Баев Теория колебаниы 2015

УДК 621.384.6 (075) БКК 32.85я7 Б15

Баев В.К. Теория колебаний: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2015. 348 с.

Изложены методы математического моделирования работы электрофизических установок и их узлов, используемых инженерами при их разработках и проектировании. Материал пособия разбит на три части. В первой части рассматриваются методы построения математических моделей систем, а во второй методы их анализа. В третьей части приводятся примеры решения задач с помощью методов теории колебаний.

Пособие предназначено для студентов, специализирующихся по таким направлениям электрофизики как укорительная техника, физика пучков заряженных частиц, радиофизика, СВЧ-электроника.

Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Э.Я. Школьников

ISBN 978-5-7262-2020-8

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2015

Редактор Е. Г. Станкевич

Подписано в печать 20.11.2014. Формат 60х84 1/16

Печ. л. 21,75. Уч.-изд. л. 21,75. Тираж 100 экз.

Изд. № 1/20. Заказ № 11.

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское шоссе, 31.

ООО «Баркас». 115230, Москва, Каширское ш., 4.

СОДЕРЖАНИЕ

2.2.3.Общие соотношения для решений линейного дифференциального уравнения с переменным

2.2.6.Матричный метод определения условий устойчивости

2.2.7.Другие способы выявления устойчивых решений уравнения

2.4.4.Воздействие случайных колебаний на линейные цепи

2.5.3.Хаотические колебания, как следствие последовательности

3.5.Продольная динамика нерелятивистского сгустка заряженных

3.11.Динамика заряженных частиц в магнитной адиабатической

4

Требуются очень глубокие знания, чтобы заметить простейшие, но подлинные отношения вещей между собой.

Георг Лихтенберг

ПРЕДИСЛОВИЕ

Содержанием настоящего пособия является курс лекций по теории колебаний, читаемый автором студентам Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», специализирующимся по кафедре электрофизических установок.

Цель пособия, по существу, состоит в том, чтобы ознакомить студентов с математическим аппаратом, лежащим в основе инженерных методов проектирования электрофизических установок. В связи со сложностью последних знание этого аппарата сегодня совершенно необходимо. На стадии проектирования современных установок, когда необходимо просматривать большое количество различных вариантов, добиваясь нужного результата, примитивный подход к математическому описанию их работы, сводящийся к непосредственному численному интегрированию дифференциальных уравнений динамических или полевых задач, оказывается малопродуктивным из-за громоздкости получающихся алгоритмов, с которыми вычислительная техника либо справляется с трудом, либо не справляется вовсе.

Поэтому в настоящее время, возможно даже как никогда раньше, первостепенное значение в инженерной практике приобретает умение строить такие математические модели систем, которые, с одной стороны, были бы адекватны (хотя бы качественно) этим системам, а с другой стороны, позволяли бы быстро и эффективно исследовать эти модели, ставить над ними численные эксперименты и выполнять проектные расчеты. Именно этому умению и учит теория колебаний, содержащая достаточно общие методы построения математических моделей систем и их исследований.

Несколько слов о самом предмете пособия. В энциклопедических словарях колебания определяются как движения или процессы,

5

обладающие той или иной степенью повторяемости, в то время как теория колебаний занимается математическим описанием этих движений или процессов.

В связи с вышесказанным, о теории колебаний можно еще сказать, что это курс инженерной математики, содержащий описание наиболее эффективного в прикладном плане математического аппарата, предназначенного для решения инженерных задач. Да и в историческом плане, если обратиться к истокам теории колебаний, то ее основы закладывались именно инженерами. Как правило, при разработке новых приборов и установок, не говоря уже о новых технических направлениях, возникает необходимость и в решении новых сложных математических задач. Не находя требуемых решений в математической литературе, инженеры их находили самостоятельно, причем нередко такая находка представляла довольно

теории колебаний подключились профессиональные математики, подобные недостатки были в основном устранены.

Для примера можно обратиться к одной из самых мощных ветвей технической физики – ускорительной технике. Написано уже немало книг, посвященных теории ускорителей заряженных частиц, со своими принципами, символикой, терминологией, в которых, в частности, излагаются эффективные методы решения очень сложных динамических и полевых задач, например, метод огибающих. И все эти методы разработаны инженерами, занимающимися ускорительной техникой.

Материал пособия разбит на три части. Первая часть посвящена методам построения математических моделей систем, основанным на аппарате аналитической механики, точнее тех его разделов, которые широко используются при проектировании электрофизических установок. Прежде всего, это уравнения Лагранжа и Гамильтона и связанные с ними такие понятия, как «фазовое пространство», «канонические преобразования», «циклические координаты», «интегралы движения» и «инварианты». Методы эти универсальны и позволяют с той или иной степенью точности строить математические модели практически любых физических систем, даже таких сложных, как пучки частиц.

