Лекции Алексеевой
.pdf
б) цилиндрическая оболочка
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
D |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
m |
, |
D |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (3): |
|
m p D . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4h |
|
|
|
Из (1): |
m t |
|
p |
|
t p D . |
|
|
|||
|
|
|
t |
|
h |
|
|
2h |
|
|
Это котельные формулы.
Видно, что σt 2σm , поэтому цилиндрические оболочки под давлением
(трубопроводы, садовые шланги) лопаются вдоль, а не поперек.
В опасной точке: σ σ |
t |
|
pD |
, |
|
σ |
2 |
σ |
m |
|
pD |
, |
σ |
3 |
0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
2 h |
|
|
|
|
|
4 h |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эквивалентное напряжение |
σ |
экв |
σ |
k σ |
3 |
|
pD |
. |
||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2h |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, при одинаковых размерах D и h, эквивалентное напряжение для цилиндра в два раза больше чем для сферы.
Расчет толстостенных труб. Задача Ламе
Постановка задачи
Толстостенная труба – толщина стенки h 0,1 a b pb 2
b |
r |
|
a pa z
a – внутренний радиус, b – внешний (наружный) радиус, pa – внутреннее давление, pb – внешнее давление,
r – текущий радиус рассматриваемого слоя
При такой постановке задачи все сечения деформируются одинаково и остаются плоскими ( z const, z const ), а функции перемещений и
напряжений в поперечном сечении будут зависеть только от радиуса r
Требуется найти:
–радиальное перемещение точек u
–напряжения в радиальном r и окружном t направлениях.
Применять котельные формулы при рассмотрении толстостенных труб нельзя, так как:
– t неравномерно распределены по толщине стенки
( t const )
– нельзя пренебрегать радиальным напряжением r ,
так как здесь напряжения величины одного порядка
( r p, t p )
Геометрические соотношения
Радиальное перемещение u u(r) . Положительное направление – от оси цилиндра. Рассмотрим бесконечно малый отрезок в радиальном направлении AB dr .
до нагружения |
после нагружения |
после нагружения |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
dr |
|
|
r |
u |
A |
|
|
r |
B |
||
|
|
|
u du |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
до нагружения
Деформация в радиальном направлении:
|
|
AB |
|
|
dr (u du) u |
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r |
A B |
|
|
|
du |
, |
r du |
(1) |
|||
AB |
|
|
dr |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dr |
|
dr |
|
Рассмотрим длину окружности, проведенной внутри цилиндра.
до нагружения |
после нагружения |
|
До нагружения: |
|
2 r , |
||
|
|
|
после нагружения: 2 (r u) . |
||||
|
r u |
Деформация в окружном направлении: |
|||||
|
|
|
t |
2 (r u) 2 r |
u , |
||
|
|
|
|
2 r |
|
r |
|
|
|
|
t u |
или |
|
|
(2) |
|
|
|
u t r |
|
|||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключая u из (1) и (2):
r |
d |
t r |
или |
d |
t r r 0 |
(3) |
|
dr |
dr |
||||||
|
|
|
|
|
– дифференциальное уравнение совместности деформаций
Уравнения равновесия
Двумя поперечными, осевыми и цилиндрическими сечениями выделим бесконечно малый элемент цилиндра (призму) с длинами сторон dr , dz , rd .
z
|
t |
|
|
r d r |
|||
|
r |
rd |
t |
|
|
||
dz |
|
|
|
|
|
||
d |
|
d |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
r |
|
2 |
||
|
|
|
dr |
|
|
|
|
t t (r) – окружные напряжения.
r r (r) – радиальные напряжения.
z const – осевые напряжения
r ( радиальное направление)
r d r (r dr)d dz
t drdz t drdz
dr
r rd dz
d 
r
d
2
r ( радиальное направление)
r d r (r dr)d dz
t drdz |
t drdz |
|
|
|
Fr 0 , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dr |
|
|
r d r (r dr)d dz |
|
||||||||
rrd dz |
|
|
|
|
r |
rd dz 2 |
t |
sin |
d |
dr dz 0 , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
d |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d /2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
r r d r r r dr d r dr r r t dr 0 , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в.п. |
|
|
|
|||
|
|
|
r |
d r |
r t 0 |
или |
|
d |
( r r) t 0 |
|
(4) |
|||||
|
|
|
dr |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|||
– дифференциальное уравнение равновесия.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод формул Ламе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Обобщенный закон Гука: |
|
|
r |
1 |
|
r v t |
z , |
t |
|
1 |
t v r |
z . (5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
E |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(5) в (3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
r r |
r |
t r |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
d |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
v |
|
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
z |
0 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E dr |
|
t |
|
|
|
r |
z |
|
|
|
E |
|
|
|
t |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r d t |
v r |
|
d r |
t v r r v t 0 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
t t r v r |
|
|
|
r |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 из (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
d t |
t |
r |
|
0 |
|
|
|
|
или |
|
|
d |
|
( t r) r |
0 |
|
|
|
|
|
(6) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– дифференциальное уравнение совместности деформаций, в котором деформации выражены через напряжения.
Таким образом, уравнения совместности деформаций и равновесия в напряжениях
d |
( t r) r 0, |
(6) |
||
|
|
|||
|
|
|||
dr |
|
|
||
|
d |
( r r) t 0. |
(4) |
|
|
|
|||
dr |
|
|
||
Сложим (6) и (4):
|
|
|
|
d |
t r r t r 0 , |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
d |
|
dr |
|
|
||
r |
t r t r t r 0 , |
|||||||
dr |
||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
||
r 0, |
|
|
t r 0, |
t r const 2 A |
||||
|
dr |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
так обозначим |
|