Баев Теория колебаниы 2015

Следуя известным правилам решения подобных

дифференциальных уравнений, полагаем, что искомое решение имеет вид

Введя эту функцию в уравнение (2.1.52), получим

(2.1.57), в которой

101

и уравнения движения, соответствующие функции Лагранжа (2.1.11), принимают вид

то дифференциальные уравнения движения (2.1.64) сводятся3 к линейным алгебраическим уравнениям относительно амплитуд :

Выражение (2.1.67) является характеристическим уравнением системы относительно величины , корни которого определяют

102

собственные частоты колебаний системы и постоянные λ изменения амплитуды колебаний.

Перейдем к вынужденному движению системы при наличии диссипативных сил, ограничившись, для наглядности, одномерным движением и гармонической вынуждающей силой, которую, ради

а аргумент является фазочастотнойγ характеристикой системы, связывающей амплитудой и частотой внешнего на нее воздействия с фазой вынужденных колебаний

103

I/I0

Рис. 2.1.4. Амплитудно-частотная характеристика системы

2.1.4. Критерии устойчивости систем

Критерий Рауса – Гурвица. Как было установлено выше, чтобы получить нетривиальное решение уравнений движения, должно выполняться условие (2.1.67). Это условие является алгебраическим уравнением относительно величины из представления решений уравнения движения в виде экспонент (2.1.65) и, как уже говорилось выше, называется характеристическим уравнением системы. Его корни определяют собственные частоты колебаний системы и показатели изменения амплитуд этих колебаний.

Система считается устойчивой, если в процессе своего движения она все время остается в ограниченной области, содержащей ее начальное положение.

Очевидно, что система будет устойчивой, если у нее нет корней в правой полуплоскости комплексной плоскости, которой принадлежат корни характеристического уравнения и которую поэтому называют плоскостью корней, изображенной на рис. 2.1.5. Другими словами, система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны или равны нулю.

Ниже приводятся критерии, позволяющие ответить на вопрос об устойчивости движения системы, не решая ее характеристического уравнения, и первым сформулируем критерий Рауса Гурвица.

106

lω

Область Область устойчивости неустойчивости

Рис. 2.1.5. Комплексная плоскость корней α lω

Как следует из определения характеристического уравнения, оно является алгебраическим уравнением, порядок которого однозначно

Ограничимся наиболее часто встречающимся на практике случаем, когда коэффициентами полинома (2.1.82) служат действительные числа. Кроме того, не умаляя общности сформулированного ниже критерия, можно считать первый коэффициент полинома положительным числом.

Матрицей Гурвица полинома (2.1.82) называется матрица вида

Главная диагональ матрицы Гурвица составлена из коэффициентов характеристического уравнения, располагающихся. в порядке возрастания их индексов, начиная с и до Строки состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, а все недостающие коэффициенты заменены нулями.

107

Главными диагональными минорами матрицы Гурвица назовем определители вида

Критерий Рауса – Гурвица. Система с вещественными коэффициентами в характеристическом уравнении и положительным старшим коэффициентом устойчива тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры матрицы Гурвица положительны.

Утверждение критерия Рауса – Гурвица приведем без доказательства, которое, как и более подробную информацию о критерии, можно найти в книге [11].

В качестве примера определим условие устойчивости системы, характеристическое уравнение которой имеет вид

108

Из требования, чтобы главные диагональные миноры матрица Гурвица

, 1, 0

@1, , 0A 2.1.89 0, , 1

были положительными, легко получаем условие устойчивого движения системы:

Важное достоинство критерия Рауса – Гурвица состоит в том, что он связывает параметры системы, через которые выражаются коэффициенты характеристического уравнения, условиями устойчивости, записанными в аналитическом виде, как в приведенном выше простом примере (2.1.90). Это самый сильный результат, который может быть получен при анализе математических моделей, поскольку из аналитических выражений отчетливо видно, как изменение тех или иных параметров системы в тех или иных пределах влияет на устойчивость работы системы.

Критерий Михайлова. Этот критерий устойчивости непосредственно вытекает из известной формулы теории функций комплексного переменного:

замкнутым контуром (С), за исключением тех точек, в которых она

ограниченной контуром (С), причем каждый нуль и полюс считаются столько раз, какова его кратность.

109

(б).

110