1.2. Ускорение точки

Пусть движущаяся точка в момент времени имеет скорость . В момент времени эта точка занимает положение , имея скорость (рис. 3, а). Чтобы изобразить приращение скорости за время , перенесем вектор скорости параллельно самому себе в точку .

а)

б)

Рис. 3

Средним ускорением точки за время называют отношение , т.е. . Среднее ускорение точки параллельно приращению скорости . Как и средняя скорость, среднее ускорение не имеет на траектории конкретной течки приложения и изображено в точке условно. В общем случае среднее ускорение зависит от времени .

Ускорением точки в момент времени называют предел, к которому стремится среднее ускорение при , стремящемся к нулю, т. е.

. (2)

Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки.

Приращение скорости и, следовательно, среднее ускорение направлены внутрь вогнутости траектории. Так же направлены и их предельные значения при , стремящемся к нулю. Поэтому ускорение точки направлено тоже внутрь вогнутости траектории. Кроме того, ускорение как первая производная по времени от скорости, по свойству годографа вектора, параллельна касательной к годографу вектора скорости (рис. 3, б).

Размерность ускорения в СИ получаем из (2): .

1.3. Векторный способ изучения движения

Д вижение точки относительно рассматриваемой системы отсчета при векторном способе изучения движения задается радиусом-вектором этой точки (рис. 4). Движение точки считается заданным, если известен радиус-вектор движущейся точки как функция времени, т. е.

. (3)

З

Рис. 4

адание векторного уравнения движения (3) полностью определяет движение точки.

Траекторией точки является годограф радиуса-вектора. Скорость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется, согласно ее определению, по формуле:

. (4)

Для ускорения точки соответственно имеем

. (5)

Таким образом, если движение точки задано векторным способом, то скорость и ускорение вычисляются по формулам (4) и (5).

Определение скорости и ускорения точки сводится к чисто математической задаче вычисления первой и второй производных по времени от радиуса-вектора этой точки. Для практического вычисления скорости и ускорения обычно используют координатный и естественный способы изучения движения. Векторный способ ввиду его краткости и компактности удобен для теоретического изложения кинематики точки.

1.4. Координатный способ изучения движения Задание движения и траектория

Д

Рис. 5

вижение точки можно изучать, используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовых прямоугольных осей координат, которые являются также системой отсчета, относительно которой рассматривается движение точки. Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис. 5), т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

, , . (6)

Уравнения движения точки в декартовых координатах полностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени. Уравнения движения (6) есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время . Уравнения траектории в координатной форме из (6) получают исключением параметра . Исключая время, например, из первых двух уравнений и затем из второго и третьего, получим уравнения двух поверхностей:

, .

Это и есть уравнения траектории в координатной форме. Траекторией является линия пересечения двух поверхностей. Эти поверхности являются цилиндрическими, так как их уравнения не содержат одной из координат: первое – координаты , второе – координаты . Ось первой цилиндрической поверхности параллельна оси , второй – оси .

Исключая время из уравнений движения в другом порядке, получим траекторию точки как линию пересечения двух других цилиндрических поверхностей, например

, .

При исключении параметра из уравнений движения могут быть получены отрезки линий или точки, которые не содержатся в уравнениях (6). Эти дополнительные точки не следует считать точками траектории.