Лекции Алексеевой
.pdf
Статический (точный) метод определения критической нагрузки сжатых стержней. Задача Эйлера
F
y
Fкр
v
z
l
R Fкр
z
Fкр
M x
v |
F |
|
кр |
z
ДУ упругой линии стержня: |
EJ |
x |
v M |
x . |
|
|
M |
|
F v |
. |
|
EJ |
|
|
v F |
v |
|
|
|
Fкр |
|
x |
x |
|
||||||||||||
|
кр |
|
|
|
кр |
|
|
v |
EJ x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введим обозначение: |
k 2 |
Fкр |
, |
(3) |
|
получим ОЛДУ: |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v 0 .
v k 2v 0.
Его решение:
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
v C sin kz |
C |
|
cos kz |
|
||||
Постоянные C1 и C2 |
определим из ГУ: |
|
|||||||||
1) |
при |
z 0, |
v 0; |
|
C 0 C |
2 |
1 0 |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
2) |
при z l, |
v 0; |
|
C1 sin kl 0. |
|
||||||
|
|
|
С1 0, |
значит |
sin kl 0 |
|
|||||
|
|
(4) |
C |
2 |
0. |
|
|
|
|
|
kl n , |
где n – произвольное целое число
(
n
1, 2,3...
).
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
F |
|
|
|
|
π |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k |
2 |
n |
2 |
|
|
|
кр |
n |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
E J x |
|
|
|
l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
E J |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
из (3) |
k |
|
|
|
|
F |
|
|
n |
π |
|
x . |
|||||||||
|
|
E J x |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
кр |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получили бесчисленное множество значений сил, соответствующих
различным формам искривления стержня.
Критическая нагрузка – наименьшее значение силы, при которой возможна криволинейная форма устойчивого равновесия, оно будет при n = 1.
z 
F
y x
Если стержень закреплен во всех направлениях одинаково, он будет изгибаться в плоскости наименьшей жесткости, относительно которой минимальный момент инерции Jmin.
Линейка при |
J |
y |
J |
x |
будет изгибаться вокруг оси x, |
|
|
|
|
то есть в плоскости yz, где наименьшая изгибная жесткость.
Рациональные поперечные сечения – у которых моменты инерции одинаковы во всех направлениях
(круговые, квадратные, а также сечения с Jx J y ).
Окончательно
|
|
2 |
E J |
|
|
F |
|
π |
min |
||
|
|
2 |
|||
кр |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
.
(5)
Это формула Эйлера для определения критической силы шарнирно закрепленного сжатого стержня.
Уравнение упругой линии стержня
v С sin |
z |
, |
|
||
1 |
l |
|
|
|
то есть стержень изгибается по полуволне синусоиды
n 1
Fкр
(6)
n 3 |
n 2 |
|
Замечания к полученному решению: |
|
||||
1. Константа |
C1 |
в (6) осталась неопределенной, т. е. |
|||
точностью до постоянного множителя. |
|
||||
2. При |
F F |
|
, |
имеем kl , и уравнение |
C sin kl |
только при |
кр |
|
|
1 |
|
1 |
тогда получим, что прогиб равен нулю. |
||||
|
C 0, |
|
|
|
|
прогиб получен с
0 |
удовлетворится |
|
Это вновь является следствием линеаризации, то есть использования приближенного ДУ упругой линии стержня, которое справедливо лишь при малых прогибах.
При силе, больше критической, прогибы v очень велики и пренебрегать
величиной |
|
v |
|
2 |
в выражении для кривизны изогнутой оси нельзя, поэтому |
|
|||||
|
|
для определения прогибов нужно применять точное ДУ
|
v |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
кр |
v 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3/2 |
|
||
|
|
2 |
|
EJmin |
|||
1 |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление материалов
К.т.н., доцент Елена Геннадьевна Алексеева
Устойчивость равновесия сжатых стержней (продолжение)
Зависимость критической силы от условий закрепления стержня
Шарнирно закрепленный стержень считается основным
полуволна синусоиды
|
|
|
2 |
EJ |
|
|
F |
|
|
min |
|||
|
|
|
2 |
|||
кр |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение
Fкр
при других условиях закрепления определяют из решения
ДУ с другими ГУ. В простейших случаях достаточно ограничиться сравнением формы изогнутой оси с той, которая представляет собой одну полуволну синусоиды.
2l
l
F
F 2 EJmin
кр (2l)2
0,5l |
0,5l |
F
|
|
|
2 |
EJ |
|
|
F |
|
|
min |
|||
|
|
|
||||
кр |
|
(0,5l) |
2 |
|||
|
|
|
||||