Баев Теория колебаниы 2015

и, подставив ее в уравнения Лагранжа (1.27), получим дифференциальные уравнения

описывающие движение системы и представляющие ее математическую модель. Задача решена.

Здесь уместно обратить внимание на то, что решенная в качестве примера задача иллюстрирует не только сам метод построения математических моделей, но и его высокую эффективность. Он прост, и эта простота его алгоритма, сохраняющаяся независимо от сложности систем, объясняется, прежде всего, тем, что аппарат аналитической механики построен на скалярных величинах.

И еще необходимо отметить следующую столь же важную, сколь и необыкновенно красивую особенность аналитической механики. В построенную выше математическую модель двойного маятника не вошли силы связей, наложенных на систему. Более того, не было никакой необходимости в выявлении их природы и математическом описании. Объясняется это тем, что в аналитической механике силы связей трансформируются в структуру конфигурационного пространства и, как принято сегодня говорить, связи «искривляют» это пространство. Так что, если траектория свободной системы в конфигурационном пространстве при отсутствии действующих на нее сил представляет прямую линию, то при наличии связей, наложенных на систему, и отсутствии сил она уже будет двигаться по искривленным траекториям, представляющим кратчайшие расстояния между точками конфигурационного пространства, искривленного наложенными на систему связями.

21

Поэтому вполне можно говорить о том, что аналитическая механика, сформировавшаяся за долго до появления идей общей теории относительности, несла в себе ее основную идею, а именно: идею трансформации сил в структуру пространства. В частности, это прекрасно понимали и ученые прошлого, о чем говорит тот факт, что еще в конце девятнадцатого века великий немецкий физик Генрих Герц в своей книге «Принципы механики» (1894 год) поставил задачу построения бессиловой механики, в которой действие сил заменяется введением соответствующих связей. Эта его идея известна как принцип Герца.

1.6.Формула изменения полной энергии системы. Классификация сил

Выясним, как со временем может изменяться полная энергия системы E, которая складывается из ее кинетической T и потенциальной U энергии:

для чего вычислим полную производную по времени от энергии Е. Сначала найдем полную производную по времени от кинетической

энергии:

&( ( ( ( L ! &

22

Сумма, стоящая в правой части равенства (1.48), представляет мощность не потенциальных сил.

Система называется консервативной, если она склерономная, ее потенциальная энергия не зависит явно от времени и отсутствуют не потенциальные силы.

У консервативной системы

&M& 0

или

E = const,

т. е. полная энергия консервативной системы сохраняется.

Равенство (1.50) обычно называют первым интегралом уравнений движения или интегралом энергии.

Не потенциальные силы называются гироскопическими, если они не совершают работу

знак которой говорит о том, что энергия системы, подверженной воздействию этих сил, уменьшается.

гироскопические силы, то полная энергия системы будет оставаться постоянной. Примером диссипативных сил являются силы трения.

Нередки случаи, когда не потенциальные силы могут быть представлены в виде суммы

,

25

которая называется функцией Релея и из которой получаются не

то физический смысл функции Релея состоит в том, что она определяет скорость убывания полной энергии системы, на которую действуют диссипативные силы (1.54).

1.7.Обобщенный потенциал

Для того чтобы расширить класс систем, охватываемых аппаратом аналитической механики, вводится понятие обобщенного6 ,потенциала, .

Обобщенным потенциалом5называется функция , через которую обобщенные силы могут быть представлены в виде следующих выражений:

При обобщенном потенциале вид функции Лагранжа и одноименных уравнений сохраняется.

Из выражений (1.60) следует, что

26

здесь и ниже точками в скобках будем обозначать остальные члены выражения, которые в рассматриваемом случае не представляют интереса.

Поскольку силы могут зависеть только от времени, координат и скоростей, то обобщенный потенциал должен быть линейной функцией скоростей

являются гироскопическими.

Другими словами, обобщение понятия потенциала осуществляется за счет присоединения к потенциальным гироскопических сил.

Системы, которые находятся в поле только потенциальных сил и сил, определяемых обобщенным потенциалом, называются

Если ввести эти выражения в выражение для силы Лоренца (1.65),

которая является обобщенным потенциалом. Действительно, например, в декартовой системе координат, где

системы с m независимыми обобщенными координатами

так чтобы совместно с D линейными формами (1.78) они представляли систему из m линейных независимых форм, т.е. чтобы определитель, составленный из коэффициентов этих форм, был отличен от нуля. В

30