6

Во второй части излагаются методы анализа математических моделей систем, а также методы анализа их устойчивости. В основном рассматриваются линейные модели, однако в конце главы даются представления о методах анализа нелинейных систем.

Особое место среди этих методов занимает понятие фазового пространства, представляющее дополнительный мощный инструмент для быстрых качественных оценок в ситуациях, требующих, казалось бы, долгих и утомительных выкладок. Вообще говоря, концепцию фазового пространства никак нельзя назвать новой, ею пользовались еще в середине 19-го века для решения задач динамики частиц Гамильтон и Лиувилль. Позднее это понятие получило мощное развитие в работах Пуанкаре, посвященных так называемому качественному анализу уравнений движения. Этот подход к анализу математических моделей систем, предложенный Пуанкаре, впоследствии был им существенно развит в трудах, посвященных проблемам небесной механики.

Тем не менее, в электрофизике и, в частности, в ускорительной технике концепция фазового пространства стала широко использоваться далеко не сразу, а после того, как возникла необходимость перехода от динамики отдельных заряженных частиц в электромагнитных полях к динамике ансамблей частиц в целом и потребовались новые, более адекватные методы описания их движения. Именно тогда начала строиться теория огибающих, представляющая один из самых красивых и эффективных методов анализа динамики пучков, в которой практически напрямую используется, если так можно выразиться, идеология аналитической механики.

Фактически в теории огибающих выводятся уравнения для обобщенных координат пучка, которыми служат его геометрические размеры и размеры его образов в фазовом пространстве. Решение таких уравнений дает сразу представление о поведении пучка в целом, для получения которого традиционными методами, когда решаются уравнения движения для отдельных зарядов, требуется от нескольких десятков до нескольких тысяч таких частных решений.

В третьей части приводятся примеры решения задач методами теории колебаний.

7

Часть 1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

1.1.Обобщенные координаты

Ниже везде под словом «система» понимается рассматриваемый объект любой природы.

Математической моделью системы называется набор уравнений, описывающих движение системы. Как уже отмечалось в предисловии, для построения модели используется математический аппарат аналитической механики.

Прежде чем переходить к изложению правил построения математических моделей систем, сформулируем исходные понятия, которые для этого потребуются, и начнем с понятия обобщенных координат.

Обобщенными координатами называется набор независимых величин, необходимых для описания движения системы.

Эти величины принято обозначать символом qi, где i=1,2,…,n; здесь n – число обобщенных координат, которое называют числом степеней свободы системы. Кроме того, из соображений удобства, будут также использоваться следующие символы для обозначения наборов обобщенных координат: , или даже просто q.

Обобщенные координаты образуют пространство обобщенных

Между возможными положениями, которые система занимает в процессе своего движения, и точками конфигурационного пространства имеет место взаимно-однозначное соответствие, так что движению системы соответствует линия, описываемая в конфигурационном пространстве изображающей ее точкой.

конфигурационное пространство и расширенное конфигурационное пространство с добавленной временной координатой.

Ввиду произвола в выборе координат одна система обобщенных координат может быть заменена другой. Это преобразование координат можно интерпретировать геометрически как отображение

конфигурационного пространство на себя.

выбора системы обобщенных координат, а с другой этот выбор представляет наиболее важный этап в построении математической

Следует подчеркнуть, что, с одной стороны, нет четких правил

модели, поскольку от выбора конфигурационного пространства зависит сложность модели, а чем проще математическая модель, тем, очевидно, проще ее исследовать.

Рис. 1.1. Конфигурационное пространство (а) и расширенное конфигурационное пространство (б)

1.2.Связи

Связями называются ограничения, накладываемые на возможные положения и скорости системы.

Система без связей называется свободной, а со связями – несвободной.

Связи бывают двух видов: конечные или геометрические и дифференциальные или кинематические.

9

Конечными или геометрическими называются связи,

ограничивающие возможные положения системы и, в общем случае, они описываются выражениями вида

дифференцируя равенство (1.1) по времени, получим выражение для

Дифференциальная связь, выражение для которой преобразуется к полному дифференциалу (иначе говоря, которая интегрируется и сводится, таким образом, к конечной связи), называется интегрируемой дифференциальной связью.

Если всякая конечная связь влечет за собой дифференциальную связь, то обратное утверждение в общем случае неверно: не всякая дифференциальная связь сводится к конечной связи.

Система со связями, не зависящими явно от времени (со стационарными связями), называется склерономной, в противном случае реономной.

Система, все связи которой могут быть сведены к конечным, называется голономной.

10