Баев Теория колебаниы 2015

средний квадрат (второй момент)

H

- U, ?U;

2.4.5

H

;

Ú Û

F

+F

средний квадрат флуктуации (дисперсия)

2.4.6

σA H ÚH Û

ÚHÛ .

фиксированные моменты времени.

и

,

m H

, H ; ,

H

Более

полной ее характеристикой служит двумерная плотность

H

вероятности

, позволяющая учитывать связь значений

принимаемых случайной величиной в произвольно

выбранные моменты времени. Так, например, величина

2.4.7

&† m H

, H ; , &H &H

определяет

вероятность

того,

что случайная функция

H2

&H2,.

интервале

принимающая в момент времени

значения, лежащие в

H

1

&H

1

в момент времени

2

будет иметь значения из интервала

m H

, H ; ,

,

определяемая

этим

интегралом через двумерную

плотность

O

,

называется ее корреляционной функцией

вероятности

j

1

2

вторым смешанным моментом.

или

При

корреляционная функция вырождается в средний

квадрат

случайной величины:

Oj 1, 1 †H2 1 ‡.

2.4.9

Если

одномерная

плотность

вероятности

не зависит

явно

от

то

и

τ

времен

а двумерная плотность вероятности зависит не от самих

m H , H ; τ ,

1 ,

моментов времени

, а от интервала между ними

2

m H ,

соответствующая

случайная

величина

называется

стационарной.

Среднее значение стационарной случайной величины, а также ее

средний квадрат и дисперсия не зависят от времени, поэтому они

†H

‡

σ

,

записываются без указания фиксированных моментов времени,

2

2

τ

случайной

,

j . Корреляционная функция стационарной

†H‡

величины зависит от временного интервала

2.4.10

O

τ ˆ

H H

m H , H , τ &H ?H .

.∞

j

1

2

1

2

1

2

Y∞

В соответствии с этим определением,

величины

,

,

эквивалентны следующим величинам, получаемым

путем усреднения

ÚHÛ ÚH

Û

σ

по времени,

;

∞

H

&

Y

H

(

M

(2.4.11)

=lim

1

2

колебаний [15]

uuuuuuu

1

+F

: ω &ω.

2.4.18

H

2π

;

F

В общем случае, с ненулевым средним значением случайной

функции H , энергетический спектр имеет вид

uuuuuu

~

ω ,

2.4.19

:

ω

: ω H · δ ω :

δ ω

194

флуктуационной

где ~

– часть спектра,

соответствующая

составляющей, а

дельта-функция.

постоянной составляющей,

а

второе

слагаемое –

мощность

n

1

~

флуктуационной составляющей, т.е. дисперсию

2.4.20

σ

2π

M

:

ω &ω,

∞

2

Y∞

так что при отсутствии постоянной составляющей, очевидно,

uuuuuuu

.

2.4.21

H

σ

Приведем без доказательства теорему Винера – Хинчина,

устанавливающую связь между корреляционной функцией

и

энергетическим спектром

: ω ,

через

преобразования Фурье:

которая осуществляется O τ

: ω

;

O τ Q

&τ;

2.4.22

F

+ >E

+F

&ω.

2.4.23

O τ 2e

; : ω Q

>E

1

F

I

и

Связь между двумя стационарными колебаниями

оценивается с помощью взаимно-корреляционной

функции,

H

определяемой выражениями

ÚH I τ Û,

2.4.24

O τ

195

O τ ÚI H τ Û.

2.4.25

„

∞

M

O

jo

τ H I

lim

(

Y

H

I τ & ;

(2.4.26)

2

1

2

„

I H τ & ;

O

∞

Y

oj

τ I H

lim

(

M

(2.4.27)

2

1

2

Очевидно, взаимно-корреляционная функция не должна

измениться, если сдвиг на

одной из функций

или

заменить

на

сдвиг в обратном

направлении другой функции.

Поэтому

‡

H

I

справедливы равенства

uuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuu

2.4.28

O

‡ H I ‡

H ‡ I ,

uuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuu

2.4.29

O

O

‡ I H ‡

I ‡ H ,

τ

следующие связи между функциями Ojo τ и

из которых получаются

oj

:

Ojo τ Ooj τ ;

2.4.30

Ooj τ Ojo τ .

