Лекции Алексеевой
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В главных осях: |
U |
|
|
(1 v) ( |
|
|
)2 ( |
|
|
|
)2 |
( |
|
|
)2 |
|
|
|
(8) |
||||||||
|
|
0ф |
|
6E |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Частные случаи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) всестороннее растяжение или сжатие средним напряжением |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 3 0 , |
I1 3 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
из (6) |
|
U0об |
(1 |
2v) |
(3 0 ) |
2 |
|
3(1 2v) |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6E |
|
|
|
|
2E |
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0ф 0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
из (8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) чистый сдвиг |
|
|
|
|
1 , |
2 0, |
3 |
, I1 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
из (6) |
|
U0об 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
из (8) |
|
U0ф (1 v) 2 2 (2 )2 |
1 v |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|||
|
|
|
|
С учетом G |
|
|
|
|
E |
|
|
|
, U0ф |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2(1 v) |
|
2G |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Сопротивление материалов
К.т.н., доцент Елена Геннадьевна Алексеева
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Предельное состояние
Материал конструкции может находиться в разных механических состояниях (упругом, упругопластическом, состоянии разрушения).
Предельное состояние – это переход материала из одного механического состояния в другое. Для пластичных материалов – это возникновение первых пластических деформаций, а для хрупких – это разрушение.
Напряженное состояние, соответствующее этому переходу называется предельным НС.
Коэффициентом запаса является число, на которое нужно умножить все компоненты данного напряженного состояния, что бы оно стало предельным. Два напряженных состояния равноопасны, если у них одинаковы коэффициенты запаса.
При расчете на прочность данное НС выражается через равноопасное ему одноосное растяжение, создаваемое эквивалентным напряжением экв f ( 1, 2 , 3 ) .
n1 n2
Коэффициент запаса по текучести (пластичные материалы) |
n |
|
σтр |
|
||
σэкв |
||||||
|
т |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент запаса по разрушению (хрупкие материалы) |
n |
|
|
σвр |
|
|
|
σэкв |
|||||
|
в |
|
|
|||
Имея механические характеристики материала из опыта на чистое растяжение, запишем:
–критерий пластичности (начала текучести) экв т;
–критерий разрушения экв вр;
–условие прочности экв .
Теории прочности
1) Теория прочности максимальных касательных напряжений (гипотеза пластичности Треска-Сен-Венана)
Это теория начала текучести, т.е. предельным является состояние, когда в теле возникают массовые пластические деформации. Сдвиги возникают от , поэтому
естественно предположить, что два НС равноопасны, если у них одинаковы
максимальные касательные напряжения max 1 3 . 2
При равноопасном растяжении:
экв |
1 экв, |
2 3 0, |
(τmax )экв σэкв |
|
экв 1 3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория удовлетворительно подтверждается экспериментом для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.
Недостаток - не учитывает промежуточное напряжение 2.
2)Теория прочности энергии формоизменения (энергетическая теория прочности
–гипотеза пластичности Хубера-Мизеса)
Это теория начала текучести. Пластическое деформирование связано со сдвигами, при котором происходит изменение формы, поэтому качестве критерия
в данной теории выбрана энергия изменения формы Для трехосного НС
U0ф 16E ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2
Для эквивалентного растяжения
|
|
1 = экв, 2 |
= 3 = 0 |
|
|
(Uф)экв |
1 |
2 |
|||||||||
|
|
|
3E |
σэкв. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Uф = (Uф)экв |
σ |
экв |
|
i |
|
1 |
(σ |
σ |
2 |
)2 (σ |
2 |
σ |
)2 (σ |
3 |
σ )2 |
||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i – интенсивность напряжений
Эта теория хорошо подтверждается экспериментом. Она учитывает все три главные напряжения, поэтому точнее предыдущей. Применима только для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.
Интенсивность напряжений можно выразить и через компоненты тензора, а не через главные напряжения
σэкв i |
1 |
(σx σy )2 (σy σz )2 (σz σx )2 6 (τ2xy τ2yz τ2zx ) |
(1) |
|
2 |
||||
|
|
|
Это освобождает нас от вычисления главных напряжений и присвоения им индексов
3) Теория прочности Мора
Реальные материалы обладают как пластичностью, так и хрупкостью. Возникновение пластических деформаций связывают с максимальным касательным напряжением max, а начало разрушения логично связать с максимальным нормальным напряжением 1.
Представим экв как некоторую функцию max и |
1: |
|
σэкв А1σ1 В1τmax . |
|||||||||||||||||||
τ |
|
σ1 σ3 |
, |
|
σ |
|
Аσ В |
|
σ1 σ3 |
|
|
А |
В1 |
|
σ |
В1 |
σ |
. |
||||
max |
экв |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
1 1 1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
σэкв Аσ1 |
k σ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||
Коэффициенты А и k определим, рассмотрев экспериментальные результаты для предельных НС
● предельное одноосное растяжение хрупкого материала
данное НС |
эквивалентное НС |
вр |
экв вр |
Данное НС: σ1 σвр, σ2 0, σ3 |
0, |
где вр – предел прочности при растяжении. |
||||
( экв)д.н.с. Aσ1 |
kσ3 A σвр k 0 Aσвр. |
(3) |
||||
Эквивалентное НС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
экв = вр. |
|
|
|
(4) |
Приравняв правые части выражений (3) и (4) |
|
|
|
|
||
( экв)д.н.с. экв |
|
A σвр σвр, |
|
|
. |
|
A 1 |
|
|||||
|
|
|||||
● предельное одноосное сжатие хрупкого материала
данное НС |
эквивалентное НС |
вc |
экв вр |
Данное НС: σ1 0, σ2 0, σ3 |
σвс, |
где вс - предел прочности при сжатии. |
||||||
(σэкв)д.н.с. Аσ1 |
kσ3 1 0 k( σвс) kσвс . |
(5) |
||||||
Эквивалентное НС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экв = вр. |
|
|
|
|
(6) |
||
Приравняв (5) и (6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( экв)д.н.с. экв |
|
k σвс σвр |
|
k |
σвр |
|
. |
|
σвс |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||