Лекции Алексеевой

y

Предположим, что площадка с нормалью

главная. Тогда в ней отсутствует касательное

sv v гл

напряжение = 0, а нормальное напряжение

x

есть главное напряжение = p = гл

Проекции главного напряжения на координатные оси

X = гл l, Y = гл m,

Z = гл n.

(6)

Подставим (6) в (2):

σглl σxl τyxm τzxn,

и перенесем все члены в одну сторону

(σx σгл)l τyxm τzxn 0 ,

τxy l (σy σгл)m τzyn 0 ,

(7)

τxz l τyz m (σz σгл) n 0 .

2

1. Трехосное (объемное) напряженное состояние

1

– когда все три главных напряжения отличны от

нуля.

3

Необходимое условие: I3 0

2

2

3 0

2 0

3

1

0

1

3

1

Частный случай двухосного НС – чистый сдвиг

M

M

2

3

3

1

1

45

1

1

z

2

0

1

1

3

3

3

3

1

3

1 2 0

2 3 0

y

y

xy yx

Рассмотрим случай, когда площадка

z - главная, тогда τzx τzy 0 .

x

Рассмотрим сначала, что и z = 0.

x

Это плоское НС.

I3

= 0 σ3

I σ2

I

2

σ

гл

0

гл

1 гл

σ2

I

σ

гл

I

2

0

(1)

гл

1

Корни квадратного уравнения

σгл

I

I

2

(2)

1

1 I2 ,

2

4

Для нашего случая zx zy

z 0 , инварианты принимают вид

I

σ

x

σ

y

,

I

2

σ

x

σ

y

τ2 .

(3)

1

xy

Подставив (3) в (2)

σгл

σ

x

σ

y

(σ

x

σ

y

)2

(σxσy τ2xy )

2

4

σx

σy

1

(σ2x 2σxσy

σ2y ) σxσy

4

τ2xy

σx

σy

1

(σ2x

2σxσy σ2y ) τ2xy

2

4

4

2

4

2

x y 2

σгл

σ

x

σ

y

σ

x

σ

y

τ2xy .

(4)

2

2

σгл

σ

x

σ

y

σ

x

σ

y

2

τ2xy

.

(4)

2

2

В полученной

напряжения

в

формуле

x

и

y

-

нормальные

неглавных площадках, то

есть

в

тех

площадках, где есть

. В формулу

их

y

y

Выражение (4) пригодно и для случая, когда

z 0.

xy yx

Формула для определения положения главных

x

z

площадок

x

tg2

2 xy

.

z

x y

0

0

30

y

100

T

0

100

0

, МПа

30

0

80

30

x

y 100 МПа, z

80 МПа,

80

zx xz

30 МПа.

z

гл

z

2

0 80

0 ( 80)

2

302

40 50 МПа.

x

2

x

2

z

2xz

2

2

Присвоим индексы главным напряжениям:

1

10 МПа, 2 90 МПа;

3 100 МПа.