Лекции Алексеевой
.pdf
Коэффициент k характеризует неодинаковость работы материала на растяжение и сжатие. Если рассмотреть предельные состояния для пластичного материала, то
kσтр , где тр , тс – пределы текучести при растяжении и сжатии.
σтс
Окончательно формулу для определения эквивалентного напряжения по теории прочности Мора можно записать в виде
σэкв σ1 k σ3
Для хрупких материалов теория Мора - это теория начала разрушения,
с помощью которой определяется nв:
n |
|
σвр |
, σ |
|
σ |
k σ |
|
, |
k |
σвр |
, |
k 1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
в |
|
σэкв |
экв |
1 |
|
3 |
|
|
σвс |
|
|
||
Хрупкие материалы работают на растяжение хуже, чем на сжатие
( вр < вс, поэтому k < 1)
Для пластичных материалов теория Мора - это теория начала текучести,
с помощью которой определяется nт:
n |
|
σтр |
, σ |
|
σ |
k σ |
|
, |
k |
σтр |
, |
k 1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
т |
|
σэкв |
экв |
1 |
|
3 |
|
|
σтс |
|
|
||
У большинства пластичных материалов тр = тс и k = 1. Но есть материалы у которых тр < тс и k < 1.
Недостаток - не учитывает промежуточное главное напряжение 2
Упрощенное плоское напряженное состояние (УПНС)
Такое НС наиболее часто встречается на практике, например, при изгибе с кручением.
Для УПНС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
σгл |
|
σ |
|
|
σ 2 |
τ2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
σ |
σ |
σ |
2 τ2 |
, σ |
2 |
0 , |
σ |
3 |
σ |
|
σ 2 |
τ2 . |
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
По теории прочности максимальных касательных напряжений |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
σ |
экв |
|
3 |
2 |
2 , |
|
σ |
экв |
σ2 4τ2 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По энергетической теории прочности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
σэкв i |
1 |
|
|
|
(σx σy )2 |
(σy σz )2 (σz σx )2 6 (τ2xy |
τ2yz τ2zx ). |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
σэкв |
|
1 |
|
(0 0)2 |
(0 σ)2 |
(σ 0)2 6τ2 |
|
|
1 |
|
2σ2 6τ2 , |
||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σэкв |
|
σ2 3τ2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Эти формулы
σ |
экв |
σ2 |
4τ2 |
, |
σ |
экв |
σ2 |
3τ2 |
справедливы для пластичных материалов, которые одинаково работают на растяжение и сжатие, т.е. тр = тс.
Различие коэффициентов при τ2 в формулах является следствием различия гипотез. Значения эквивалентного напряжения по этим формулам отличаются незначительно. Однако вторая формула более точная, чем первая, так как в энергетической теории прочности учитываются все три главные напряжения.
По теории Мора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экв |
k |
3 |
|
1 k |
|
1 k |
2 4 2 |
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Расчет на прочность стержней при совместном изгибе и кручении
Алгоритм расчета:
1. Построить эпюры изгибающих M x , M y и крутящего Mк моментов
2.Анализ эпюр моментов и выбор опасного сечения
3.Для каждого опасного сечения изобразить само сечение, показать действующие в нем моменты и построить эпюры напряжений ( M x , M y , ) в сечении
4.Провести анализ эпюр напряжений с целью выбора наиболее опасных точек
y |
x |
D |
y |
d |
|
y |
|
|
y |
|
x |
D |
|
x |
H |
x |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
Одна опасная точка
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
||
a |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Две опасные точки |
Три опасные точки |
||||||||||||||
5.Для каждой опасной точки каждого опасного сечения изобразить напряженное состояние и вычислить значения напряжений
6.Вычислить σэкв для каждой опасной точки, выбрать σmaxэкв и произвести расчет на
прочность. Если σтр σтc σт, |
то σmaxэкв |
|
σт . |
|
|
|
nт |
Сопротивление материалов
К.т.н., доцент Елена Геннадьевна Алексеева
Расчет на прочность стержней при совместном изгибе и кручении
Алгоритм расчета:
1. Построить эпюры изгибающих M x , M y и крутящего Mк моментов
2.Анализ эпюр моментов и выбор опасного сечения
3.Для каждого опасного сечения изобразить само сечение, показать действующие в нем моменты и построить эпюры напряжений ( M x , M y , ) в сечении
4.Провести анализ эпюр напряжений с целью выбора наиболее опасных точек
y |
x |
D |
y |
d |
|
y |
|
|
y |
|
x |
D |
|
x |
H |
x |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
Одна опасная точка
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
||
a |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Две опасные точки |
Три опасные точки |
||||||||||||||
5.Для каждой опасной точки каждого опасного сечения изобразить напряженное состояние и вычислить значения напряжений
6.Вычислить σэкв для каждой опасной точки, выбрать σmaxэкв и произвести расчет на
прочность. Если σтр σтc σт, |
то σmaxэкв |
|
σт . |
|
|
|
nт |