Добавил:

Yragan2404 Yragan в дс | @yragan2404 | ну, короче, вы поняли. Пишите сразу сообщение, отвечу по возможности. Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Лекции Алексеевой

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.11.2022

Размер:

13.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Пример. Найти F	, .
кр
y
	l

В энергетическом методе начало координат – в закрепленном сечении.

1 вариант. Учтем только кинематические ГУ (условия закрепления):

1) при

z 0,

v 0;

2) при

z 0,		0,
	v

полином второй степени:

Из 1)

v(z 0

) a		a z a z				2	,
) a		a z a z					,
0			1	2
a	a		0 a		0
0		1		2

a 2a	2	z
1	2

a	0,
0

Из 2) 0 a1 2a2 0

a1 0 .

Функция, удовлетворяющая кинематическим ГУ

				v a z			2	,			v	2a					z		,					v		2a .
							2
																2
						2										2												2
	l												l																				l
Числитель:		EJ			2	dz EJ								(2a					)		2	dz EJ							4a		2	z	l			2
Числитель:		EJ	min	(v )		dz EJ					min			(2a					)			dz EJ					min		4a			z	0		4a		l
			min								min						2										min			2			0			2
	0											0
						l							l																z	3	l		4
						l							l																	3
									2	dz					(2a					z)			2	dz	4a			2						a	2 3
									2														2					2							2 3
Знаменатель:							(v )											2										2	3				3		2	l
Знаменатель:																		2										2							2
						0							0																		0
						0							0																		0

EJmin

	4 a	2	l EJ					3EJ			2	EJ
	4 a		l EJ				min				2
F	2						min			min				min
F										min				min
кр	4			2		3		l	2						2
	4		a		l				2						2
			a		l
	3		2										l
			2
												3

1,813

Точное решение при

F	2EJmin	2, 465EJmin	(разница 21,7 %.)

кр	2l 2	l2

Результат можно улучшить, учтя статическое ГУ: при

, M x EJminv 0 .

2 вариант. Учтем кинематические и статические ГУ.

Имеем три ГУ, берем полином третьей степени

	v(z) a
	0
	a1 2a2z
v	a1 2a2z

a1z a2

3a3z2 ,

2	a z	3
	a z
	3

v 2a2

6a3z .

ГУ: 1)

при

z 0,

v 0

z 0,

при

3) при

z l,

0 2a

6a l

Функция, удовлетворяющая всем ГУ

v a

3lz

6lz 3z

a3 6l

v a3

	a	3a l.
	2	3

6z .

Числитель

l																						l																								l
	EJ						2			dz EJ										a	2		( 6l									2		dz EJ									a		2		(36l		2		72lz				36z		2		) dz
	EJ		min			(v		)		dz EJ							min			a			( 6l						6z)					dz EJ					min				a				(36l				72lz				36z				) dz
			min														min			3																			min					3
0																						0																								0
																			2						3			l
																		z	2					z	3
EJ				a	2		36l				2		z 72l					z		36				z						EJ						a		2		36l				3		36l		3		12l		3			12l	3			2	EJ		.
EJ		min		a			36l						z 72l							36										EJ					min	a				36l						36l				12l					12l			a		EJ	min	.
		min		3														2						3											min		3																						3		min
																		2						3				0
																												0
Знаменатель
						l												l																			36l																	dz
											2			2				( 6lz 3z									2			2					2						2			2						3			4
						(v )						dz		a3				( 6lz 3z											)		dz			a3								z				36lz					9z
						0												0
				a32					36l2						z3							z	4			z5 l							a32 12l5 9l5 1,8l5 4,8l5a32.
																36l								9
														3		36l						4		9			5
														3								4					5					0

	12l	3	a	2		EJ			2,5EJ			2	EJ
	12l		a			EJ		min				2
F			3					min			min			min
F										2	min			min		2
кр	4,8l				5		2		l	2						2
					5		2
						3
						a
												2,5			l
												2,5

где

2,5

1,986

Отличие от точного значения

Fкр

– 1,42 %.

Для получения приемлемого результата по энергетическому методу следует удовлетворять всем ГУ (кинематическим и статическим).

Замена реальной функции прогибов некоторой другой, удовлетворяющей ГУ, равносильно наложению на систему дополнительных связей, то есть система становится более жесткой.

Поэтому энергетический метод дает завышенное значение Fкр и

заниженное значение по сравнению с точным методом.

Сопротивление материалов

К.т.н., доцент Елена Геннадьевна Алексеева

Устойчивость равновесия сжатых стержней (продолжение)

Пределы применимости формулы Эйлера. Диаграмма критических напряжений

Критическое напряжение – это напряжение, соответствующее критическому значению силы

E i

кр

min

кр

( l)

	2		E
			E
кр		2
кр		2

i
min

imin

	J
	min	– минимальный радиус инерции поперечного сечения, [м].
	A	– минимальный радиус инерции поперечного сечения, [м].
	A

– гибкость стержня.

кр

пц

гипербола Эйлера
		2		E

	кр		2

пред

Вывод формулы Эйлера основан на ДУ упругой линии стержня, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука. Значит,

формула Эйлера справедлива пока критические напряжения в стержне меньше предела пропорциональности

кр 2E пц .2

Тогда

	E	пред ,

	пц

ï ðåä – предельная гибкость, это наименьшее значение гибкости стержня,

		при которой применима формула Эйлера.
	ï ðåä	зависит только от свойств материала: Е и
	ï ðåä

Для стали 3:

пц

E 2 105 МПа,

пц

200 МПа

пред	2 105	100 .
	200

Формула Эйлера применима к упругим стержням большой гибкости, для которых ï ðåä .

При ï ðåä формула Эйлера не применима !!!

кр

пц

гипербола Эйлера

	2		E
			E
кр		2
кр		2

	пред
	пред

● экспериментальные данные

Для определения критических напряжений при наличии пластических деформаций используют эмпирические формулы, полученные путем обработки результатов многочисленных экспериментов.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов

#
08.11.202213.28 Mб19Лекции Алексеевой.pdf
#
08.11.202216.16 Mб10Семинары Алексеевой.pdf
#
08.11.202226.78 Кб2Универсальный шаблон с основной надписью.docx