Лекции Алексеевой
.pdf
Сопротивление материалов
К.т.н., доцент Елена Геннадьевна Алексеева
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНОГО СОСТОЯНИЯ
Напряженное состояние в точке тела
y |
К |
x |
z |
В окрестности точки К нагруженного тела вырежем шестью секущими площадками бесконечно малый объем в форме элементарного параллелепипеда (кубика).
Правило предельного перехода: будем считать, что в пределе параллельные грани кубика сливаются, образуя три взаимно перпендикулярные площадки, поэтому напряжения на гранях кубика можно рассматривать как напряжения в точке К.
Грани кубика будем называть площадками. Площадка носит индекс оси, которая ей перпендикулярна.
Действующее на площадку полное напряжение может быть разложено на три составляющие – одну по нормали к площадке и две в
плоскости площадки (одно и два )
y y
yx |
|
Нормальное напряжение носит индекс |
||
|
площадки, на которой оно действует. |
|||
yz |
xy |
|
||
zy |
|
Касательное напряжение имеет два |
||
x |
|
индекса: первый означает площадку, на |
||
zx |
|
x |
которой действует, а второй - ось, |
|
которой параллельно. |
||||
z |
xz |
|||
|
|
|
||
z
y |
|
y |
|
|
|
|
yz |
yx |
|
xy |
|
|
zy |
|
|
|
zx xz
z
z
Все напряжения на рисунке имеют положительное направление: нормальные напряжения – растягивающие, касательные
напряжения на видимых площадках направлены в сторону координатных осей.
Касательные напряжения подчиняются закону парности:
x |
xy = yx, |
yz = zy, zx = xz. |
x
Совокупность напряжений во всех площадках, проходящих через данную точку нагруженного тела, носит название напряженного состояния (НС) в точке. С учетом закона парности , имеется шесть независимых
компонент напряженного состояния, которые записываются в виде таблицы (матрицы), называемой тензором напряжений
y |
y |
|
|
|
|
|
|
σx |
τyx |
τzx |
|
|
yx |
||||
|
|
|
|
||
|
yz |
xy |
T τxy |
σy |
τzy |
|
zy |
||||
|
x |
|
τyz |
|
|
|
zx |
|
τxz |
σz |
|
|
x |
|
|
||
z |
|
xz |
|
|
|
|
|
Каждый столбец тензора - это напряжения, |
|||
|
|
|
действующие в соответствующей площадке. |
||
|
|
|
|||
z
Определение напряжений на произвольной площадке
Если даны шесть компонент напряженного состояния в трех взаимно перпендикулярных площадках, то есть задан тензор напряжений T , то можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через
данную точку.
Докажем это.
Произвольной секущей плоскостью выделим из элементарного кубика четырехгранник (пирамиду)
Положение наклонной площадки задано направляющими косинусами нормали к ней l cos( , x) , m cos( , y) , n cos( , z) .
Полное напряжение p , действующее в наклонной площадке есть геометрическая сумма его проекций на координатные оси
p |
X 2 |
Y 2 |
Z 2 |
(1) |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
p |
|
x |
|
Z |
X |
||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим площадь наклонной площадки – dA |
|
||||
площадь площадки x dA l ; |
y dA m ; |
z dA n |
|
||
Запишем уравнения равновесия пирамиды. |
|||||
|
|
|
Fx = 0: |
|
|
|
X dA = x dА l + yx dA m + zx dA n. |
||||
|
Аналогично записав Fy 0, Fz 0 , получим |
||||
|
три уравнения равновесия для |
|
|||
|
|
вырезанного элемента |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
X ν σxl τyxm τzxn, |
|
||
|
|
Yν τxyl σym τzyn, |
|
(2) |
|
|
|
Zν τxzl τyzm σzn. |
|
|
|
Зная из (2) X , Y , Z - найдем p из (1).
t |
pv |
|
Полное напряжение p |
можно |
|||
разложить на составляющие |
|||||||
|
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
σ2ν τ2ν |
(3) |
|||
Нормальное |
напряжение |
можно получить, |
если |
спроецировать на |
|||
нормаль к площадке проекции полного напряжения на координатные оси
|
|
|
|
(4) |
|
|
σν X νl Yνm Zνn |
||||
Касательное напряжение |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
τν |
pν2 σ2ν |
. |
(5) |
Таким образом, шесть компонент напряженного состояния полностью определяют напряженное состояние в точке
Главные площадки и главные напряжения
Через каждую точку нагруженного тела обязательно проходят такие три взаимно перпендикулярные площадки, в которых отсутствуют касательные напряжения. Эти площадки и действующие в них нормальные напряжения называются главными площадками и главными напряжениями.
Главные напряжения нумеруют в порядке убывания с учетом знака 1 2 3
σ1 σmax - максимальное напряжение, σ2 σпр.- промежуточное напряжение, σ3 σmin минимальное напряжение.