Лекции Алексеевой
.pdf
Устойчивость равновесия сжатых стержней
Понятие об устойчивости
Устойчивость – способность системы сохранять свое состояние (положение или форму) равновесия при внешних воздействиях. Если система такой способностью не обладает, она является неустойчивой.
Потеря устойчивости – это переход системы из одного равновесного состояния в другое.
Устойчивость положения – это способность тела сохранять свое положение, при этом тело рассматривается как абсолютно твердое.
устойчивое неустойчивое безразличное
Устойчивость формы – это способность тела сохранять свою первоначальную форму.
F
Прямолинейная форма равновесия стержня будет устойчивой до определенного значения силы, называемой
критической нагрузкой Fкр .
Сообщим стержню бесконечно малое отклонение от своего положения равновесия. Если после устранения
причин, вызвавших его отклонение, стержень вернется в первоначальное состояние (распрямится), то
прямолинейная форма равновесия является устойчивой, если же нет, то неустойчивой.
F
При |
F F |
прямолинейная |
форма |
равновесия |
|
кр |
|
|
|
устойчива. |
|
|
|
|
При |
F F |
прямолинейная |
форма |
равновесия |
|
кр |
|
|
|
неустойчива, а устойчива криволинейная форма равновесия.
При |
F F |
стержень находится в состоянии |
|
кр |
|
безразличного равновесия, когда равновозможны как прямолинейная, так и бесконечно близкая к ней криволинейная форма устойчивого равновесия.
Нагрузка F |
, при которой происходит смена форм |
кр |
|
равновесия, называется критической.
При p p |
устойчива круговая форма |
|
кр |
|
|
равновесия. |
При p p |
сечение трубки |
|
кр |
|
принимает эллиптическую форму. |
||
Трубка может потерять устойчивость и при осевом сжатии – «прохлопнуть»
F
При F > Fкр, балка начнет выгибаться вбок и закручиваться, теряя первоначальную плоскую форму изгиба.
Расчет на устойчивость |
|
|
Критическая нагрузка |
F |
для конструкции является недопустимой, |
|
кр |
|
поэтому допускаемая нагрузка должна составлять долю от критической
ny
|
|
F |
F |
|
кр |
|
||
доп |
|
n |
|
|
|
|
|
y |
– коэффициент запаса по устойчивости.
Таким образом, при расчете на устойчивость необходимо уметь
определять величину критической нагрузки.
Различают два метода определения Fкр :
– статический метод (метод Эйлера), является точным методом
определения Fкр , основан на составлении уравнений статики всего стержня и
его частей в отклоненном состоянии и использовании ДУ упругой линии.
– энергетический метод (приближенный).
Бифуркация форм равновесия. Определение критической нагрузки
F 
F
|
|
l |
l |
|
c |
c
|
m |
шарн |
0 |
, |
Fl |
|
|
c |
c F l sin |
||||
|
|
|
. |
|
sin |
|
|||
|
|
|||
0
,
(1)
При
0
уравнение справедливо при
любых значения силы F , значит вертикальная ось принадлежит графику.
При
Fl
c
1
, то есть при
F c / l
одна
форма равновесия – вертикальное положение стержня.
При
Fl |
1, |
|
c |
||
|
то есть при значении силы
F c / l
происходит разветвление форм
равновесия – бифуркация. Точка на графике ее характеризующая называетяся точкой бифуркации. Силу, соответствующую этой бифуркации форм равновесия мы и принимаем за критическую.
При Flc 1, то есть при F c / l существует сразу три формы равновесия.
При |
F c |
положение, а при
/ l , отклонённый стержень вернётся в исходное
F c / l не вернется. Значит, критическая нагрузка
F |
c / l . |
кр |
|
Для реальных механических систем построение графика «нагрузкаотклонение» вызывает серьёзные трудности! В то же время критическая нагрузка может быть найдена значительно проще.
Если ограничиться малыми отклонениями стержня от начального положения, то sin и уравнение равновесия
(c Fl) 0 |
. |
|
Два возможных его решения:
1)0 – это решение не интересно.
2)0 , тогда (c Fl) 0 , откуда Fкр c / l .
(2)
Парадоксы полученного решения
1) при F |
|
с |
имеем |
0 |
|
|
|||||
кр |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) уравнение (2) при |
F |
||||
стержень, отклоненный |
|
при |
|||
, однако найти из (2) невозможно.
с / l |
удовлетворяется только при 0 . То есть |
|
F |
|
с / l , при увеличении нагрузки должен |
кр |
|
|
вернуться к своему исходному состоянию.
Эти противоречия здравому смыслу объясняются
линеаризацией уравнения (1) – заменой sin .
Однако на практике такой упрощённый подход решения задач устойчивости играет большую роль. Действительно, в
расчете важно найти критическую нагрузку, а поведение системы при нагрузках, превышающих критическую, практического интереса не имеет.