2.4.31

Корреляция между значениями случайных функций

и

в

два различных момента времени, разделенных

интервалом

задается

H

I

корреляционной матрицей

τ

O

τ Þ,

τ,

2.4.32

O τ ÝO

O

τ

O

τ

O

τ

O

τ

где

и

корреляционные

функции случайных

колебаний, описываемых функциями

и

соответственно.

Взаимно-корреляционная

матричная

функция

позволяет

H

I

выполнять операции со случайными колебаниями. Например, пусть

тогда

a

H

I ,

2.4.33

uuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

τ

O

H

I H τ

I τ

a a τ

uuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuu

H H τ H I τ I H τ I I τ

τ

2.4.34

O

O

τ O

τ

O

τ .

При

τ 0

Ojj

0

σ+;

2.4.35

Ooo

0

σ,;

2.4.36

и, следовательно,

Ojo 0

Ooj 0 ,

2.4.37

σ-

σ. σ,

2Ojo 0 .

2.4.38

Если случайные колебания независимы, то

2.4.39

σ

σ

+

σ

,

,

197

Для разности

2.4.40

a H I ,

слагаемым 2 jo

должен

и

стоять знак «минус». При

независимости колебаний

дисперсия их разности, как и

O

0

в случае суммирования, будет определяться выражением (2.4.39).

H

I

функцией

с колебаниями

вида

, т.е. с теми же

колебаниями, но усиленными в

раз и задержанными на время .

H

тому, как

¸

¸H (

при построении

Аналогично

это делалось

(

O

τ

¸O

τ (

·.

2.4.41

O τ ¶¸O

τ (

¸

O

τ

(2.4.42)

Наконец, если положить

то из выражения (2.4.42) получим

выражение для дисперсии

суммы

τ 0,

2.4.43

σ σ+ 1 B

2B‰+ ` ,

198

где

`

Oj

+(

+

‰

σ

,

2.4.44

величину

называют нормированной корреляционной функцией

колебаний ( .

к разности

в выражении

При

переходе от суммы

H

должен быть заменен на

(2.4.43) знак плюс перед слагаемым

2.4.33

2.4.40

знак минус.

2¸

(

Согласно формуле Винера Хинчина

2.4.22

F

+ >E

+F

τ Q &τ

: ω ; O

: ω : ω : ω : ω ,

2.4.45

где функции

F

+ >E

+F

: ω

; O

τ Q

&τ;

2.4.46

∞

τ Q

&τ

2.4.47

oj

oj

Y,ωτ

Y∞

: ω M C

колебаний

и

.

В

отличие

от энергетических

спектров

и

H

I

представляющих

действительные

функции, не

принимающие

:

ω

:

ω ,

(2.4.31), придем к равенству

ω ,

2.4.48

: ω :W

199

из которого следует, что

2.4.49

: ω

: ω 2Re g: ω h,

и поэтому выражение (2.4.45) можно переписать так

2.4.50

:

ω : • : ω

2Re g: ω h.

то

и

H

I

: ω 0

статистически независимы,

Если случайные колебания

и

энергетический спектр суммы (2.4.33) равен сумме

энергетических спектров

и

, а мощность колебаний

a

равна сумме мощностей

колебаний

и

.

: ω

: ω

энергетического

Если действительная

часть

взаимного

спектра

H

I

и,

следовательно,

положительна, то

корреляция

между

колебаниями приводит к возрастанию средней

:

ω ¤ :

ω :

ω

мощности их суммы

, и наоборот, при отрицательной

действительной

части

взаимного

энергетического

спектра

σ

¤ σ σ

мощность суммы колебаний меньше суммы их мощностей.

:

ω

Ограничимся

случаем

со

стационарными

случайными

колебаниями

и

и

ω

через

рассмотрим

задачу

прохождения

четырехполюсник с передаточной функцией K(j

случайного сигнала

s(t)

с энергетическим спектром

корреляционной функцией

энергетический

спектр

Требуется

найти

: ω

вых

и

корреляционную функцию

вых

случайного

колебания sвых(t) на

O τ .

τ

:

ω

выходе четырехполюсника. O

Прежде чем

приступить

к

решению

поставленной

задачи,