- •Часть 2
- •Введение
- •1. Кинематика точки
- •1.1. Скорость точки
- •1.2. Ускорение точки
- •1.3. Векторный способ изучения движения
- •1.4. Координатный способ изучения движения Задание движения и траектория
- •Скорость в декартовых координатах
- •Уравнение годографа вектора скорости
- •Ускорение точки в декартовых координатах
- •1.5. Естественный способ изучения движения Естественный способ задания движения
- •Скорость точки при естественном способе задания движения
- •Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора
- •Ускорение точки при естественном способе задания движения
- •Частные случаи движения точки
- •1.6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах
- •1.7. Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
- •1.8. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
- •Скорость точки в криволинейных координатах
- •Ускорение в ортогональных криволинейных координатах
- •1.9. Скорость и ускорение точки в сферических координатах
- •2. Простейшие движения твердого тела. Сложное движение точки
- •2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей
- •2.2. Поступательное движение твердого тела
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.4. Сложное движение точки Основные понятия
- •Сложение скоростей
- •Сложение ускорений при поступательном переносном движении
- •3. Плоское движение твердого тела
- •3.1. Уравнения плоского движения твердого тела
- •3.2. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •3.3. Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении
- •3.4. Скорости точек тела при плоском движении
- •3.5. Мгновенный центр скоростей
- •3.6. Вычисление угловой скорости при плоском движении
- •3.7. Ускорения точек тела при плоском движении
- •3.8. Мгновенный центр ускорений
- •3.9. Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении
- •3.10. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
- •4.10. Мгновенный центр вращения. Центроиды
- •4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела
- •4.1. Углы эйлера. Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
- •4.2. Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
- •4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды
- •4.4. Угловая скорость и угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной точки
- •4.5. Скорости точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки
- •4.6. Ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной точки
- •4.7. Вычисление углового ускорения
- •4.8. Общий случай движения свободного твердого тела Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае
- •5. Сложное движение точки в общем случае
- •5.1. Абсолютная и относительная производные от вектора. Формула бура
- •5.2. Сложение скоростей
- •5.3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения
- •5.4. Ускорение кориолиса
- •6. Сложение движений твердого тела
- •6.1. Сложение поступательных движений твердого тела
- •6.2. Сложение вращательных движений твердого тела Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
- •Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •6.3. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела
- •Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения
- •В Рис. 80 Рис. 80 интовое движение
- •Общий случай
- •6.4. Статические аналогии в кинематике
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Скорость в декартовых координатах
Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат (рис. 6). Получим
, , (7)
где – координаты точки ; – единичные в екторы осей координат; – проекции скорости на оси координат.
Учитывая (7), согласно определению скорости, имеем:
, , (8)
т
Рис. 6
, , . (9)
Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:
(10)
Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат и в этой плоскости, получим:
, , , , .
Соответственно:
Д
Рис. 7
, , , , , , .
Уравнение годографа вектора скорости
И
Рис. 8
К
Рис. 9
, , .
Если оси координат для годографа вектора скорости параллельны соответствующим осям координат, относительно которых заданы уравнения движения точки, то
, , .
Параметрические уравнения годографа вектора скорости принимают такую форму:
, , .
Исключая из этих уравнений параметр , получим уравнения годографа вектора скорости в координатной форме.
Годограф вектора скорости дает наглядное представление о скоростях движущейся точки в разные моменты времени. Он также позволяет определить направление вектора ускорения, так как ускорение параллельно касательной к годографу вектора скорости.
Ускорение точки в декартовых координатах
Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим
, (11)
где – проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (7) и (8), имеем
. (12)
Сравнивая (11) и (12), получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:
, , . (13)
Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.
Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам
. (14)
При движении точки по плоскости, оси и выбирают в этой же плоскости. Тогда , . Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид
, , .
Соответственно
Для прямолинейного движения ось направим по траектории точки. Тогда, , , , .
Формулы для ускорения и его проекций на ось примут вид:
, , .