видно, что хотяH сила,0 действующая на систему, направлена к точке ее равновесия и к тому же она со временем быстро ослабевает, движение системы, тем не менее, оказывается неустойчивым. Система совершает колебания около точки

то эта частота с течением времени уменьшается, стремясь к нулю. Разобранный пример наглядно показывает, насколько далеко

может увести от истины рассуждение «по аналогии с системами,

Это уравнение также решается аналитически. Если его решение искать в виде (2.2.6), то после подстановки этой функции в уравнение

Из этого выражения следует, что, несмотря на действие диссипативной силы, колебательное движение системы происходит с постоянной амплитудой, а не затухает, как у систем с постоянными параметрами. Мгновенная частота колебаний (2.2.13), как и в предыдущем примере, со временем стремиться к нулю. Таким образом, и этот случай никак не вписывается в принцип «замораживания» коэффициентов.

129