Лекции Алексеевой
.pdf
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК Геометрия осесимметричной оболочки
Оболочка – это тело, одно из измерений которого (толщина), значительно меньше двух других.
Геометрия оболочки определяется ее срединной поверхностью, которая делит толщину оболочки пополам.
Примеры оболочек: цистерны, водонапорные резервуары, воздушные и газовые баллоны, купола зданий, части корпусов самолетов, ракет и подводных лодок.
Осесимметричная оболочка (или оболочка вращения) – оболочка, срединная поверхность которой представляет собой поверхность вращения, то есть получена вращением плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости этой кривой. Эта кривая называется меридианом, а образованные точками этой кривой окружности – параллелями.
Меридиональное сечение – сечение, проходящее через ось вращения. Нормальное коническое сечение – сечение конусом с образующими, которые перпендикулярны срединной поверхности.
Меридиональное
сечение
Для рассматриваемой точки K:
m – радиус кривизны меридиана (точка 0 – центр кривизны).
t – радиус кривизны параллели, он равен отрезку нормали заключенному
между рассматриваемой точкой и осью вращения.
Радиусы m и t зависят от угла между нормалью и осью вращения.m , t , h – основные геометрические параметры оболочки.
Условия существования безмоментного состояния
1. Оболочка гладкая, без резких изменений геометрии срединной поверхности,
толщина оболочки h |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
( |
|
– минимальное из значений |
|
, ) |
|
|
|
|
|
min |
min |
m |
||||||
|
15 |
|
20 |
|
|
|
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.Отсутствуют резкие изменения толщины оболочки
3.Действует симметричная распределенная нагрузка, которая может плавно меняться вдоль меридиана, но по окружности постоянна.
4.Нет сосредоточенных сил и моментов
При выполнении данных условий в сечениях оболочки возникают только постоянные по толщине нормальные напряжения, равнодействующие которых приводятся к нормальным силам, а изгибающие моменты отсутствуют.
Оболочка работает на растяжение и сжатие. При этом для осесимметричной безмоментной оболочки вращения меридиональные и нормальные конические сечения определяют главные площадки.
Нарушение любого из рассмотренных условий приводит к неравномерному распределению напряжений по толщине, и в оболочке возникает моментное состояние. Это явление носит название краевого эффекта, здесь расчет нужно вести по значительно более сложным формулам моментных теорий.
Зона краевого эффекта (моментная теория)
F
Безмоментная теория |
Безмоментная теория |
Основные уравнения безмоментной теории
Двумя бесконечно близкими меридиональными и нормальными коническими сечениями вырежем бесконечно малый элемент оболочки и рассмотрим его равновесие. На внутреннюю поверхность оболочки действует давление p.
m – меридиональное напряжение, |
t – окружное напряжение |
Вид сверху |
Вид сбоку |
Так как задача осесимметричная, то по окружности напряжения t |
меняться |
||||||||||||||
не могут, а вдоль мередиана m изменяются! |
|
|
|
|
|
||||||||||
Для выделенного элемента спроецируем все силы на нормаль |
|
|
|
||||||||||||
F 0, |
|
m |
ds |
h sin d |
m |
d |
m |
ds |
2 |
h sin d 2 |
|
ds h sin d |
p ds ds |
||
n |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
t |
1 |
2 |
|
1 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б.м.в.п
|
|
|
Для малых углов |
sin d |
d |
, sin d |
d |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ds1 md , |
ds2 t d |
|
|
|
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
m |
d h d |
2 |
|
|
m |
d h d |
p |
m |
d d |
|||||
|
|
t |
2 |
|
t |
|
|
|
2 |
|
|
|
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ds2 |
|
|
ds1 |
|
|
|
|
|
ds1 |
|
ds2 |
||
m t h t m h p m t ,
или, поделив на h t m , получим уравнение Лапласа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
t |
|
p |
|
|
(1) |
|
h |
|
|||||
|
m |
t |
|
|
|
||
Уравнение Лапласа содержит две |
неизвестные: m |
и t . Поэтому нужно |
|||||
дополнительное уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение равновесия части оболочки, вырезанной нормальным коническим сечением
Fz 0, |
|
, |
(2) |
m 2 r h sin F |
где F – проекция равнодействующей внешних сил на ось вращения оболочки (ось z)